人教版八下數(shù)學(xué) 期末高效復(fù)習(xí) 專題2 勾股定理

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 期末高效復(fù)習(xí) 專題2 勾股定理 1. 在直角三角形中，如果有一個(gè)角是 30°，那么下列各比值中，是這個(gè)直角三角形的三邊之比的是 ?? A． 1:2:3 B． 2:3:4 C． 1:4:9 D． 1:3:2 2. 一直角三角形的一直角邊長(zhǎng)為 6，斜邊長(zhǎng)比另一直角邊長(zhǎng)大 2，則該三角形的面積為 ?? A． 8 B． 10 C． 24 D． 48 3. 如圖，在四邊形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，則 AB= ?? A． 4 B． 5 C． 23 D． 833 4.

2、如圖①是用硬紙片做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為 a 和 b，斜邊為 c；圖②是以 c 為直角邊的等腰直角三角形．請(qǐng)你開動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能驗(yàn)證勾股定理的圖形． (1) 畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，并用它驗(yàn)證勾股定理； (2) 假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖中所給的直角三角形拼出另一種能夠驗(yàn)證勾股定理的圖形嗎？畫出拼成圖形的示意圖（不寫驗(yàn)證過(guò)程）． 5. 如圖是英國(guó)牧師佩里加爾證明勾股定理的“水車翼輪法”，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，互相垂直的線段 MN，PQ 將正方形 BFHC 分為面積相等的四部分，這四個(gè)部分和以 AC 為邊的正方

3、形恰好拼成一個(gè)以 AB 為邊的正方形．若正方形 ACDE 的面積為 5，△CQM 的面積為 1，則正方形 CBFH 的面積為 ?? A． 11 B． 12 C． 13 D． 14 6. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1． (1) 求四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)； (2) 求證：∠BCD=90°． 7. 已知三角形的三邊分別為 a，b，c，且 a=m-1，b=2m，c=m+1m>1． (1) 請(qǐng)判斷這個(gè)三角形的形狀； (2) 試找出一組直角三角形的三邊的長(zhǎng)，使它的最小邊不小于 20，另兩邊的差為 2，三邊均為正整數(shù)． 8. 如圖，已知：在正方形

4、ABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 AB 上，且 AF:FB=3:1． (1) 請(qǐng)你判斷 EF 與 DE 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2) 若此正方形的面積為 16，求 DF 的長(zhǎng)． 9. 如圖，高速公路的同側(cè)有 A，B 兩個(gè)村莊，它們到高速公路所在直線 MN 的距離分別為 AA1=2?km，BB1=4?km，A1B1=8?km．現(xiàn)要在高速公路上的 A1B1 之間設(shè)一個(gè)出口 P，使 A，B 兩個(gè)村莊到 P 的距離之和最短，則這個(gè)最短距離是多少千米？ 10. 如圖，已知直線 a∥b，且 a 與 b 之間的距離為 4，點(diǎn) A 到直線 a 的距離為 2，點(diǎn)

5、B 到直線 b 的距離為 3，試在直線 a 上找一點(diǎn) C，直線 b 上找一點(diǎn) D，滿足 CD⊥a，AC+CD+DB 的長(zhǎng)度和最短，且 AC+DB=8．則 AB 長(zhǎng) ?? A． 313 B． 330 C． 213 D． 230 11. 某工廠的大門如圖所示，其中四邊形 ABCD 是長(zhǎng)方形，上部是以 AB 為直徑的半圓，已知 AD=2.3?m，AB=2?m，現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高 2.5?m，寬 1.6?m，問(wèn)：這輛車能否通過(guò)廠門？請(qǐng)說(shuō)明理由． 12. 如圖，把一個(gè)矩形紙片 OABC 放入平面直角坐標(biāo)系中，使 OA，OC 分別落在 x 軸、 y 軸上，連接 O

6、B，將紙片 OABC 沿 OB 折疊，使點(diǎn) A 落在 A? 的位置上．若 OA=10，AB=5，則點(diǎn) A? 的坐標(biāo)為 ． 13. 如圖所示，已知在三角形紙片 ABC 中，BC=9，AC=12，∠BCA=90°，在 AC 邊上取一點(diǎn) E，以 BE 為折痕，使 AB 的一部分與 BC 重合，A 與 BC 延長(zhǎng)線上的點(diǎn) D 重合，則 DE 的長(zhǎng)度為 ?? A． 7.5 B． 8 C． 8.5 D． 9 14. 如圖，AC 為矩形 ABCD 的對(duì)角線，將邊 AB 沿 AE 折疊，使點(diǎn) B 落在 AC 上的點(diǎn) M 處，將邊 CD 沿 CF 折疊，使點(diǎn) D 落在 A

7、C 上的點(diǎn) N 處． (1) 求證：四邊形 AECF 是平行四邊形； (2) 若 AB=6，AC=10，求四邊形 AECF 的面積及 AE 與 CF 之間的距離． 15. 如圖，一圓柱高 6?cm，底面周長(zhǎng)為 4?cm，一只螞蟻從點(diǎn) A 沿側(cè)面爬到點(diǎn) B 處吃食，要爬行的最短路程是 ． 16. 如圖，長(zhǎng)寬高分別為 2，1，1 的長(zhǎng)方體木塊上有一只小蟲從頂點(diǎn) A 出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的外表面爬到頂點(diǎn) B，則它爬行的最短路程是 ?? A． 10 B． 5 C． 22 D． 3 17. 在 Rt△ABC 中，已知其兩直角邊長(zhǎng) a=5，b=3，那么斜

8、邊 c 的長(zhǎng)為 ?? A． 3 B． 4 C． 27 D． 34 18. 下列選項(xiàng)中，不能用來(lái)證明勾股定理的是 ?? A． B． C． D． 19. 勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載，如圖①，以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，再把較小的兩個(gè)等邊三角形按如圖②的方式放置在最大等邊三角形內(nèi)．若知道圖②中陰影部分的面積，則一定能求出圖②中 ?? A．最大等邊三角形與直角三角形面積的和 B．最大等邊三角形的面積 C．較小兩個(gè)等邊三角形重疊部分的面積 D．直角三角形的面積 20. 如圖，△ABC 和

9、△DCE 都是邊長(zhǎng)為 4 的等邊三角形，點(diǎn) B，C，E 在同一條直線上，連接 BD，則 BD 的長(zhǎng)為 ?? A． 3 B． 23 C． 33 D． 43 21. 如果三角形的三邊分別為 2，6，2，那么這個(gè)三角形的最大角的度數(shù)為 ． 22. 如圖，已知某山的高度 AC 為 800?m，在山上 A 處與山下 B 處各建一個(gè)索道口，且 BC=1500?m，歡歡從山下索道口坐纜車到山頂，已知纜車每分鐘走 50?m，那么大約多少分鐘后，歡歡才能達(dá)到山頂？ 23. 一個(gè)零件的形狀如圖①所示，按規(guī)定這個(gè)零件中 ∠A 和 ∠DBC 都應(yīng)為直角．工人師傅量得這個(gè)零

10、件各邊尺寸如圖②所示． (1) 你認(rèn)為這個(gè)零件符合要求嗎？為什么？ (2) 求這個(gè)零件的面積． 24. 如圖，在邊長(zhǎng)為 4 的菱形 ABCD 中，∠A=120°，M 是邊 AD 的中點(diǎn)，N 是 DC 邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將 △DMN 沿 MN 所在直線翻折得到 △D?MN，連接 BD?，則 BD? 長(zhǎng)度的最小值是 ?? A． 23 B． 7-1 C． 927-1 D． 27-2 25. 在底面直徑為 2?cm，高為 3?cm 的圓柱體側(cè)面上，用一條無(wú)彈性的絲帶從 A 至 C 按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長(zhǎng)度為 cm．（結(jié)果保留 π）

11、26. 課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間（如圖），∠ACB=90°，AC=BC，從三角板的刻度可知 AB=20?cm，小聰很快就知道了砌墻磚塊的厚度的平方（每塊磚的厚度相等）為 ． 27. 如圖所示，一張建立了平面直角坐標(biāo)系的圖紙被損壞，所幸有兩個(gè)標(biāo)志點(diǎn) A0,2，B0,-3 清晰可見(jiàn)． (1) 若點(diǎn) C 在點(diǎn) A 的南偏東 45° 方向，距離 A 點(diǎn) 32 個(gè)單位，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn) C 的位置； (2) 連接 AB，AC，BC，問(wèn)：△ABC 是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 28. 如圖，在離水面高度為 5?m 的岸上，有人用繩子拉船靠岸，

12、開始時(shí)繩子 BC 的長(zhǎng)為 13?m，此人以 0.5?m/s 的速度收繩，10?s 后船移動(dòng)到點(diǎn) D 的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)） 29. 如圖，正方形 ABCD 中，AB=12，點(diǎn) E 在邊 BC 上，BE=EC，將 △DCE 沿 DE 對(duì)折至 △DFE，延長(zhǎng) EF 交邊 AB 于點(diǎn) G，連接 DG，BF． (1) 求證：△DAG≌△DFG； (2) 求 BG 的長(zhǎng)； (3) 求 S△BEF． 30. 在 △ABC 中，AB=25，AC=4，BC=2，以 AB 為邊向 △ABC 外作 △ABD，使 △ABD 為等腰直角三角形，

13、求線段 CD 的長(zhǎng)． 答案 1. 【答案】D 2. 【答案】C 3. 【答案】D 4. 【答案】 (1) 答圖略，該圖形是梯形； 梯形的面積 =12a+ba+b． 梯形的面積還可以表示為三個(gè)三角形的面積之和，即 12ab+12ab+12c2． 兩者列成等式化簡(jiǎn)即可得 a2+b2=c2； (2) 畫邊長(zhǎng)為 a+b 的正方形，答圖略，其中 a，b 為直角邊，c 為斜邊． 5. 【答案】C 6. 【答案】 (1) 根據(jù)勾股定理可知 AB=32，BC=34，CD=34，AD=52， ∴ 四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)為 82+234． (

14、2) 連接 BD， ∵BC=34，CD=34，DB=68， ∴BC2+CD2=BD2， ∴△BCD 是直角三角形，即 ∠BCD=90°． 7. 【答案】 (1) ∵m-12+2m2=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=m+12， ∴a2+b2=c2， ∴ 這個(gè)三角形是直角三角形． (2) 取 b=20，即 2m=20， ∴m=100， ∴a=m-1=99，c=m+1=101． 8. 【答案】 (1) EF⊥DE，理由如下： 連接 DF，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 a，則 AD=DC=a，AF=34a，BF=14a，BE=EC=12a， 在

15、 Rt△DAF 中，DF2=AD2+AF2=2516a2， 在 Rt△CDE 中，DE2=CD2+CE2=54a2， 在 Rt△EFB 中，EF2=FB2+BE2=516a2， ∵DE2+EF2=54a2+516a2=2516a2=DF2， ∴△DFE 為直角三角形. ∴EF⊥DE． (2) ∵ 正方形的面積為 16， ∴a2=16， ∵DF2=2516a2=2516×16=25， ∴DF=5． 9. 【答案】答圖略． 作 B 點(diǎn)關(guān)于 MN 的對(duì)稱點(diǎn) B'，連接 AB' 交 A1B1 于點(diǎn) P，則 AP+BP=AP+PB'=AB'，易知 P 點(diǎn)即為到

16、 A，B 距離之和最短的點(diǎn)． 過(guò) A 作 AE⊥BB' 于點(diǎn) E， 則 AE=A1B1=8，B'E=AA1+BB1=2+4=6， 由勾股定理，得 AB'=AE2+EB'2=82+62=10， 即 AP+BP=AB'=10， 故出口 P 到 A，B 兩個(gè)村莊的最短距離之和是 10?km． 10. 【答案】D 11. 【答案】能通過(guò)，理由如下： 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 O，F(xiàn) 為 AB 上一點(diǎn)， 設(shè) OF=1.6÷2=0.8m， 過(guò)點(diǎn) F 作 FG⊥AB 交半圓于點(diǎn) G，答圖略． ∵OG=AB2=1?m，OF=0.8?m， ∴FG2=OG2-OF2=12-0.8

17、2=0.36， ∴FG=0.6?m， ∴ 點(diǎn) G 離地面的高度為 0.6+2.3=2.9m>2.5?m， 故車能通過(guò)． 12. 【答案】 6,8 13. 【答案】A 14. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠CAB=∠ACD． 由折疊的性質(zhì)可得 ∠EAB=∠EAC，∠ACF=∠FCD， ∴∠EAC=∠ACF， ∴AE∥CF， ∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形． (2) 在 Rt△ABC 中，AB=6，AC=10， 則根據(jù)勾股定理得 BC=8． ∵AM=AB=6， ∴C

18、M=AC-AM=4． 設(shè) CE=x，則 BE=EM=8-x， 在 Rt△EMC 中，利用勾股定理可得 EM2+CM2=CE2， 即 8-x2+42=x2，解得 x=5， 故四邊形 AECF 的面積 =AB?CE=6×5=30． 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE=35， 設(shè) AE 與 CF 之間的距離為 h， 則 AE?h=30， 即 35h=30， ∴h=25． 15. 【答案】 210?cm 16. 【答案】C 17. 【答案】D 18. 【答案】D 19. 【答案】C 20. 【答案】D 21. 【答案】

19、 90° 22. 【答案】在 Rt△ABC 中，根據(jù)勾股定理，得 AB=AC2+BC2=8002+15002=1700m． 1700÷50=34min． 答：大約 34?min 后，歡歡才能達(dá)到山頂． 23. 【答案】 (1) 這個(gè)零符合要求． ∵AB2+AD2=32+42=25，BD2=52=25， ∴AB2+AD2=BD2， ∴∠A=90°， 又 ∵BD2+BC2=52+122=169，DC2=132=169， ∴BD2+BC2=DC2， ∴∠DBC=90°； (2) ∵∠A=90°，∠DBC=90°， ∴ 這個(gè)零件的面積為 12

20、×3×4+12×5×12=36． 24. 【答案】D 25. 【答案】 3π2+1 26. 【答案】 20013 27. 【答案】 (1) 答圖略． (2) 不是．理由： ∵AC2=322=18，BC2=32+22=13，AB2=52=25，18+13=31≠25， ∴△ABC 不是直角三角形． 28. 【答案】在 Rt△ABC 中， ∵∠CAB=90°，BC=13?m，AC=5?m， ∴AB=132-52=12m， ∵ 此人以 0.5?m/s 的速度收繩，10?s 后船移動(dòng)到點(diǎn) D 的位置， ∴CD=13-0.5×1

21、0=8m， ∴AD=CD2-AC2=64-25=39m， ∴BD=AB-AD=12-39m， 答：船向岸邊移動(dòng)了 12-39m． 29. 【答案】 (1) 由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，EF=EC， ∴∠DFG=∠A=90°， ∵AD=DF，DG=DG， ∴Rt△DAG≌Rt△DFGHL． (2) ∵ 正方形邊長(zhǎng)是 12， ∴BF=EC=EF=6， 設(shè) AG=FG=x， 則 EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得 EG2=BE2+BG2， 即 x+62=62+12-x2， 解得 x=4， ∴AG=GF=4，

22、BG=8． (3) ∵S△BGE=12×BG×BE=24，且 GF=4，EF=6， ∴S△BEF=64+6×S△BGE=725． 30. 【答案】∵AC=4，BC=2，AB=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB 為直角三角形，∠ACB=90°． 分三種情況： 如圖，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥CB，垂足為點(diǎn) E． 易證 △ACB≌△BED，易求 CD=210． 如圖，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥CA，垂足為點(diǎn) E． 易證 △ACB≌△DEA，易求 CD=213． 如圖，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥CB，垂足為點(diǎn) E．過(guò)點(diǎn) A 作 AF⊥DE，垂足為點(diǎn) F． 易證 △AFD≌△DEB，易求 CD=32．