《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》0710

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1、全國2007年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案 課程代碼：04184 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 1.設(shè)行列式 a2b2 =1, a(c[ a2C2 =2,則 alb|+c)b2 a2+C2 二(D ) A?-3 B. -1 C.1 D.3 aib| aib + aC 11 =1+2=3? a2b?*C2 a2b2 a?C2 二2,則2?設(shè)A為3階方陣，且已知I-2AA二(B)A?TB?v3 -AR,(I)[AH,A3?設(shè)矩陣A,B,C為同階方陣, 則(A

2、BC)—(B) A?ATBTCT B. CTBTAT C. CTATBT ATCTBT4?設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知 J丁則A二（D住“丿 ■12] <34丿 ■12、 2<34J C. ■12] <34丿 (2A) ? (12 2A_ J， A=I 2<34) 5?設(shè)向量組〉】，〉2,i,〉S線性相關(guān)，則必可推出（C）A.：-l--2--）：s中至少有一個(gè)向量為零向量B.宀宀，…宀中至少有兩個(gè)向量成比例C?：一「2,…宀中至少有一個(gè)向量可以表示為其余向量的線性組合D?:-r-2^,：-s中每一個(gè)向量都可以表75為其余向量的線性組合設(shè)A為時(shí)矩

3、陣，則齊次線性方程組Ax=O僅有零解的充分必要條件是（A）A?A的列向量組線性無關(guān)B.A的列向量組線性相關(guān)C.A的行向量組線性無關(guān)D.A的行向量組線性相關(guān)AX=0僅有零解二r（A）二n二A的列向量組線性無關(guān). 6. 已知】「2是非齊次線性方程組Ax二b的兩個(gè)不同的解，「心 是其導(dǎo)出組Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，Ci,C2為任意常數(shù)，則方程組Ax二b的通解可以表為（ 1~ a（r-t_/）+&a^i+C2（a+a2） A?2丹■血 1 C2（卩）CiaC2（目一役） A） 1 B?2（b一隔）+Ga+C2（ai+ 1 D?2'目一卩2）+cia+C2（B+ 2（已+卩2

4、）是Ax-b的特解，8,8+%是Ax-0的基礎(chǔ)解系.&設(shè)3階矩陣力與B相似，且已知力的特征值為2,2,3,貝U9?設(shè)A為3階矩陣, 值為（B） 且已知3A2E|二0,則A必有一個(gè)特征 C. 10?二次型f(Xl,X2,X3)=xj*X；X32X1X24X1X3的矩陣為(C) A?丄B?1C?7 127 q24〃 q八—▲八 124 1 ?11o' A. 210 B? 010 C? 110 D? 112 計(jì)。 0b 〈20 <02b B,B二1 12200020003_12 *200*020]o03B相似

5、于 、填空題 （本大題共 10小題， 每小題2分, 共20分） *120〃11.設(shè)矩陣A=2io,B=Q01丿 -100xo2i,貝》A+2B二 勺20〃 <027J ■13〃 _52、 12.設(shè)3階矩陣A= 025 ,貝y（at）,二 0 3-1 <200 Q/2 ooj <01 巾 0 2 1 0 (T ■ 2 0 0 1 0 ■2 0 0 10、 (AT,E)T 1 2 0 0 1 0 T 3 5 0 0 0 1 T 0-1 0 0 -31

6、 <3 5 0 0 0 1 1 C 0 2 1 0 0 0 2 1 0。丿 10 0 0 -5 2， 0 0 0 -5 2、 ro -52、 T o-1 0 0 -3 1 T 01 0 0 3 -1 ,(A1宀 0 3-1 0 2 1 0 0 t e0 1 1/2 0 o J/2 o 0 400* ■令0 13.設(shè)3階矩陣A二 220 ,貝yA*A二 060 〈333丿 e°6丿 100

7、乞00 A*A斗AE二 220 E=6E二 060 ? 333 06丿 14?設(shè)A為mxn矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為「則矩陣B二AC的秩為r?B=AC,其中C可逆，則A經(jīng)過有限次初等變換得到B,它們的秩相等. 15?設(shè)向量。二,則它的單位化向量為冷土丄I16?設(shè)向量%二(1,1,1)打n2=(1,1,O)T,?3-(1,0,0)T,P=(0,1,1)T,貝!]R由〉1，〉2,〉3線性表岀的表示式為7二：10〉2-〉3? V V kl+k2+k3=0 設(shè)P=&%+k2^2+k3°3,艮卩 1 二k[ 1 * 1

8、 0 ,"Ikl+k2=1 7 1 ? ? k二1 1 丿 1 1 k2二0?k3二-1 JxiX2-X3二017?已知3元齊次線性方程組 2X13X2*X3二0有非零解，則Xi2x23X3=0 1 1 -1 1 0 0 1a+2 A 二 1 丄 — 14 7 1 2 3 1 1 4 設(shè)A為n階可逆矩陣，已知A有一個(gè)特征值為2,則（2A）J 必有一個(gè)特征值為】? -=2是

9、A的特征值，則（2?廠」是（2A）」的特征值. ￡勺a0）19.若實(shí)對稱矩陣A=aIo為正定矩陣，則a的取值應(yīng)滿Io0aj 三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分） /古 1111解: 1003102011001000 1000110010201003 22?設(shè)向量 =(123,4),-(1,-1,2,0),求⑴矩陣嚴(yán)；(2)向 量〉 (: 與］的內(nèi)積 J)? 解: (1) ￡ T-120、 2 2-240 1,- 3 3—360 盼 宀-48 (:,J=1 -260=5? 23. 設(shè)2階矩陣A可逆,

10、 A! 2 b2 F2_&J令7陰’求BJ解: -2I，P2JB1二P/A」p/= 24求向量 1] a?)-2 —bb2丿0 —an 何 c 2L° \J1 。丿組占1 ：2?丿汐」3 :2*1,-3,5,1)丁 b2-2bi -紹 二(3,2-1,4)「 :4二(-2飛,10,2)丁的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組. 1-1 3-2 1-13-2 解： 1-3 2-6 0 T -2 -1 -4 T0 6 -4 12 15-110 4 -5 8

11、 3142 1-13-2 1 -1 3 -2 0 -2-1-4 0 -2 -1 -4 0 0—70 0 0-70 0-70* 衛(wèi) 0 0 0 秩為3,:-r-2,：3是一個(gè)極大線性無關(guān)組. Xix2x3=a-325?給定線性方程組TXi+ax2+X3=-2?Xr+x2+ax3=一2 (1) 問a為何值時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解； 當(dāng)方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，求出其通解(用一個(gè)特解和導(dǎo)岀組的基礎(chǔ)解系表不) 解： 111a_3> T 廣1 0a-1 10 1a- 01— a-1i_ 1 a=l時(shí) 方程組 1a1

12、1a -2 _.2 有無窮多解； 1 1 1— xi—_2- -X?―X3 A T 0 0 00 ,彳X2二X2 通解為 <° 0 00> —— s3 S 0 1 +k2 0 <° 3 ‘°-1一126.求矩陣A二-1o-1的全部特征值及對應(yīng)的全部特征向 —1o解: z 11 人+211 1 1 1 1 1 1 矩-A 1 丸1 — 丸+2&1 二（九+2） 1 丸 1 二仏+

13、2) 0 丸一 0 1 1￡? 丸+21 1 1 扎 0 0 丸-1 =c-d2r-2）,特征值--2, ，23 對于，1二二，解齊次線性方程組CE-A)x=0:

14、 -3 3 T 0 -3 3 J1-2> <-2 11 e 3 -3」 1 c 0 解齊次線性方程組(七—A)x^O: ,對應(yīng)的全部特征向量為LiL2(ki,k2是不全為零的 ?111> ?111、 xi二—s2—x3 —— ?￡-A二 111 T 000 ,