（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 考點(diǎn)集訓(xùn)（二十九）第29講 平面向量的應(yīng)用 新人教A版

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1、考點(diǎn)集訓(xùn)(二十九)　第29講　平面向量的應(yīng)用 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p232 A組題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知向量a＝(1，1－cosθ)，b＝，且a∥b，則銳角θ等于(　　) A．30°B．45°C．60°D．75° [解析]∵a∥b，∴(1－cosθ)(1＋cosθ)＝，即sin2θ＝. 又∵θ為銳角，∴sinθ＝，θ＝45°. [答案]B 2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于(　　) A.B.C.D. [解析]∵20a＋15b＋12c＝0， ∴20a(－)＋15b＋12c＝0，

2、 ∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0， ∵與不共線， ∴　解得 ∴△ABC最小角為角A， ∴cosA＝＝＝， ∴sinA＝，故選C. [答案]C 3．在直角坐標(biāo)平面上，＝(1，4)，＝(－3，1)，且與在直線l的方向向量上的投影的長(zhǎng)度相等，則直線l的斜率為(　　) A．－B. C.或－D. [解析]設(shè)直線l的一個(gè)方向向量為v＝(1，k)，由題意可得＝， ∴|1＋4k|＝|－3＋k|，解得k＝或－. [答案]C 4．已知兩定點(diǎn)A(1，1)，B(－1，－1)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·＝，則點(diǎn)P的軌跡是(　　 ) A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線 [解析]由

3、題知＝(1－x，1－y)，＝(－1－x，－1－y)， 所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2. 由已知x2＋y2－2＝，得＋＝1，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓． [答案]B 5．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最大值、最小值分別為(　　) A．9，7B．8，7 C．9，8D．17，8 [解析]由題意可知橢圓的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)E(x，y)(－3≤x≤3)，則＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以當(dāng)x＝0時(shí)，·有最小值7

4、，當(dāng)x＝±3時(shí)，·有最大值8，故選B. [答案]B 6．如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(＋)·的最小值為________． [解析]∵圓心O是直徑AB的中點(diǎn)， ∴＋＝2，∴(＋)·＝2·， ∵||＋||＝3≥2， ∴||·||≤， 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，當(dāng)且僅當(dāng)||＝||＝時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為－. [答案]－ 7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·. (1)求角B的大??； (2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值． [解析] (1)由題意

5、得(a－c)cosB＝bcosC. 根據(jù)正弦定理得(sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， 所以sinAcosB＝sin (C＋B)， 即sinAcosB＝sinA， 因?yàn)锳∈(0，π)，所以sinA>0. 所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因?yàn)閨－|＝，所以||＝. 即b＝，根據(jù)余弦定理及基本不等式，得 6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào))，即ac≤3(2＋)， 故△ABC的面積S＝acsinB≤， 即△ABC的面積的最大值為. 8．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，滿足OA＝(－3，m＋1

6、), OB＝(n，3), OC＝(7，4)，且⊥，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求實(shí)數(shù)m, n的值； (2)設(shè)△AOC的重心為G，且OG＝OB，求cos∠AOC的值． [解析] (1)因?yàn)槿c(diǎn)A, B, C在一條直線上，所以∥， 又＝(n＋3，2－m), ＝(7－n，1)， 所以n＋3＝(7－n)(2－m)，① 因?yàn)椤?，所以?n＋3(m＋1)＝0，即n＝m＋1，② 由①、②解得或 (2)因?yàn)镚為△OAC的重心，且＝， 所以點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)， 所以m＝1, n＝2. 所以＝(－3，2), ＝(7，4)， 因此cos∠AOC＝＝＝－. B組題 1．已知向量a，b，c且

7、a＋b＋c＝0，|a|<|b|<|c|.設(shè)a與b的夾角為θ1，b與c的夾角為θ2，a與c的夾角為θ3，則θ1，θ2，θ3的大小關(guān)系是(　　) A．θ1<θ2<θ3B．θ1<θ3<θ2 C．θ2<θ3<θ1D．θ3<θ2<θ1 [解析]如圖，由|a|<|b|<|c|知：BC>BA>AC?∠BAC>∠BCA>∠ABC?θ1<θ3<θ2. [答案]B 2．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最大值為(　　) A.B. C.D．3 [解析]如圖所示： 以D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以

8、DC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)B做BN⊥x軸，BM⊥y軸， 因?yàn)锳B⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1， 所以AN＝ABcos60°＝，BN＝ABsin60°＝ ∴DN＝1＋＝， ∴BM＝， ∴CM＝BMtan30°＝， ∴DC＝DM＋MC＝， ∴A(1，0)，B，C(0，)， 設(shè)E(0，m)， ∴＝(－1，m)，＝，0≤m≤， ∴·＝＋m2－m＝＋， 當(dāng)m＝時(shí)，取得最小值. [答案]A 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2(r>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)C滿足＝＋，則r＝______

9、__． [解析]由＝＋，得2＝2＋OB2＋2×|OA|×|OB|×cos∠AOB，∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，∴r2＝r2＋r2cos∠AOB，解得cos∠AOB＝－.在△OAB中，由余弦定理可求得|AB|＝r，過點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D，根據(jù)圓心到直線的距離|OD|＝＝，得＋＝r2，解得r2＝10，r＝. [答案] 4．已知圓M：x2＋＝1，圓N：x2＋＝1，直線l1，l2分別過圓心M，N，且l1與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，l2與圓N相交于C，D兩點(diǎn)，P是橢圓＋＝1上的任意一動(dòng)點(diǎn)，則·＋·的最小值為________． [解析]　·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝2－1，

10、 同理：·＝2－1. 又P在橢圓上，所以||＋||＝2a＝4， ∴·＋·＝2＋2－2 ＝(||＋||)2－2|PM|·|PN|－2 ＝14－2|PM|·|PN|≥14－＝6. [答案]6 5．已知拋物線y＝x2上兩點(diǎn)A，B滿足＝λ，λ＞0，其中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，＝＋，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求： (1)∠AOB的大小； (2)四邊形OAMB的面積S的最小值． [解析] (1)由＝λ，知A，P，B三點(diǎn)在同一直線上，設(shè)直線方程為y＝kx＋1，A(x1，x)，B(x2，x)． 由得x2－kx－1＝0，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1. ∵·＝x1x2＋xx＝－1＋(－1)2＝0， ∴⊥，∴∠AOB＝90°. (2)由＝＋，知四邊形OAMB是平行四邊形． 又∠AOB＝90°，∴四邊形OAMB是矩形． ∴S＝||||＝ ＝－x1x2＝ ＝＝， ∴k＝0時(shí)，Smin＝2. 7