（新課改省份專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（五十一）直線與橢圓的位置關(guān)系（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)（五十一） 直線與橢圓的位置關(guān)系 一、題點(diǎn)全面練 1．若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．至多為1　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析：選B　由題意知＞2，即＜2， ∴點(diǎn)P(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2. 2．中心為原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選C　由題設(shè)知c＝5，設(shè)橢圓方程為＋＝1，聯(lián)立方程消去y，整理得 (10a2－450)x

2、2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以橢圓方程為＋＝1. 3．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為(　　) A．2 B. C. D. 解析：選C　設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 則x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝·， 當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝. 4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，若橢圓

3、上存在一點(diǎn)P，使(＋)·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△F1PF2的面積是(　　) A．4 B.3 C．2 D．1 解析：選D　∵(＋)·＝(－)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝(m＋n)2－m2－n2＝4，mn＝2，∴＝mn＝1. 5.過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若＜k＜，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又＜k＜，所

4、以＜＜，化簡(jiǎn)可得＜＜，從而可得＜e＜，選C. 6．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為__________． 解析：設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，則c＝1.因?yàn)檫^F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 7．過點(diǎn)M(－2,0)的直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值

5、為__________． 解析：過點(diǎn)M(－2,0)的直線m的方程為y－0＝k1(x＋2)，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以點(diǎn)P，直線OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－. 答案：－ 8．(2019·廣州模擬)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，點(diǎn)F關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的方程為__________． 解析：設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，由題意可知c＝1，即a2－b2＝1①，設(shè)點(diǎn)F(1,0)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(m，n)，可得＝－2②.又因?yàn)辄c(diǎn)F與其對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且中點(diǎn)在直線y＝x上，所以有＝

6、×③，聯(lián)立②③，解得即對(duì)稱點(diǎn)為，代入橢圓方程可得＋＝1④，聯(lián)立①④，解得a2＝，b2＝，所以橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 9．(2019·長(zhǎng)春監(jiān)測(cè))已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過點(diǎn)E. (1)求橢圓C的方程； (2)過F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若＝2，求直線l的斜率k的值． 解：(1)由 解得所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由題意得直線l的方程為y＝k(x＋1)(k＞0)， 聯(lián)立整理得y2－y－9＝0， Δ＝＋144＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝，y1y2＝， 又＝2，所以y

7、1＝－2y2， 所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，則3＋4k2＝8， 解得k＝±，又k＞0，所以k＝. 10．(2018·成都模擬)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(，0)，長(zhǎng)半軸與短半軸的比值為2. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N.若點(diǎn)B(0,1)在以線段MN為直徑的圓上，求直線l的方程． 解：(1)由題可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝1. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)易知當(dāng)直線l的斜率為0或直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意．當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝my

8、＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 聯(lián)立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0. Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝. ∵點(diǎn)B在以MN為直徑的圓上， ∴·＝0. ∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0， ∴(m2＋1)·＋(m－1)·＋2＝0， 整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝. ∴直線l的方程為x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0. 二、專項(xiàng)培優(yōu)練 (一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分 1．已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1(x≠0，y≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右

9、焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且·＝0，則||的取值范圍是(　　) A．[0,3)　　　　　　　 B．(0,2) C．[2，3) D．(0,4] 解析：選B　如圖，延長(zhǎng)F1M交PF2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G. ∵·＝0，∴⊥. 又MP為∠F1PF2的平分線， ∴|PF1|＝|PG|，且M為F1G的中點(diǎn)． ∵O為F1F2的中點(diǎn)，∴OM綊F2G. ∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||， ∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||. ∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2， ∴||∈(0,2)． 2．已知橢圓M：＋

10、y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為(　　) A．(1,6) B.(1,5) C．(3,6) D．(3,5) 解析：選D　由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3＜a2＜5.設(shè)橢圓M：＋y2＝1與圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共點(diǎn)P(x0，y0)，則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為＋y0y＝1，圓C在P處的切線方程為x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)． 3.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，

11、A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，延長(zhǎng)B1F2與A2B2交于P點(diǎn)，若∠B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為______． 解析：設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為，所夾的角為鈍角，則(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，則a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1. 答案： (二)難點(diǎn)專練——適情自主選 4．(2018·天津高考)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知橢圓的離心率為，|AB|＝. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx(k＜0)與

12、橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值． [解]　(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得＝， 又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b. 又|AB|＝＝，從而a＝3，b＝2. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2，y2)， 由題意知，x2＞x1＞0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，－y1)． 因?yàn)椤鰾PM的面積是△BPQ面積的2倍， 所以|PM|＝2|PQ|， 所以x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1. 易知直線AB的方程為2x＋3y＝6， 由方程組消去y，可

13、得x2＝. 由方程組消去y，可得x1＝. 由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)， 兩邊平方，整理得18k2＋25k＋8＝0， 解得k＝－或k＝－. 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝－9＜0，不合題意，舍去； 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝12，x1＝，符合題意． 所以k的值為－. 5．(2018·成都一診)已知橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線l：x＝5與x軸的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)． (1)若直線l1的傾斜角為，求|AB|的值； (2)設(shè)直線AM交直線l于點(diǎn)N，證明：直線BN⊥l. 解：由題意知，F(xiàn)(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．

14、(1)∵直線l1的傾斜角為，∴斜率k＝1. ∴直線l1的方程為y＝x－1. 代入橢圓方程，可得9x2－10x－15＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝－. ∴|AB|＝· ＝× ＝. (2)證明：設(shè)直線l1的方程為y＝k(x－1)． 代入橢圓方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 設(shè)N(5，y0)，∵A，M，N三點(diǎn)共線， ∴＝，∴y0＝. 而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1) ＝ ＝＝0. ∴直線BN∥x軸，即BN⊥l. - 8 -