2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第九單元 解析幾何 第69講 圓錐曲線的綜合應用（二）練習 理（含解析）新人教A版

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1、第69講　圓錐曲線的綜合應用(二) (與定點、定值及探索性問題的綜合) 1．(2018·全國卷Ⅰ)設橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2，0)． (1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程； (2)設O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB. (1)由已知得F(1，0)，l的方程為x＝1. 由已知可得，點A的坐標為(1，)或(1，－)． 又M(2，0)， 所以AM的方程為y＝－x＋或y＝x－. (2)當l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°. 當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線， 所以∠OMA＝∠OMB. 當l與x軸不重

2、合也不垂直時，設l的方程為 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和為 kMA＋kMB＝＋. 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得 kMA＋kMB＝. 將y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0. 從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補． 所以∠OMA＝∠OMB. 綜上，∠OMA＝∠OMB. 2．(2018·昆明市教學質(zhì)量檢測)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為

3、F，準線為l.已知點A在拋物線C上，點B在l上，△ABF是邊長為4的等邊三角形． (1)求p的值； (2)在x軸上是否存在一點N，當過點N的直線l′與拋物線C交于點Q，R兩點時，＋為定值？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由． (1)由題意，|AF|＝|AB|，則AB⊥l，設準線l與x軸交于D，則AB∥DF. 又△ABF是邊長為4的等邊三角形，所以∠ABF＝60°. 所以∠BFD＝60°，|DF|＝|BF|·cos∠BFD＝4×＝2， 即p＝2. (2)設點N(t，0)，由題意知直線l′的斜率不為零， 設直線l′的方程為x＝my＋t，點Q(x1，y1)，R(x2，y2

4、)， 由得y2－4my－4t＝0， Δ＝16m2＋16t>0，y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4t， 易知|NQ|2＝(x1－t)2＋y＝(my1＋t－t)2＋y＝(1＋m2)y， 同理可得|NR|2＝(1＋m2)y. 則有＋＝＋＝＝＝＝. 若＋為定值，則t＝2，此時點N(2，0)． 又當t＝2，m∈R時，Δ>0， 所以，存在點N(2，0)，當過點N的直線l′與拋物線C交于Q，R兩點時，＋為定值. 3．(經(jīng)典真題)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點P(0,1)和點A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M. (1)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用

5、m，n表示)； (2)設O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由． (1)由題意得解得a2＝2. 故橢圓C的方程為＋y2＝1. 設M(xM,0)．因為m≠0，所以－1＜n＜1， 直線PA的方程為y－1＝x. 所以xM＝，即M(，0)． (2)因為點B與點A關(guān)于x軸對稱，所以B(m，－n)． 設N(xN,0)，則xN＝. “存在點Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”等價于“存在點Q(0，yQ)使得＝”，即yQ滿足y＝|xM||xN|. 因為xM＝，xN＝，＋n2＝1，

6、 所以y＝|xM||xN|＝＝2. 所以yQ＝或yQ＝－. 故在y軸上存在點Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且點Q的坐標為(0，)或(0，－)． 4．(經(jīng)典真題)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M. (1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值； (2)若l過點(，m)，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由． (1)證明：設直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 將y＝kx＋b

7、代入9x2＋y2＝m2， 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0， 故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝. 于是直線OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9. 所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值． (2)四邊形OAPB能為平行四邊形． 因為直線l過點(，m)，所以l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k>0，k≠3. 由(1)得OM的方程為y＝－x. 設點P的橫坐標為xP. 由得x＝，即xP＝. 將點(，m)的坐標代入l的方程得b＝， 因此，xM＝. 四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM， 于是＝2×， 解得k1＝4－，k2＝4＋. 因為ki>0，ki≠3，i＝1,2， 所以當l的斜率為4－或4＋時，四邊形OAPB為平行四邊形． 4