2020高考數學 專題練習 二十七 坐標系與參數方程(選修4－4) 文

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1、高考專題訓練二十七　坐標系與參數方程(選修4－4) 班級_______　姓名_______　時間：45分鐘　分值：100分　總得分_______ 一、填空題(每小題6分，共30分) 1．(2020·陜西)直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數)和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 解析：C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1 C2：x2＋y2＝1. 最小值為|C1C2|－2＝5－2＝3. 答案：3 2．(2020·湖北)如圖，直角坐標系xOy所在的平面為α，直角坐標系x′Oy′(其中y′與y軸重

2、合)所在平面為β，∠xOx′＝45°. (1)已知平面β內有一點P′(2，2)，則點P′在平面α內的射影P的坐標為________； (2)已知平面β內的曲線C′的方程是(x′－)2＋2y′2－2＝0，則曲線C′在平面α內的射影C的方程是________． 解析：(1)如圖P′(2，2) 在α上坐標P(x，y) x＝2cos45°＝2×＝2，y＝2，∴P(2,2)． (2)β內曲線C′的方程＋y′2＝1 同上解法．中心(1,0) 即投影后變成圓(x－1)2＋y2＝1. 答案：(1)P(2,2)　(2)(x－1)2＋y2＝1 3．(2020·深圳卷)已知點P是曲線C：

3、(θ為參數，0≤θ≤π)上一點，O為原點．若直線OP的傾斜角為，則點P坐標為________． 解析：由(0≤θ≤π)可得＋＝1(0≤y≤4)，由于直線OP的方程為y＝x，那么由 ?. 答案： 4．(2020·佛山卷)在極坐標系中，和極軸垂直且相交的直線l與圓ρ＝4相交于A、B兩點，若|AB|＝4，則直線l的極坐標方程為________． 解析：設極點為O，由該圓的極坐標方程為ρ＝4，知該圓的半徑為4，又直線l被該圓截得的弦長|AB|為4，所以∠AOB＝60°，∴極點到直線l的距離為d＝4×cos30°＝2，所以該直線的極坐標方程為ρcosθ＝2. 答案：ρcosθ＝2

4、5．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點的極坐標為________． 分析：本題考查極坐標方程與普通方程的互化． 解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其普通方程為x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的普通方程為x＝－1，聯(lián)立，解得，點(－1,1)的極坐標為. 答案： 二、解答題(每小題7分，共70分) 6．已知曲線C1：(θ為參數)， 曲線C2：(t為參數)． (1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數； (2)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C1′，C2′.寫出C1′，C

5、2′的參數方程．C1′與C2′公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同？說明你的理由． 解：(1)C1是圓，C2是直線．C1的普通方程為x2＋y2＝1，圓心為(0,0)，半徑r＝1. C2的普通方程為x－y＋＝0. 因為圓心(0,0)到直線x－y＋＝0的距離為1，所以C2與C1只有一個公共點． (2)壓縮后的參數方程分別為 C1′：(θ為參數)， C2′：(t為參數)． 化為普通方程分別為C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋， 聯(lián)立消元得2x2＋2x＋1＝0， 其判別式Δ＝(2)2－4×2×1＝0， 所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個公共點，和C1與C

6、2公共點的個數相同． 7．已知直線l：與拋物線y＝x2交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：把代入y＝x2，得t2＋t－2＝0， ∴t1＋t2＝－，t1t2＝－2.由參數的幾何意義，得 |AB|＝＝. 8．(2020·福建)在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數方程為(α為參數)． (1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l的位置關系； (2)設點Q是曲線C上一個動點，求它到直線l的距離的最小值． 解：(1)把極坐標系下的點P化為直角坐標系，得P(0,4)．

7、 因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l上． (2)因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為(cosα，sinα)從而點Q到直線l的距離為： d＝＝ ＝cos＋2， 由此得，當cos＝－1時，d取得最小值，且最小值為. 9．已知曲線C的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋6＝0，求： (1)曲線C的普通方程； (2)設點P(x，y)是曲線C上任意一點，求xy的最大值和最小值． 解：(1)原方程可化為ρ2－4ρ＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.∵∴x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即為所求

8、普通方程． (2)設＝cosθ，＝sinθ，則xy＝(2＋cosθ)(2＋sinθ)＝4＋2(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ.設t＝cosθ＋sinθ，則t＝sin，∴t∈[－，]，t2＝1＋2cosθsinθ，從而2cosθsinθ＝t2－1. ∴xy＝3＋2t＋t2.當t＝－時，xy取得最小值1；當t＝時，xy取得最大值9. 10．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝.圓O的參數方程為(θ為參數，r>0)． (1)求圓心的極坐標； (2)當r為何值時，圓O上的點到直線l的最大距離為3? 解：(1)圓心坐標為

9、， 設圓心的極坐標為(ρ，θ)， 則ρ＝ ＝1， 所以圓心的極坐標為. (2)直線l的極坐標方程為ρ＝， ∴直線l的普通方程為x＋y－1＝0， ∴圓上的點到直線l的距離 d＝， 即d＝. ∴圓上的點到直線l的最大距離為＝3， ∴r＝. 11．(2020·哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學第一次聯(lián)考)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合，且兩個坐標系的單位長度相同，已知直線l的參數方程為(t為參數)，曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ. (1)若直線l的斜率為－1，求直線l與曲線C交點的極坐標； (2)若直線l與曲線C的

10、相交弦長為2，求直線l的參數方程． 解：(1)直線l的普通方程為y－1＝－1(x＋1)，即 y＝－x， ① 曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0. ② ①代入②得：2x2－4x＝0，解得x＝0或x＝2. ∴A(0,0)，B(2，－2)，極坐標為A(0,0)，B. (2)由題意可得圓心C(2,0)到相交弦的距離為＝1，設直線l的斜率為k，則l的方程為y－1＝k(x＋1)，則y＝kx＋k＋1， ∴＝1，∴k＝0或k＝－. ∴l(xiāng)：(t為參數)或(t為參數)． 12．已知A、B是橢圓＋＝1與x軸、y軸的正半軸的兩交點

11、，在第一象限的橢圓弧上求一點P，使四邊形OAPB的面積最大． 解：設點P的坐標為(3cosθ，2sinθ)，其中0<θ<， ∵S四邊形AOBP＝S△APB＋S△AOB，其中S△AOB為定值，故只需S△APB 最大即可．因為AB為定長，故只需點P到AB的距離最大即可．AB的方程為2x＋3y－6＝0，點P到AB的距離為d＝＝·，∴θ＝時，d取最大值，從而S△APB取最大值，這時點P的坐標為. 13．已知圓C的參數方程為(θ為參數)，P是圓與y軸的交點，若以圓心C為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求過點P的圓的切線的極坐標方程． 解：依題意，圓C：是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓，

12、與y軸交于(0，±)，如圖所示．設R是切線上一點，∵PR為圓C的切線，∴△CPR為直角三角形，∴CR·cos∠RCP＝CP，又∠PCO＝，∴極坐標方程為ρcos＝2；若取圓與y軸負軸交點，則極坐標方程為ρcos＝2. 14．(2020·遼寧)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(φ為參數)，曲線C2的參數方程為(a>b>0，φ為參數)．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個交點．當α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當α＝時，這兩個交點重合． (1)分別說明C1，C1是什么曲線，并求出a與b的值； (2)設當α＝時，l與C1，C2

13、的交點分別為A1，B1，當α＝－時，l與C1，C2的交點分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積． 解：(1)C1是圓，C2是橢圓． 當α＝0時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(1,0)，(a,0)，因為這兩點間的距離為2，所以a＝3. 當α＝時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(0,1)，(0，b)，因為這兩點重合，所以b＝1. (2)C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1， 當α＝時，射線l與C1交點A1的橫坐標為x＝，與C2交點B1的橫坐標為x′＝. 當α＝－時，射線l與C1，C2的兩個交點A2，B2分別與A1，B1關于x軸對稱，因此四邊形

14、A1A2B2B1為梯形． 故四邊形A1A2B2B1的面積為 ＝. 15．(2020·課標)在直線坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，M是C1上的動點，P點滿足＝2，P點的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|. 解：(1)設P(x，y)，則由條件知M，由于M點在C1上，所以 即 從而C2的參數方程為 (α為參數) (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sinθ. 射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.