北師大版數(shù)學必修4《從位移、速度、力到向量》練習

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1、北師大版數(shù)學必修4《從位移、速度、力到向量》練習 時間：45分鐘　滿分：80分 班級________　　姓名________　　分數(shù)________ 一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分) 1．給出下列四個命題：①時間、速度、距離都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③所有的單位向量都相等；④共線向量一定在同一直線上．其中正確的命題有(　　) A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 答案：D 解析：時間、距離不是向量；向量的?？梢允?；單位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共線向量，可以不在同一直線上．所以四個命題都不正確． 2．設O是△ABC的外心，則，

2、，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起點相同的向量 答案：B 解析：∵三角形的外心是三角形外接圓的圓心，∴點O到三個頂點A，B，C的距離相等，∴，，是模相等的向量． 3．如圖，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B. C. D. 答案：D 解析：＋＋＝＋＋＝＋＝，所以選D. 4．已知平行四邊形ABCD，設＋＋＋＝a，且b是一非零向量，則下列結論：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正確的是(　　) A．①③ B．②③ C．②④ D．①② 答案：A 解析：∵在平行四邊形ABCD

3、中，＋＝0，＋＝0，∴a為零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于這個向量本身，∴①③正確，②④錯誤． 5．如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：設a＝＋，利用平行四邊形法則作出向量＋，再平移即發(fā)現(xiàn)a＝. 6．設非零向量a，b，c，若p＝＋＋，則|p|的取值范圍為(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[0,3] D．[1,2] 答案：C 解析：因為，，是三個單位向量，因此當三個向量同向時，|p|取最大值3.當三個向量兩兩成120°角時，它們的和為0，故|p|的最小值為

4、0. 二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分) 7．如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，那么： (1)在圖中與共線的向量有________； (2)在圖中與相等的向量有________； (3)在圖中與模相等的向量有________； (4)在圖中與相等的向量有________． 答案：(1)，，，，，，；(2)，；(3)，，，，，，，，；(4) 解析：(1)與已知向量在同一直線上或平行的向量都是它的共線向量，根據(jù)題意，與共線的向量有，，，，，，. (2)與已知向量相等的向量與已知向量方向相同、長度相等，于是與相等的向量有，. (3)向量的模相等

5、，只需長度相等，與方向無關，根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，可知與模相等的向量有，，，，，，，，. (4)與相等的向量只有. 8．若a＝“向東走8公里”，b＝“向北走8公里”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 答案：8　北偏東45°(或東北方向) 解析：由題意知，|a|＝|b|＝8，且a⊥b，所以|a＋b|是以a，b為鄰邊的正方形的對角線長，所以|a＋b|＝8，a＋b與b的夾角為45°，所以a＋b的方向是北偏東45°. 9．已知正方形ABCD的邊長為1，＝a，＝b，＝c，則|a＋b＋c|＝________. 答案：2 解析：由題意，知a＋b＋c＝

6、2c，而|c|＝，故|a＋b＋c|＝2. 三、解答題：(共35分，11＋12＋12) 10．如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．試求：(1)與向量相等的向量；(2)與共線的向量． 解：(1)在平行四邊形ABCD和ABDE中，有＝，＝，所以與相等的向量為，； (2)由圖形不難得到，與共線的向量有，，，，，，. 11．在如下圖的方格紙上，每個小正方形的邊長都是1，已知向量a. (1)試以點B為終點畫一個向量b，使b＝a； (2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c|＝，并說出向量c的終點的軌跡是什么圖形？ 解：畫一個向量，必須先確定所畫向量的方向和大小，另外

7、還需根據(jù)實際情況確定起點和終點． (1)如圖所示，向量即為所求向量b； (2)向量即為一個所求向量c，向量c終點的軌跡是一個以點A為圓心，以為半徑的圓． 12．已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范圍． 解：由|a－b|≤|a|＋|b|可得|－|≤||＋||＝6＋9＝15(當且僅當、共線反向時成立)，當、共線同向時，|－|＝||－||＝3，∴3≤|－|≤15. 附送： 2019-2020年北師大版數(shù)學必修4《從力做的功到向量的數(shù)量積》練習 一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分) 1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為(　　

8、) A. B. C. D. 答案：C 解析：由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝. 2．下列命題正確的是(　　) A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0 B．若a·b＝0，則a∥b C．若a⊥b，則a·b＝(a·b)2 D．a(chǎn)2＞|a|2 答案：C 解析：a·b＝0時，可能為a⊥b的情況；|a|2＝a2，故選C. 3．設向量a，b均為單位向量，且|a＋b|＝1，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉

9、∈[0，π]，∴〈a，b〉＝. 4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則k＝(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 答案：B 解析：由題意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6. 5．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．以上都不對 答案：C 解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，∴a＋b＝－c. 又∵a·c＝b·c，即(a－b)·c＝0， ∴－(a－

10、b)·(a＋b)＝0，即|a|＝|b|. 同理，|a|＝|c|，|b|＝|c|，故|a|＝|b|＝|c|. 6．在邊長為的正三角形ABC中，設＝c，＝a，＝b，則a·b＋b·c＋c·a等于(　　) A．－3 B．0 C．1 D．2 答案：A 解析：a·b＋b·c＋c·a＝b·(a＋c)＋c·a＝b·(－b)＋c·a＝－b2＋c·a＝－2＋··cos＝－3. 二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分) 7．已知|a|＝4，a與b的夾角θ為30°，則a在b方向上的投影為________． 答案：2 解析：a在b方向上的投影為|a|·cosθ＝4×cos30°＝2.

11、8．向量a與b滿足|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，則|b|＝________. 答案： 解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝9，∴2a·b＝9－|a|2－|b|2＝5－|b|2.① |a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9. ∴2a·b＝|a|2＋|b|2－9＝|b|2－5.② ∴|b|＝. 9．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是__________． 答案：22 解析：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因為·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因為2＝25，2＝64，所以·＝22. 三

12、、解答題：(共35分，11＋12＋12) 10．已知e1與e2是兩個夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的夾角． 解析：因為|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝， |b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－， 所以cos〈a，b〉＝＝＝－， 所以a與b的夾角為120°. 11．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，(a＋b)⊥(a＋tb)，求實數(shù)t的值． 解析：由

13、題意，得(a＋b)·(a＋tb)＝0， ∴a2＋(t＋1)a·b＋tb2＝0， 即4＋(t＋1)×(－2)＋4t＝0， 得t＝－1. 12．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夾角為60°. (1)求(2a－b)·(a＋b)； (2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求實數(shù)λ的值． 解析：(1)由題意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2. ∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12. (2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0， ∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0， ∴λ＝12.