（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第一部分 思想方法 數(shù)學(xué)思想方法 第1講 函數(shù)與方程思想教學(xué)案 理

《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第一部分 思想方法 數(shù)學(xué)思想方法 第1講 函數(shù)與方程思想教學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第一部分 思想方法 數(shù)學(xué)思想方法 第1講 函數(shù)與方程思想教學(xué)案 理（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一部分　思想方法·數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)解題思維策略有兩條主線：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法．數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一條明線，而數(shù)學(xué)思想方法則是一條暗線．二輪復(fù)習時，我們應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法．熟練掌握好數(shù)學(xué)思想方法，會使你站在一個嶄新的高度去審視問題，從而助力你在解答高考數(shù)學(xué)綜合問題時能左右逢源，游刃有余！ 第1講　函數(shù)與方程思想 思想方法·簡明概述 函數(shù)思想 方程思想 函數(shù)思想是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題得到解決的思想 方程思想就是建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)

2、化問題，使問題得到解決的思想 函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的．函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系 熱點探究·考向調(diào)研 調(diào)研一　構(gòu)建“目標函數(shù)”求最值 【例1】　(1)[2019·河北衡水中學(xué)三調(diào)]平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，·＝－1，點M在邊CD上，則·的最大值為(　　) A.－1 B.－1 C．0 D．2 解析：如圖，∵·＝－1，AB＝2，AD＝1， ∴||·||cos∠BAD＝－1， ∴2cos∠BAD＝－1，cos∠BAD＝－， ∴∠BAD＝120°. 以點A為原點，AB所在

3、直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系， 則A(0,0)，B(2,0)，D.由點M在邊CD上，可設(shè)M，則x∈，則＝，＝，所以·＝x(x－2)＋＝(x－1)2－. 令f(x)＝(x－1)2－，x∈，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f＝2，選D. 答案：D (2)[2019·河南新鄉(xiāng)市二模]已知數(shù)列{an}的首項a1＝21，且滿足(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋4n2－16n＋15，則{an}的最小的一項是(　　) A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)7 D．a(chǎn)8 解析：∵(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋4n2－16n＋15， ∴(2n－5)an＋1

4、＝(2n－3)an＋(2n－3)(2n－5)， ∴＝＋1，－＝1. ∵a1＝21，∴＝＝－7， ∴數(shù)列是首項為－7，公差為1的等差數(shù)列， ∴＝－7＋(n－1)×1＝n－8， ∴an＝(n－8)(2n－5)，n∈N*. 令f(n)＝(n－8)(2n－5)，n∈N*，則其對稱軸為n＝＝5.25，則{an}的最小的一項是第5項，選A. 答案：A (3)[2019·黑龍江哈三中期末]已知橢圓＋x2＝1(a>1)的離心率e＝，P為橢圓上的一個動點，若定點B(－1,0)，則|PB|的最大值為(　　) A. B．2 C. D．3 解析：由題意，得＝2， 解得a2＝5，則橢圓方程為＋x

5、2＝1， 設(shè)P(x，y)，則y2＝5(1－x2)， 所以|PB|＝ ＝ ＝ ＝. 因為x∈[－1,1]，所以當且僅當x＝時， |PB|max＝，選C. 答案：C (4)[2019·安徽蕪湖期末]銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2asinC＝c，a＝1，則△ABC的周長的最大值為(　　) A.＋1 B.＋1 C．3 D．4 解析：∵2asin C＝c， ∴2sin Asin C＝sin C，∴sin A＝. ∵△ABC為銳角三角形，∴A＝. 由正弦定理，得＝＝＝， ∴b＝sin B，c＝sin C， ∴△ABC的周長為1＋sin B＋si

6、n C ＝1＋sin B＋sin ＝1＋ ＝1＋ ＝1＋ ＝1＋2sin， ∴當B＝，即△ABC為等邊三角形時，周長取得最大值3，選C. 答案：C 方法點睛 構(gòu)建“目標函數(shù)”就是把待求目標寫成函數(shù)的形式，將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題． (1)求最值或值域時，經(jīng)常用到配方法、換元法、均值不等式法以及函數(shù)單調(diào)性法． (2)求最值或值域時，要根據(jù)題目的已知條件，準確求出目標函數(shù)的定義域． 調(diào)研二　分離參數(shù)“顯化函數(shù)關(guān)系”求范圍 【例2】　(1)[2019·河北衡水中學(xué)二調(diào)]若關(guān)于x的方程log(a－3x)＝x－2有解，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．4　　　　　

7、 B．6 C．8 D．2 解析：關(guān)于x的方程log(a－3x)＝x－2有解?a－3x＝x－2有解?a＝3x＋32－x有解．因為3x＋32－x≥2＝6(當且僅當x＝1時，等號成立)，所以a的最小值為6，選B. 答案：B (2)[2019·浙江金華十校期末]若關(guān)于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞) C．(－∞，3] D．[3，＋∞) 解析：關(guān)于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在(－∞，1]上恒成立等價于a(x－1)≥x3－3x2＋2＝(x3－x2)－2(x2－1)＝(x－1)(x

8、2－2x－2)恒成立． 當x＝1時，不等式顯然恒成立； 當x<1時，不等式化為a≤x2－2x－2. ∵y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3≥－3，x∈(－∞，1]， ∴a≤－3，選A. 答案：A (3)[2019·云南曲靖一中質(zhì)量監(jiān)測]已知函數(shù)f(x)＝ex(x－m)，m∈R，若對?x∈(2,3)，使得f(x)＋xf′(x)>0，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：∵f(x)＝ex(x－m)， ∴f′(x)＝ex(x－m)＋ex＝ex(x－m＋1)． 由題意知f(x)＋xf′(x)>0?ex(x－m)＋xex(x－m＋1)>0?ex[x2＋(2－m

9、)x－m]>0在(2,3)上恒成立， ∴x2＋(2－m)x－m>0在(2,3)上恒成立， ∴m<在(2,3)上恒成立． 令g(x)＝＝(x＋1)－在(2,3)上單調(diào)遞增， ∴g(x)>g(2)＝，則m≤，選B. 答案：B 方法點睛 (1)對于方程有解、不等式恒成立問題或存在性問題，往往可以分離參數(shù)，然后再構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值問題來解決． (2)不等式有解、恒成立求參數(shù)的方法： g(a)>f(x)恒成立，則g(a)>f(x)max. g(a)f(x)有解，則g(a)>f(x)min. g(a)

10、0，則不等式>0的解集是(　　) A.　 B．(1，＋∞) C. D．(0,1) 解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ln xf(x)(x>0)，則g′(x)＝f(x)＋ln xf′(x)＝>0，所以函數(shù)g(x)＝ln xf(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增

11、，而>0?ln xf(x)>0?g(x)>0?g(x)>g(1)?x>1，故選B. 答案：B (2)[2019·吉林調(diào)研]設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，對任意實數(shù)x，都有f(x)＝f(－x)＋2x.當x<0時，f′(x)<2x＋1，若f(1－a)≤f(－a)＋2－2a，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．－1 B．－ C. D．1 解析：設(shè)g(x)＝f(x)－x2－x， 則g′(x)＝f′(x)－2x－1. 因為當x<0時，f′(x)<2x＋1，所以g′(x)<0，即g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減． 又g(x)＝f(x)－x2－x， 則g(－x)＝f(－x)－x2＋

12、x. 又f(x)＝f(－x)＋2x， 則f(x)－f(－x)－2x＝0， 所以g(x)－g(－x)＝f(x)－f(－x)－2x＝0，即g(x)為R上的偶函數(shù)． 又f(1－a)≤f(－a)＋2－2a?f(1－a)－(1－a)2－(1－a)≤f(－a)－(－a)2－(－a)， 即g(1－a)≤g(－a)，所以|1－a|≤|a|， 解得a≥，即a的最小值為，故選C. 答案：C (3)[2019·吉林延邊質(zhì)檢]已知定義在R上的函數(shù)f(x)和g(x)滿足f(x)＝e2x－2＋x2－2f(0)x，且g′(x)＋2g(x)<0，則下列不等式成立的是(　　) A．f(2)g(2017)

13、2019) B．f(2)g(2017)>g(2019) C．g(2017)f(2)g(2019) 解析：∵f(x)＝e2x－2＋x2－2f(0)x， ∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)， ∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，得f(0)＝1， ∴f(0)＝e－2＝1，得f′(1)＝2e2， ∴f(x)＝e2x＋x2－2x. 設(shè)F(x)＝e2xg(x)， 則F′(x)＝2e2xg(x)＋e2xg′(x)＝e2x[2g(x)＋g′(x)]<0， ∴F(x)在R上單調(diào)遞減， ∴F(2017)>F(2019)，

14、 ∴e2017×2g(2017)>e2019×2g(2019)， ∴g(2017)>e4g(2019)． 又∵f(2)＝e4，∴g(2017)>f(2)g(2019)， 故選D. 答案：D 方法點睛 常見的構(gòu)造函數(shù)的方法有如下幾種： 1．利用和、差函數(shù)的求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù) (1)對于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)； (2)對于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)； 特別地，對于不等式f′(x)>k(或

15、法則構(gòu)造函數(shù) (3)對于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)； (4)對于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(g(x)≠0)； 上述(3)(4)都是利用積、商函數(shù)的求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)的一般情況，但在考試中，g(x)往往是具體函數(shù)，所以還有如下列(5)～(16)常見構(gòu)造函數(shù)類型． (5)對于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)； (6)對于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x≠0)； (7)對于不等式xf′(x)＋nf(

16、x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x)； (8)對于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x≠0)； (9)對于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)； (10)對于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝； (11)對于不等式f′(x)＋kf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝ekxf(x)； (12)對于不等式f′(x)－kf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝； (13)對于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝sinxf(x)； (14)對

17、于不等式f(x)－f′(x)tanx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(sinx≠0)； (15)對于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝cosxf(x)； (16)對于不等式f′(x)＋f(x)tanx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(cosx≠0)． 調(diào)研四　方程思想在解題中的應(yīng)用 【例4】　(1)[2019·福建龍巖質(zhì)檢]若α∈(0，π)，且3sinα＋2cosα＝2，則tan等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：∵3sin α＋2cos α＝2， ∴＝2， ∴＝2， ∴3tan＋1－tan2＝tan2＋1，

18、 解得tan＝0或. 又∵α∈(0，π)，∴tan>0， ∴tan＝，故選D. 答案：D (2)[2019·河北省石家莊市質(zhì)檢]將函數(shù)y＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)角θ后第一次與x軸相切，則角θ滿足的條件是(　　) A．esinθ＝cosθ B．sinθ＝ecosθ C．esinθ＝1 D．ecosθ＝1 解析：設(shè)直線y＝kx與y＝ex相切，切點為(x0，y0)． ∵y′＝ex，∴k＝ex0. 又∵ex0＝kx0，∴k＝kx0， 解得x0＝1，k＝e，即tan θ＝e，∴sin θ＝ecos θ，故選B. 答案：B (3)[2019·河北衡

19、水中學(xué)二調(diào)]等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＋a7－a10＝5，a11－a4＝7，則S13＝(　　) A．152 B．154 C．156 D．158 解析：設(shè)公差為d，則由已知可得 解得 ∴S13＝13×6＋＝156，故選C. 答案：C (4)[2019·四川省瀘州市二診]雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與圓x2＋y2＝a2相切，與C的左、右兩支分別交于點A，B.若|AB|＝|BF2|，則C的離心率為(　　) A. B．5＋2 C. D. 解析：如圖，由雙曲線的定義可得 |BF1|－|BF2|＝2a，又|AB|＝|BF2

20、|， 可得|AF1|＝2a，則|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a， 設(shè)AB與圓x2＋y2＝a2切于點T，連接OT，則OT⊥AB. 在Rt△OTF1中，cos∠OF1T＝＝. 連接AF2，在△AF1F2中，由余弦定理得 cos∠AF1F2＝ ＝＝. 由∠OF1T＝∠AF1F2，得＝，化簡得13a4＋c4－10a2c2＝0，兩邊同除以a4得e4－10e2＋13＝0，解得e2＝5±2.又e>1，則e2＝5＋2，e＝，故選A. 答案：A 方法點睛 方程思想的應(yīng)用十分廣泛，只要涉及含有等量關(guān)系的條件或結(jié)論時，都可考慮通過構(gòu)建方程或方程組求解，其主要應(yīng)用有以下幾個方面： (1)方程思想在三角函數(shù)求值問題中的應(yīng)用．如：“切弦”互化問題，一般是將“弦”化“切”建立關(guān)于tanα的方程求解；結(jié)合三角恒等式sin2α＋cos2α＝1與已知條件構(gòu)建方程組求解． (2)方程思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用．如：曲線的切點問題，一般是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和已知條件，構(gòu)建關(guān)于切點橫坐標x0的方程求解． (3)方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用．如：等差(比)數(shù)列的求值問題，一般利用其通項公式與前n項和公式，構(gòu)建關(guān)于首項與公差(比)的方程組求解． (4)方程思想在平面解析幾何中的應(yīng)用．如：橢圓或雙曲線的離心率求值問題，一般是由已知條件構(gòu)建關(guān)于a，b，c的方程求解． 10