2022年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(II)

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1、2022年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(II) 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．如果復(fù)數(shù)（a∈R）為純虛數(shù)，則a=（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，則A∩B=（　?。? A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3] 3．某流程如圖所示，現(xiàn)輸入四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（　?。? A．f（x）=xtanx B．f（x）=xex C．f（x）=x+2lnx D．f（

2、x）=x﹣sinx 4．已知等差數(shù)列數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n，則a1=（　?。? A．﹣1 B．1 C．2 D．3 5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 6．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是（　?。? A．2 B． C． D．3 7．若α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），則tanα等于（　?。? A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣3 8．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l與其交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=4，則|BF|=（　?。? A．2 B． C． D．1 9．已知圓C：（x﹣）2+

3、（y﹣1）2=1和兩點(diǎn)A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則t的最小值為（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知三棱錐P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（　?。? A．16π B．32π C．64π D．128π 11．已知A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，O為圓心，且∠AOB=120°，MN是圓O的一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），則?的最小值為（　?。? A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1 12．已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）+f（x）+t=0

4、有三個不同的實(shí)根，則t的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣2] B．[1，+∞） C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） 　 二、填空題：（本題共4小題，每題5分，共20分） 13．已知（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，則a1+a3+a5=______． 14．函數(shù)f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值為______． 15．把3個不同的球放入3個不同的盒子中，恰有一個空盒的概率是______． 16．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，則|AC|=______．

5、 　 三、簡答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟運(yùn)算過程 17．已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=（n∈N*） （1）求證：數(shù)列{﹣1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an； （2）設(shè)bn=，求證：＜2． 18．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖直方圖： （Ⅰ）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)； （Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)

6、行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 是否近視 1～50 951～1000 合計 年級名次 近視 41 32 73 不近視 9 18 27 合計 50 50 100 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？ （Ⅲ）在（Ⅱ）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024

7、6.635 7.879 附： K2=． n=a+b+c+d． 19．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=． （Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC； （Ⅱ）設(shè)H為CD上一點(diǎn)，滿足=2，若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值． 20．若橢圓（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段． （1）求橢圓的離心率； （2）過點(diǎn)C（﹣1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且，當(dāng)△AOB的面積最大時，求直線l和橢圓的方

8、程． 21．已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn) （1）求a的取值范圍； （2）記兩個極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1?x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范圍． 　 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB=2AC， （1）求證：BE=2AD； （2）求函數(shù)AC=1，BC=2時，求AD的長． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．在極坐標(biāo)系中，曲

9、線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C與l有且僅有一個公共點(diǎn)． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．設(shè)函數(shù)f（x）=|3x﹣1|+ax+3． （1）若a=1，解不等式f（x）≤5； （2）若函數(shù)f（x）有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　 xx重慶市巴蜀中學(xué)高三（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．如果復(fù)數(shù)（a∈R）為純虛數(shù)，則a=

10、（　?。? A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念． 【分析】對所給的復(fù)數(shù)分子和分母同乘以1﹣i，再進(jìn)行化簡并整理出實(shí)部和虛部，再令虛部為零求出a的值． 【解答】解：由題意知， ==， ∵（a∈R）為純虛數(shù)， ∴2﹣a=0，解得a=2． 故選D． 　 2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，則A∩B=（　?。? A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，3] 【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算． 【分析】求出集合A，B，根據(jù)集合的交集定義進(jìn)行計算． 【解答】解：∵1≤2x≤8， ∴0≤x

11、≤3， ∴A=[0，3]， ∵log2（x2﹣x）＞1， ∴， ∴x＞2或x＜﹣1， ∴B=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， ∴A∩B=（2，3]， 故選：A 　 3．某流程如圖所示，現(xiàn)輸入四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（　?。? A．f（x）=xtanx B．f（x）=xex C．f（x）=x+2lnx D．f（x）=x﹣sinx 【考點(diǎn)】程序框圖． 【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出滿足條件①f（x）+f（﹣x）=0，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；②f（x）存在零點(diǎn)，即函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)．逐一分析四個答案中給出的函數(shù)的

12、性質(zhì)，即可得到正確答案． 【解答】解：對于A，f（x）=xtanx，不是奇函數(shù)，故不滿足條件①； 對于B，f（x）=xex，不是奇函數(shù)，故不滿足條件①； 對于C，f（x）=x+lnx，（x＞0），不是奇函數(shù)，故不滿足條件①； 對于D，f（x）=x﹣sinx既是奇函數(shù)，且函數(shù)圖象與x有交點(diǎn)，故f（x）符合輸出的條件． 故選：D． 　 4．已知等差數(shù)列數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n，則a1=（　?。? A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【分析】根據(jù)an+1+an=4n，寫出a2+a1，a3+a2的值，兩式作差可求出公差，從而可求出首項(xiàng)． 【解

13、答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且an+1+an=4n， ∴a2+a1=4，a3+a2=8， 兩式相減得a3﹣a1=8﹣4=4， ∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列 ∴2d=4，即d=2， 則a2+a1=2a1+d=4=2a1+2 即a1=1． 故選：B． 　 5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（　?。? A．1 B．3 C．4 D．6 【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃． 【分析】由約束條件作出可行域，再由的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P（0，﹣2）連線的斜率加2求得答案． 【解答】解：由約束條件作出可行域如圖， 聯(lián)立，解得A（2，2）， =2+， 其幾何意義為可行域內(nèi)的動

14、點(diǎn)與定點(diǎn)P（0，﹣2）連線的斜率加2． ∵， ∴的最小值為4． 故選：C． 　 6．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是（　?。? A．2 B． C． D．3 【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖． 【分析】根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，再利用體積公式求高x即可． 【解答】解：根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖是： V==3?x=3． 故選D． 　 7．若α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α），則tanα等于（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣3 【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；三角函數(shù)的化簡求

15、值；兩角和與差的余弦函數(shù)． 【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡已知條件，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解即可． 【解答】解：α∈（，π），且5cos2α=sin（﹣α）， 可得5（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα）， 可得：cosα+sinα=． 1+2sinαcosα=． ， 解得：tanα=． 故選：A． 　 8．過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l與其交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=4，則|BF|=（　?。? A．2 B． C． D．1 【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合|AF|=4，求出A的坐標(biāo)

16、，然后求出AF的方程求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到結(jié)論． 【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1， 設(shè)A（x，y）， 則|AF|=x+1=4，故x=3，此時y==2，即A（3，2）， 則AF的斜率k==， 則直線AF的方程為y=（x﹣1）， 代入y2=4x得3x2﹣10x+3=0， 解得x=3（舍）或x=， 則|BF|=+1=， 故選：B 　 9．已知圓C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和兩點(diǎn)A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則t的最小值為（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．

17、【分析】可以設(shè)圓上一點(diǎn)P（x0，y0），由∠APB=90°，可得AP⊥BP，kAP?kBP=﹣1，然后的到關(guān)于t的關(guān)系式，求解t的最小值． 【解答】解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0），kAP?kBP=， 整理得，即= 由此可以將求t的最小值問題看做點(diǎn)P到原點(diǎn)的最短距離問題， 如圖所示，當(dāng)P點(diǎn)在如圖位置時，OP的距離最小，即t取得最小值， A點(diǎn)坐標(biāo)（，1）易知OA所在直線方程為：y=，聯(lián)立圓的方程：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，可得P點(diǎn)坐標(biāo)（，） 從而|OP|==1，即t=1．故t的最小值為1． 故選：D． 　 10．已知三棱錐P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，P

18、A⊥面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（　?。? A．16π B．32π C．64π D．128π 【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積． 【分析】根據(jù)已知求出△ABC外接圓的半徑，從而求出該三棱錐外接球的半徑和三棱錐的外接球表面積． 【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6， ∴cos∠BAC==﹣ ∴sin∠BAC=， ∴△ABC的外接圓半徑r==2， 所以三棱錐外接球的半徑R2=r2+（）2=（2）2+22=16， 所以三棱錐P﹣ABC外接球的表面積S=4πR2=64π． 故選：C． 　 11．已知A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，O為圓心，且∠AOB=

19、120°，MN是圓O的一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），則?的最小值為（　?。? A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】根據(jù)題意可知C在線段AB上，從而得出||的范圍，用，，表示出，代入數(shù)量積公式得出關(guān)于||的式子，根據(jù)||的范圍得出答案． 【解答】解：∵=λ+（1﹣λ）， ∴點(diǎn)C在線段AB上，即A，B，C三點(diǎn)共線． ∵OA=OB=1，∠AOB=120°， ∴O到直線AB的距離d=． ∴||＜1． ∴?=（）?（）=﹣（）+． ∵M(jìn)N是單位圓O的直徑， ∴=﹣1， =， ∴?=﹣1+． ∴﹣≤?＜0． 則?的最

20、小值為﹣， 故選：C． 　 12．已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三個不同的實(shí)根，則t的取值范圍是（　　） A．（﹣∞，﹣2] B．[1，+∞） C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） 【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷． 【分析】利用換元法設(shè)m=f（x），將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式關(guān)系進(jìn)行求即可． 【解答】解：設(shè)m=f（x）， 作出函數(shù)f（x）的圖象如圖： 則m≥1時，m=f（x）有兩個根， 當(dāng)m＜1時，m=f（x）有1個根， 若關(guān)于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三個不同的實(shí)根， 則等

21、價為m2+m+t=0有2個不同的實(shí)根，且m≥1或m＜1， 當(dāng)m=1時，t=﹣2， 此時由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，滿足f（x）=1有兩個根，f（x）=﹣2有1個根，滿足條件 當(dāng)m≠1時， 設(shè)h（m）=m2+m+t， 則h（1）＜0即可，即1+1+t＜0， 則t＜﹣2， 綜上t≤﹣2， 故選：A． 　 二、填空題：（本題共4小題，每題5分，共20分） 13．已知（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5，則a1+a3+a5=　1?。? 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用． 【分析】由（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1

22、）5，令x=0可得：2=a0+a1+…+a5；令x=﹣2可得：0=a0﹣a1+a2+…﹣a5．相減即可得出． 【解答】解：由（x+2）（x﹣1）4=a0+a1（x+1）+…+a5（x+1）5， 令x=0可得：2=a0+a1+…+a5； 令x=﹣2可得：0=a0﹣a1+a2+…﹣a5． 相減可得：2（a1+a3+a5）=2， 則a1+a3+a5=1． 故答案為：1． 　 14．函數(shù)f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值為　0?。? 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值；正弦函數(shù)的圖象． 【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]

23、，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可計算得解． 【解答】解：f（x）=2sinxcos（x﹣）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+， ∵x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]， ∴當(dāng)x=0時，2x﹣=﹣，函數(shù)f（x）=sin（2x﹣）+最小值為0． 故答案為：0． 　 15．把3個不同的球放入3個不同的盒子中，恰有一個空盒的概率是　　． 【考點(diǎn)】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出恰有一個空盒包含的基本事件個數(shù)，由此能求出恰有一個空盒的概率． 【解答】解：把3個不同的球放入3個不同的盒子中， 基本事件總數(shù)n

24、=33=27， 恰有一個空盒包含的基本事件個數(shù)m==18， ∴恰有一個空盒的概率是p=． 故答案為：． 　 16．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥AB，|BC|=|BD|，|AD|=1，則|AC|=　2?。? 【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用． 【分析】過C作CE⊥AD交AD延長線于E，利用相似三角形得出DE，即可求出AE，從而得出AC． 【解答】解：過C作CE⊥AD交AD延長線于E． 則△ABD∽△ECD． ∴=． ∴DE=，∴AE=AD+DE=． ∵∠CAE=∠BAC﹣∠BAD=30°， ∴AC==2． 故答案為：2． 　 三、簡答題：解答應(yīng)寫

25、出文字說明，證明過程或演算步驟運(yùn)算過程 17．已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=（n∈N*） （1）求證：數(shù)列{﹣1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an； （2）設(shè)bn=，求證：＜2． 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【分析】（1）由題意可得﹣1=2（﹣1），即可證明{﹣1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可， （2）利用錯位相減法即可求出前n項(xiàng)和，再利用放縮法即可證明． 【解答】證明：（1）∵an+1=， ∴2an+1﹣an+1an=an， ∴﹣1=2（﹣1）， ∵a1=， ∴﹣1=2， ∴{﹣1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， ∴

26、﹣1=2n， ∴an=， （2）bn==n?（）n， 令Sn=1?（）1+2?（）2+…+n?（）n， ∴Sn=1?（）2+2?（）3+…+（n﹣1）?（）n+n?（）n+1， ∴Sn=+（）2+（）3+…+（）n﹣n?（）n+1=1﹣， ∴Sn=2﹣＜2， 故：＜2． 　 18．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖直方圖： （Ⅰ）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)； （Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績

27、是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)： 是否近視 1～50 951～1000 合計 年級名次 近視 41 32 73 不近視 9 18 27 合計 50 50 100 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？ （Ⅲ）在（Ⅱ）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010

28、0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附： K2=． n=a+b+c+d． 【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知：分布求得第一到第六組的頻數(shù)，求得視力在5.0以的頻率為1﹣0.08=0.82，全年級5.0以上的人數(shù)為1000×0.82=820； （Ⅱ）求出K2，與臨界值比較，K2≈4.110＞3.841．由此能求出在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系． （Ⅲ）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，分別求出相應(yīng)在的概率，由此能

29、求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望． 【解答】解：（Ⅰ）由圖可得：前三組的頻率分別為：0.03，0.07，0.27， ∴第一組有3人，第二組7人，第三組有27人， 后四組頻數(shù)成等差數(shù)列， ∴后四組的頻數(shù)27，24，21，18， ∴所以視力在5.0以的頻率為1﹣0.08=0.82， 所以全年級5.0以上的人數(shù)為1000×0.82=820； （Ⅱ）K2==≈4.110＞3.841． 因此，在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系； （Ⅲ）由題意可知9人中年級在1﹣50名給我951﹣1000名的人數(shù)分別為3人好6人， ∴X的取值為0，1，2，3， P（X=0）==，

30、 P（X=1）==， P（X=2）==， P（X=3）==， X的分布列為： X 0 1 2 3 P ∴E（X）=0×+1×+2×+3×=1， E（X）=1． 　 19．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=． （Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC； （Ⅱ）設(shè)H為CD上一點(diǎn)，滿足=2，若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值． 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）通過勾股定理可得BC⊥BD，利

31、用面面垂直的判定定理即得結(jié)論； （Ⅱ）通過題意以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，所求二面角的余弦值即為平面HPB的一個法向量與平面PBC的一個法向量的夾角的余弦值，計算即可． 【解答】（Ⅰ）證明：∵AD⊥CD，AB∥CD，AD=AB=1， ∴BD=，∴∠BDC=45°， 又BC=，∴CD=2， ∴CD2=BC2+BD2，即BC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC， 又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC； （Ⅱ）解：由（I）可知∠BPC為PC與平面PBD所成的角， ∴，∴PB=，PD=1， 由=2及CD=2，可得CH

32、=，DH=， 以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系， 則B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），H（0，，0）， 設(shè)平面HPB的法向量為=（x1，y1，z1）， 則，即， 取y1=﹣3，則=（1，﹣3，﹣2）， 同理可得平面PBC的法向量為=（1，1，2）， 又， ∴二面角H﹣PB﹣C的余弦值為． 　 20．若橢圓（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段． （1）求橢圓的離心率； （2）過點(diǎn)C（﹣1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且，當(dāng)△AOB的面積最大時，求直線l

33、和橢圓的方程． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】（1）由c+=3（c﹣），能夠求出橢圓的離心率． （2）設(shè)直線l：x=ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，知2y2+y1=0，由，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，再利用韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)條件，能夠求出橢圓方程． 【解答】解：（1）由題意知，c+=3（c﹣），… ∴b=c， ∴a2=2b2，… ∴e===．… （2）設(shè)直線l：x=ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵， ∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①… 由（1）知，a

34、2=2b2，∴橢圓方程為x2+2y2=2b2， 由，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0， ∴，…② ，…③ 由①②知，，，… ∵=， ∴S=3?=3?≤3?=，… 當(dāng)且僅當(dāng)|k|2=2，即k=時取等號， 此時直線的方程為x=或x=．… 又當(dāng)|k|2=2時， =﹣=﹣1， ∴由，得b2=， ∴橢圓方程為．… 　 21．已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn) （1）求a的取值范圍； （2）記兩個極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1?x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范圍． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)

35、數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點(diǎn)； （2）原式等價于＞，令t=，t∈（0，1），則不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1）， 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可． 【解答】解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， 方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根； 轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在

36、（0，+∞）上有兩個不同交點(diǎn)， 如圖示： ， 可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k． 令切點(diǎn)A（x0，lnx0）， 故k=y′|x=x0=，又k=， 故 =，解得，x0=e， 故k=，故0＜a＜； （2）因?yàn)閑1+λ＜x1?x2λ等價于1+λ＜lnx1+λlnx2． 由（1）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根， 即lnx1=ax1，lnx2=ax2 所以原式等價于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因?yàn)棣耍?，0＜x1＜x2， 所以原式等價于a＞， 又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln =a（x1

37、﹣x2）， 所以原式等價于＞， 因?yàn)?＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立． 令t=，t∈（0，1）， 則不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立． 令h（t）=lnt﹣，t∈（0，1）， 又h′（t）=， 當(dāng)λ2≥1時，可見t∈（0，1）時，h′（t）＞0， 所以h（t）在t∈（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合題意． 當(dāng)λ2＜1時，可見t∈（0，λ2）時，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）時h′（t）＜0， 所以h（t）在t∈（0，λ2）時單調(diào)增，在t∈（λ2，1）時單調(diào)減，又h（1）=0， 所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒

38、小于0，不符合題意，舍去． 綜上所述，若不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，只須λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1． 　 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-1：幾何證明選講] 22．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB=2AC， （1）求證：BE=2AD； （2）求函數(shù)AC=1，BC=2時，求AD的長． 【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】（1）連接DE，因?yàn)锳CED是圓的內(nèi)接四邊形，所以△BDE∽△BCA，由此能夠證明BE=2AD． （2）由條件得AB=2AC=2，根據(jù)割線定理得

39、BD?BA=BE?BC，即（AB﹣AD）?BA=2AD?（2AD+CE），由此能求出AD． 【解答】（1）證明：連接DE， ∵ACED是圓的內(nèi)接四邊形， ∴∠BDE=∠BCA， ∵∠DBE=∠CBA， ∴△BDE∽△BCA， ∴， ∵AB=2AC， ∴BE=2DE． ∵CD是∠ACB的平分線， ∴AD=DE， 從而BE=2AD． （2）解：由條件得AB=2AC=2， 設(shè)AD=t，根據(jù)割線定理得 BD?BA=BE?BC， ∴（AB﹣AD）?BA=2AD?BC， ∴（2﹣t）×2=2t?2， 解得t=，即AD=． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．

40、在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C與l有且僅有一個公共點(diǎn)． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值． 【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】（I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a； （II）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），變形ρ2=2ρa(bǔ)cosθ，化為x2+y2=2ax，即（x﹣a）2

41、+y2=a2． ∴曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓； 由l：ρcos（θ﹣）=，展開為， ∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0． 由直線l與圓C相切可得=a，解得a=1． （Ⅱ）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+， 則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+） =3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+）， 當(dāng)θ=﹣時，|OA|+|OB|取得最大值2． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．設(shè)函數(shù)f（x）=|3x﹣1|+ax+3． （1）若a=1，解不等式f（x）≤5； （2）若函數(shù)f（x）有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法；函數(shù)的最值及其幾何意義． 【分析】（Ⅰ）a=1時，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分類討論，去掉絕對值，求得x的范圍． （Ⅱ）化簡f（x）的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性與一次項(xiàng)系數(shù)符號的關(guān)系，求得a的范圍． 【解答】解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=|3x﹣1|+x+3． 當(dāng)時，f（x）≤5可化為3x﹣1+x+3≤5，解之得； 當(dāng)時，f（x）≤5可化為﹣3x+1+x+3≤5，解之得． 綜上可得，原不等式的解集為． （Ⅱ） 函數(shù)f（x）有最小值的充要條件為，即﹣3≤a≤3． 　 xx9月28日