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1、2022高考數(shù)學二輪復習 第一部分 題型專項練 壓軸題提分練（二）文
1．設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若·＋·＝8，O為坐標原點，求△OCD的面積．
解析：(1)因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為，所以＝.
因為橢圓的離心率為，所以＝，
又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，則直線CD的方程為y＝k(x＋1)．
聯(lián)立消去y
2、得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又A(－，0)，B(，0)，所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋＝8，
解得k＝±.
從而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.
所以|x1－x2|＝＝＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×＝.
而原點O到直線CD的距離為d＝＝＝，
所以△OCD的面積為S＝|CD|×d＝××＝.
2．已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a為常數(shù))，曲線y＝
3、f(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為－1.
(1)求a的值及函數(shù)y＝f(x)的單調區(qū)間；
(2)若x1ln 2，且f(x1)＝f(x2)，試證明：x1＋x2＜2ln 2.
解析：(1)由f(x)＝ex－ax－1得f′(x)＝ex－a.
又f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝ex－2x－1，f′(x)＝ex－2.
由f′(x)＝ex－2>0得x>ln 2.
所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，ln 2)上單調遞減，
在(ln 2，＋∞)上單調遞增．
(2)證明：設x>ln 2，所以2ln 2－x
4、
所以f(2ln 2－x)＝e2ln 2－x－2(2ln 2－x)－1
＝＋2x－4ln 2－1，
令g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x>ln 2)，
則g′(x)＝ex＋4e－x－4≥2－4＝0，當且僅當x＝ln 2時，等號成立，
所以g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上單調遞增．
又g(ln 2)＝0，所以當x>ln 2時，
g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)>g(ln 2)＝0，
即f(x)>f(2ln 2－x)，所以f(x2)>f(2ln 2－x2)，
又因為f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)>f(2ln 2－x2)．
由于x2>ln 2，所以2ln 2－x2
2022高考數(shù)學二輪復習 第一部分 題型專項練 壓軸題提分練（二）文
