（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積學(xué)案 文 新人教A版

《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積學(xué)案 文 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積學(xué)案 文 新人教A版（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　空間幾何體的三視圖、表面積及體積 [做真題] 1．(2018·高考全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 解析：選A.由題意知，在咬合時帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A. 2．(2018·高考全國卷Ⅰ) 某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M

2、到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2　　　　　　　　 B．2 C．3 D．2 解析： 選B.設(shè)過點M的高與圓柱的下底面交于點O，將圓柱沿MO剪開，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM＝2，ON＝4，則從M到N的最短路徑為＝＝2. 3．(2018·高考全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 解析：選B.因為過直線O1O 2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以

3、該圓柱的表面積為2×π×()2＋2π×2＝12π. 4．(2019·高考全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g. 解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6 cm和4 cm， 故V挖去的四棱錐＝××4×6×3＝12(cm3)． 又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，

4、 所以模型的體積為 V長方形－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)， 所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)． 答案：118.8 [明考情] 1．“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點、線、面的位置關(guān)系(特別是平行與垂直)． 2．考查一個小題時，此小題一般會出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一個小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第10～16題的位置上，此小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計算量上，但仍是對基礎(chǔ)知識、基本公式的考

5、查． 　　　空間幾何體的三視圖(基礎(chǔ)型) [知識整合] 一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”． [考法全練] 1．一個簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖可能是(　　) ①長、寬不相等的長方形；②正方形；③圓；④橢圓． A．①②　　　　　　　　 B．①④ C．②③ D．③④ 解析：選B.由題設(shè)條件知，正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，對于①，俯視圖是長方形是可能的，比如此幾何

6、體為一個長方體時，滿足題意；對于②，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是正方形；對于③，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是圓形；對于④，如果此幾何體是一個橢圓柱，滿足正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖可能是橢圓．綜上知①④是可能的圖形． 2．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 解析：選B.由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角

7、三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，所以這些梯形的面積之和為×2＝12，故選B. 3．如圖1，在三棱錐D-ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正視圖、俯視圖如圖2所示，則其側(cè)視圖的面積為(　　) A. B．2 C. D. 解析：選D.由題意知側(cè)視圖為直角三角形，因為正視圖的高即幾何體的高，所以正視圖的高為2，則側(cè)視圖的高，即側(cè)視圖一直角邊長也為2.因為俯視圖為邊長為2的等腰直角三角形，所以側(cè)視圖的另一直角邊長為.所以側(cè)視圖的面

8、積為，故選D. 　　　空間幾何體的表面積與體積(綜合型) [知識整合] 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)． (2)S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)． (3)S臺側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)． 柱體、錐體、臺體的體積公式 (1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)． (2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)． (3)V臺＝(S＋＋S′)h(S，S′分別為上下底面面積，h為高)(不要求記憶)． [典型例題] (1)(2019·廣州市綜合檢測(一))一個幾何體的三視圖如圖所示，

9、其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該幾何體的表面積為(　　) A.　　　　　　　　 B．7π C. D．8π (2)(2019·高考浙江卷)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是(　　) A. 158 B. 162 C. 182 D. 324 【解析】　(1)由三視圖可知該幾何體是一個圓柱體和一個球體的四分之一的組合體，則所求的幾何體的表面積為×4π×1

10、2＋π×12＋π×12＋2π×1×2＝7π，選B. (2) 如圖，該柱體是一個直五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3. 則底面面積S＝×3＋×3＝27， 因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.故選B. 【答案】　(1)B　(2)B (1)求幾何體的表面積的方法 ①求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點． ②求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和

11、或作差得此幾何體的表面積．　 (2)求空間幾何體體積的常用方法 ①公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算． ②等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等． ③割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當(dāng)分割或補形，轉(zhuǎn)化為易計算體積的幾何體． [對點訓(xùn)練] 1．(2019·唐山市摸底考試)已知某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中曲線為四分之一圓弧)，則該幾何體的表面積為(　　) A．1－ B．3＋ C．2＋ D．4 解析： 選D.由題設(shè)知，該幾何體是棱長為1的正方體被截去底面半徑為1的圓柱后得到的，如圖所示，所

12、以表面積S＝2×(1×1－×π×12)＋2×(1×1)＋×2π×1×1＝4.故選D. 2．(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二))一個幾何體的三視圖如圖中粗線所示，每個小方格都是邊長為1的正方形，則這個幾何體的體積為(　　) A．32 B. C. D．8 解析：選B.如圖所示四棱錐P-ABCD為該幾何體的直觀圖，底面ABCD是邊長為4的正方形．取CD的中點為E，連接PE，則PE⊥平面ABCD，且PE＝4.所以這個幾何體的體積V＝×4×4×4＝，故選B. 3．(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一))已知一所有棱長都是的三棱錐，則該三棱錐的體積為______． 解析：記所有棱長都是

13、的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點D，連接AD，PD，作PO⊥AD于點O，則PO⊥平面ABC，且OP＝×＝，故三棱錐P-ABC的體積V＝S△ABC·OP＝××()2×＝. 答案： 　　　與球有關(guān)的切、接問題(綜合型) [典型例題] (1)已知圓柱的高為2，底面半徑為，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于(　　) A．4π　　　　　　　　　　　 B.π C.π D．16π (2)(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)四棱錐S-ABCD的所有頂點都在同一個球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時，

14、其表面積等于8＋8，則球O的體積等于(　　) A. B. C．16π D. 【解析】　 (1)如圖，由題意知圓柱的中心O為這個球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝＝＝2.故這個球的表面積S＝4πr2＝16π.故選D. (2)由題意得，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時，四棱錐為正四棱錐．如圖，連接AC，則球心O為AC的中點，連接SO，設(shè)球O的半徑為R，則AC＝2R，SO＝R，所以AB＝BC＝R.取AB的中點為E，連接OE，SE，則OE＝BC＝R，SE＝＝R.因為該四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于8＋8，所以(R)2＋4××R×R＝8＋8，解得R＝2，所以球O的體積等于πR3

15、＝.故選A. 【答案】　(1)D　(2)A 解決與球有關(guān)的切、接問題的策略 (1)“接”的處理 ①構(gòu)造正(長)方體，轉(zhuǎn)化為正(長)方體的外接球問題． ②空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)截面(過球心，接點等)． ③利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線． (2)“切”的處理 ①體積分割法求內(nèi)切球半徑． ②作出合適的截面(過球心，切點等)，在平面上求解． ③多球相切問題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題．　 [對點訓(xùn)練] 1．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于(　　) A

16、.π B.π C．16π D．32π 解析：選B.設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B. 2．(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)三棱錐S-ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，已知SA＝a，SB＝b，SC＝2，且2a＋b＝，則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為(　　) A. B. C．4 π D．6π 解析：選A.由題意，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，因為SA，SB，SC兩兩垂直，所以以SA，SB，SC為棱構(gòu)造長方體，其體對角線即三棱錐的外接球的直徑，因為SA＝a，SB＝b，SC＝2

17、，所以4R2＝a2＋b2＋4＝a2＋＋4＝5(a－1)2＋，所以當(dāng)a＝1時，(4R2)min＝，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為，故選A. 3．(2019·福建五校第二次聯(lián)考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的直徑為______． 解析：如圖，設(shè)BC的中點為D，B1C1的中點為D1，連接DD1，取其中點O′，連接AD，A1D1，則DA＝DB＝DC，D1A1＝D1B1＝D1C1，且DD1垂直于直三棱柱的上、下底面，所以點O′到直三棱柱的各個頂點的距離相等，即點O′為直三棱柱的外接球的球心O，連接OB，則球O

18、的直徑為2BO＝2＝2＝13. 答案：13 一、選擇題 1．一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個幾何體的俯視圖不可能是(　　) 解析：選D.如果該幾何體是一個底面是等腰直角三角形，且側(cè)棱與底面垂直的直三棱柱，故A可能；如果該幾何體是一個圓柱，則其俯視圖必為圓，故B可能；如果該幾何體是一個正方體，則其俯視圖必為正方形，故C可能；如果該幾何體是一個長方體，則其正視圖和側(cè)視圖中必有一個為長方形，故D錯誤；根據(jù)排除法可知，選項D符合題意． 2．某幾何體的三視圖中的三角形都是直角三角形．如圖所示，則該幾何體中直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．

19、2 C．3 D．4 解析：選D.依題意，該幾何體是一個底面為直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，其四個面均為直角三角形． 3．(2019·武漢市調(diào)研測試)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BC1M＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C.VA-BC1M＝VC1-ABM＝S△ABM·C1C＝×AB×AD×C1C＝.故選C. 4．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則球O的表面積為(　　) A．4π B．8π C．16π D．32π 解析：選C.如圖，因

20、為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，所以R2＝()2＋12＝4，所以球O的表面積S＝4πR2＝16π，故選C. 5．(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：選B.根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是2和的直角三角形(如圖所示)，根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V＝××3＝.故選B. 6．某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為(　

21、　) A．640＋48π B．176π C．640＋16π D．704 解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是上面是底面半徑為4，高是3的圓錐，下面是底面邊長為8的正方形，高是10的長方體，所以該幾何體的體積V＝8×8×10＋×π×42×3＝640＋16π. 7．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為(　　) A．2＋4＋2 B．2＋10 C．10＋ D．12＋4 解析：選B.由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖P-ABC如圖所示，其中三角形PAB與三角形PCB為全等的直角三角形，其面積為×2×4＝4，△ABC為等腰直角三角形，面積為×2×2＝2，△P

22、AC為等腰三角形，面積為×2×＝2，所以表面積是4＋4＋2＋2＝10＋2. 8．在三棱錐S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB＝SC，且三棱錐S-ABC的體積為，則該三棱錐的外接球半徑是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.取SC的中點O，連接OA，OB，則OA＝OB＝OC＝OS，即O為三棱錐的外接球球心，設(shè)半徑為r，則×2r×r2＝，所以r＝3. 9．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點B到平面D1AC的距離等于(　　) A. B. C．1 D. 解析： 選B.如圖，連接BD1

23、，易知D1D就是三棱錐D1-ABC的高，AD1＝CD1＝，取AC的中點O，連接D1O，則D1O⊥AC，所以D1O＝＝.設(shè)點B到平面D1AC的距離為h，則由VB-D1AC＝VD1-ABC，即S△D1AC·h＝S△ABC·D1D，又S△D1AC＝D1O·AC＝××2＝，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，所以h＝.故選B. 10．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為(　　) A．8 B．4 C．8 D．12 解析： 選D.由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，

24、高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2，PD＝6，PB＝4，連接AC，則AC＝4，所以PC＝4，顯然在各側(cè)面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為＝2，所以S△PCD＝×4×2＝12，故該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為12.故選D. 11．(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是(　　) A. B．2π C. D．3π 解析：選C.設(shè)正三角形ABC的中心

25、為O1，連接OO1，OA，O1A，由題意得O1O⊥平面ABC，O1O＝1，OA＝2，所以在Rt△O1OA中，O1A＝，所以AB＝3.因為E為AB的中點，所以AE＝.連接OE，則OE⊥AB.過點E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積最小，此時截面圓的半徑r＝，可得截面圓面積的最小值為πr2＝，故選C. 12．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為4π，則該三棱柱的體積的最大值為(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析： 選A.如圖，取△ABC的中心O′，連接OO′，O′A，OA，則OO′⊥

26、平面ABC，設(shè)OO′＝x，球O的半徑為R，因為球O的表面積為4π，所以4πR2＝4π，所以R＝1，0

27、E為四棱錐A1-BB1D1D的高，且A1E＝，矩形BB1D1D的長和寬分別為，1，故VA1-BB1D1D＝×1××＝. 法二：連接BD1，則四棱錐A1-BB1D1D分成兩個三棱錐B-A1DD1與B-A1B1D1，VA1-BB1D1D＝VB-A1DD1＋VB-A1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝. 答案： 14．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：依題意，題中的幾何體是一個直三棱柱(其底面左、右相對)，其中底面是直角邊長分別為1，2的直角三角形，側(cè)棱長為3，因此其體積為×3＝3. 答案：3 15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

28、的表面積是________． 解析：由三視圖知，該幾何體是由一個棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1、高為1的圓錐后所剩余的部分，所以該幾何體的表面積S＝6×22－π×12＋π×1×＝24＋(－1)π. 答案：24＋π 16．將1個半徑為1的小鐵球與1個底面周長為2π，高為4的鐵制圓柱重新鍛造成一個大鐵球，則該大鐵球的表面積為________． 解析：V球＝π×13＝π，V柱＝π×4＝4π.設(shè)重新鍛造成一個大鐵球的半徑為R，則πR3＝π＋4π，R＝，則該大鐵球的表面積S＝4π()2＝8π. 答案：8π 17. (2019·江西省五校協(xié)作體試題)某幾何體的三視圖如圖所示，正

29、視圖是一個上底為2，下底為4的直角梯形，俯視圖是一個邊長為4的等邊三角形，則該幾何體的體積為________． 解析：把三視圖還原成幾何體ABC-DEF，如圖所示，在AD上取點G，使得AG＝2，連接GE，GF，則把幾何體ABC-DEF分割成三棱柱ABC-GEF和三棱錐D-GEF，所以VABC-DEF＝VABC-GEF＋VD-GEF＝4×2＋×4×2＝. 答案： 18．(2019·武漢市調(diào)研測試)將一個表面積為100π的木質(zhì)球削成一個體積最大的圓柱，則該圓柱的高為______． 解析：如圖，設(shè)球的球心為O，半徑為R，則4πR2＝100π，解得R＝5.設(shè)圓柱的高為x(0