（新課標）2020版高考數學二輪復習 專題二 數列 第1講 等差數列與等比數列學案 文 新人教A版

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1、第1講　等差數列與等比數列 [做真題] 1．(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等比數列{an}的前n項和．若a1＝，a＝a6，則S5＝________． 解析：通解：設等比數列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 優(yōu)解：設等比數列{an}的公比為q，因為a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 答案： 2．(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅲ)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝____________．

2、解析：通解：設等差數列{an}的公差為d，則由題意，得解得所以S10＝10×1＋×2＝100. 優(yōu)解：由題意，得公差d＝(a7－a3)＝2，所以a4＝a3＋d＝7，所以S10＝＝5(a4＋a7)＝100. 答案：100 3．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知{an}是各項均為正數的等比數列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝log2an，求數列{bn}的前n項和． 解：(1)設{an}的公比為q，由題設得 2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0. 解得q＝－2(舍去)或q＝4. 因此{an}的通項公式為an＝2×4n－1＝22n－1.

3、 (2)由(1)得bn＝(2n－1)log2 2＝2n－1，因此數列{bn}的前n項和為1＋3＋…＋2n－1＝n2. 4．(2018·高考全國卷Ⅰ)已知數列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由； (3)求{an}的通項公式． 解：(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項為1，公比為2的等比數列． 由條件可得＝，即b

4、n＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. [明考情] 等差數列、等比數列的判定及其通項公式在考查基本運算、基本概念的同時，也注重對函數與方程、等價轉化、分類討論等數學思想的考查；對等差數列、等比數列的性質考查主要是求解數列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和的最大、最小值等問題，主要是中低檔題． 　　　等差、等比數列的基本運算(綜合型) [知識整合] 等差數列的通項公式及前n項和公式 an＝a1＋(n－1)d；Sn＝＝na1＋d(n∈N*)． 等比數列的通項公式及前n項和公

5、式 an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝＝(q≠1)(n∈N*)． [典型例題] (2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和．已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通項公式； (2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍． 【解】　(1)設{an}的公差為d. 由S9＝－a5得a1＋4d＝0. 由a3＝4得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通項公式為an＝10－2n. (2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝. 由a1>0知d<0，故Sn≥an等價于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.

6、 所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N}． 等差(比)數列基本運算的解題思路 (1)設基本量a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程組：把條件轉化為關于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運算量．　 [對點訓練] 1．(2019·福州市質量檢測)已知數列{an}中，a3＝2，a7＝1.若數列為等差數列，則a9＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D．－ 解析：選C.因為數列為等差數列，a3＝2，a7＝1， 所以數列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝，故選C. 2．(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn

7、為等比數列{an}的前n項和，若a1＝1，S3＝，則S4＝____________． 解析：通解：設等比數列{an}的公比為q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以S4＝＝＝. 優(yōu)解一：設等比數列{an}的公比為q，因為S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以a4＝a1·q3＝＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋＝. 優(yōu)解二：設等比數列{an}的公比為q，由題意易知q≠1.設數列{an}的前n項和Sn＝A(1－qn)(其中A為常數)，則a1＝S1＝A(1－q)＝1?、?，S3＝A(1－q3

8、)＝?、?，由①②可得A＝，q＝－.所以S4＝×＝. 答案： 3．(2018·高考全國卷Ⅲ)等比數列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m. 解：(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6.

9、 　　　等差、等比數列的判定與證明(綜合型) [知識整合] 證明數列{an}是等差數列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數． (2)利用等差中項，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2且an≠0)． 證明數列{an}是等比數列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明(n∈N*)為一非零常數． (2)利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2且an≠0)． [典型例題] (2019·高考全國卷Ⅱ)已知數列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)證明：{an＋b

10、n}是等比數列，{an－bn}是等差數列； (2)求{an}和{bn}的通項公式． 【解】　(1)證明：由題設得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為的等比數列． 由題設得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1. 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－b

11、n)]＝－n＋. 證明數列{an}是等差數列或等比數列的方法 (1)判斷一個數列是等差(等比)數列，還有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法．　 (2)若要判斷一個數列不是等差(等比)數列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數列即可． (3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數列的必要不充分條件，也就是判斷一個數列是等比數列時，要注意各項不為0. [對點訓練] 1．已知數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，Sn＝an＋1，則a7＝(　　) A．47　　　　　　　　　　 B．3×45 C．3×46 D．46＋1 解析：選B.依題意得

12、3Sn＝Sn＋1－Sn，即Sn＋1＝4Sn.又S1＝a1＝1，所以數列{Sn}是以1為首項，4為公比的等比數列，所以Sn＝1×4n－1＝4n－1，a7＝S7－S6＝46－45＝3×45，選B. 2．已知數列{an}滿足a1＝，且an＋1＝. (1)求證：數列是等差數列； (2)若bn＝an·an＋1，求數列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)證明：因為an＋1＝，所以＝，所以－＝， 所以數列是以2為首項，為公差的等差數列． (2)由(1)知＝，所以an＝， 因為bn＝＝4×(－)，所以Sn＝ 4× ＝4×＝. 　　　等差、等比數列的性質(綜合型) [知識整合]

13、 等差數列 等比數列 性質 (1)若m，n，p，q∈N*， 且m＋n＝p＋q， 則am＋an＝ap＋aq. (2)an＝am＋(n－m)d. (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數列 (1)若m，n，p，q∈N*， 且m＋n＝p＋q， 則am·an＝ap·aq. (2)an＝amqn－m. (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數列(q≠－1) [典型例題] (1)已知等比數列{an}的各項均為正數，且a＝25a3a2 019，則數列{an}的公比q為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．－ D．± (2)(

14、一題多解)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時n的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．4或5 【解析】　(1)因為a＝25a3a2 019， 所以a＝25a， 所以q4＝. 因為等比數列{an}的各項均為正數，所以q＞0， 故q＝.故選A. (2)法一：因為數列{an}為等差數列，且－＝－4， 所以－＝－＝a5－a3＝2d＝－4， 解得d＝－2，所以數列{an}為單調遞減數列，即Sn存在最大值． 因為a1＝9，所以an＝－2n＋11， 由得解得4.5＜n≤5.5. 因為n∈N*， 所以n＝5，所以數列{an}的前n

15、項和Sn取最大值時n的值為5，故選B. 法二：因為數列{an}為等差數列，且－＝－4， 所以－＝－＝a5－a3＝2d＝－4，解得d＝－2. 因為a1＝9，所以an＝－2n＋11， 所以Sn＝＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， 所以數列{an}的前n項和Sn取最大值時n的值為5，故選B. 【答案】　(1)A　(2)B 等差、等比數列性質問題的求解策略 (1)解題關鍵：抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當的性質進行求解． (2)運用函數性質：數列是一種特殊的函數，具有函數的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數的性質解題．　 [對點訓練

16、] 1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S12＝156，S36＝1 332，則S24＝(　　) A．744 B．300 C．600 D．1 200 解析：選C.因為S12＝156，S36＝1 332，易知S12，S24－S12，S36－S24成等差數列， 所以2(S24－S12)＝S12＋S36－S24， 所以2(S24－156)＝156＋1 332－S24， 解得S24＝600.故選C. 2．已知等比數列{an}共有10項，其中奇數項之積為2，偶數項之積為64，則其公比q為(　　) A. B. C．2 D．2 解析：選C.由奇數項之積為2，偶數項

17、之積為64，得a1·a3·a5·a7·a9＝2，a2·a4·a6·a8·a10＝64，則q5＝＝32，則q＝2，故選C. 　　　新定義下數列創(chuàng)新(創(chuàng)新型) [典型例題] 如果一個數列由有限個連續(xù)的正整數按從小到大的順序組成(數列的項數大于2)，且所有項之和為N，那么稱該數列為“N型標準數列”，例如，數列2，3，4，5，6為“20型標準數列”，則“2 668型標準數列”的個數為____________． 【解析】　設首項為a1，項數為n(n＞2且n∈N*)，易知na1＋＝2 668，即n(2a1＋n－1)＝5 336＝23×23×29，又n＜2a1＋n－1，且兩者一定為一奇一偶，

18、則(n，2a1＋n－1)＝(8，667)＝(23，232)＝(29，184)，共三組，故“2 668型標準數列”的個數為3. 【答案】　3 數列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路 (1)閱讀審清“新定義”． (2)結合常規(guī)的等差數列、等比數列的相關知識，化歸、轉化到“新定義”的相關知識．　 (3)利用“新定義”及常規(guī)的數列知識，求解證明相關結論． [對點訓練] 若存在常數k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得無窮數列{an}滿足an＋1＝則稱數列{an}為“段比差數列”，其中常數k，q，d分別叫做段長、段比、段差．設數列{bn}為“段比差數列”，若{bn}的首項、段長、段比、段差分

19、別為1，3，0，3，則b15＝(　　) A．3　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：選D.因為{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1，3，0，3，所以b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，…，所以當n≥4時，{bn}是周期為3的周期數列．所以b15＝b6＝6.故選D. 一、選擇題 1．已知數列{an}滿足an＋1＝2an(n∈N*)，a1＋a3＝2，則a5＋a7＝(　　) A．8　　　　　　　　　　　 B．16 C．32 D．64 解析：選C.因為數列{an}滿足an＋1＝2an

20、(n∈N*)，所以此數列是等比數列，公比為2.則a5＋a7＝24(a1＋a3)＝24×2＝32. 2．(一題多解)(2019·福州市第一學期抽測)等比數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝2，S3＝－6，則S5＝(　　) A．18 B．10 C．－14 D．－22 解析：選D.法一：設等比數列{an}的公比為q，由題意，得， 解得，所以S5＝＝－22，故選D. 法二：設等比數列{an}的公比為q，易知q≠1，令A＝，則Sn＝Aqn－A， ，解得，所以Sn＝[(－2)n－1]，所以S5＝×[(－2)5－1]＝－22，故選D. 3．已知數列{an}的前n項和Sn＝an2＋b

21、n(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于(　　) A．13 B．49 C．35 D．63 解析：選B.由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數列{an}是等差數列，依題意得，d＝＝＝2，則an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49，故選B. 4．等差數列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選C.由d>0可得等差數列{an}是遞增數列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－

22、，則a8＝－<0，a9＝>0，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C. 5．(2019·鄭州一中摸底測試)設Sn是數列{an}的前n項和，且a1＝－1，＝Sn，則S10＝(　　) A. B．－ C．10 D．－10 解析：選B.由＝Sn，得an＋1＝SnSn＋1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，即－＝－1，所以數列是以＝＝－1為首項，－1為公差的等差數列，所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以＝－10，所以S10＝－，故選B. 6．我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重

23、幾何？”意思是“現有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤．問：依次每一尺各重多少斤．”設該金杖由粗到細是均勻變化的，其質量為M.現將該金杖截成長度相等的10段，記第i段的質量為ai(i＝1，2，…，10)，且a1

24、的前三項和為－6，前三項積為10，則前10項和S10＝____________． 解析：設前三項為a－d，a，a＋d(d＞0)， 則有解得 所以數列首項為a1＝a－d＝－5，公差d＝3， 故前10項和為S10＝10a1＋×d＝－50＋135＝85. 答案：85 8．已知數列{an}滿足a1＝0，數列{bn}為等差數列，且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15，則a31＝________． 解析：因為數列{an}滿足a1＝0，數列{bn}為等差數列，且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15， 所以an＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn， 所以a31＝b1＋b2＋b3＋…＋

25、b30 ＝(b1＋b30)＝15(b15＋b16)＝15×15＝225. 答案：225 9．已知等比數列{an}的首項為1，項數是偶數，所有的奇數項之和為85，所有的偶數項之和為170，則這個等比數列的項數為________． 解析：由題意得a1＋a3＋…＝85，a2＋a4＋…＝170， 所以數列{an}的公比q＝2， 由數列{an}的前n項和公式Sn＝，得85＋170＝，解得n＝8. 答案：8 三、解答題 10．(2019·高考北京卷)設{an}是等差數列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數列． (1)求{an}的通項公式； (2)記{an}的前n項

26、和為Sn，求Sn的最小值． 解：(1)設{an}的公差為d. 因為a1＝－10， 所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d. 因為a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數列， 所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)． 所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12. (2)由(1)知，an＝2n－12. 所以，當n≥7時，an>0；當n≤6時，an≤0. 所以，Sn的最小值為S6＝－30. 11．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值；

27、 (2)設bn＝an＋3，證明數列{bn}為等比數列，并求通項公式an. 解：(1)因為數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． 所以n＝1時，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3， n＝2時，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9， n＝3時，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21. (2)因為Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 兩式相減，得an＋1＝2an＋3，* 把bn＝an＋3及bn＋1＝an＋1＋3，代入*式， 得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6， 所以數列{bn}是以6為首項，2為公比的等比數列， 所以b

28、n＝6×2n－1， 所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)． 12．(2019·高考江蘇卷節(jié)選)定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M－數列”． (1)已知等比數列{an}(n∈N*)滿足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求證：數列{an}為“M－數列”； (2)已知數列{bn}(n∈N*)滿足：b1＝1，＝－，其中Sn為數列{bn}的前n項和．求數列{bn}的通項公式． 解：(1)證明：設等比數列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0. 由得解得因此數列{an}為“M－數列”． (2)因為＝－，所以bn≠0. 由b1＝1，S1＝b1，得＝－，則b2＝2. 由＝－，得Sn＝， 當n≥2時，由bn＝Sn－Sn－1， 得bn＝－， 整理得bn＋1＋bn－1＝2bn. 所以數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列． 因此，數列{bn}的通項公式為bn＝n(n∈N*)． - 14 -