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1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第二十三講《生活中的數(shù)學(xué)(二)——地板磚上的數(shù)學(xué)》教案1 北師大版
隨著人們生活水平的提高，很多家庭都裝修房子，其中鋪地板磚就是一項(xiàng)重要的美化工作．當(dāng)你看到地板磚展鋪成美麗的圖案時(shí)，你是否想到展鋪這美麗圖案的數(shù)學(xué)原理呢？如果你注意到的話，可能會(huì)對(duì)下面的簡單分析發(fā)生興趣．
地板磚展鋪的圖形，一般都是用幾種全等的平面圖形展鋪開來的，有時(shí)用由直線構(gòu)成的多邊形組成的圖案，有時(shí)用由曲線組成的圖案，千變?nèi)f化．但是作為基礎(chǔ)還是用平面多邊形展鋪平面．有時(shí)雖然有曲線，卻常常是由多邊形和圓作適當(dāng)變化而得到的．例如，一個(gè)由正方形展鋪的平面圖案(圖1－77(a))，如果對(duì)正方形用圓弧做一
2、些變化(圖1－77(b))，那么把以上兩個(gè)圖形結(jié)合起來設(shè)計(jì)，就可由比較單調(diào)的正方形圖案，變化曲線形成花紋圖案了(圖1－77(c))．
由于多邊形是構(gòu)成地板磚展鋪復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，因此，下面我們對(duì)利用多邊形展鋪平面圖形做些簡要分析．
例1 怎樣以三角形為基礎(chǔ)展鋪平面圖案．
分析與解 三角形是多邊形中最簡單的圖形，如果用三角形為基本圖形來展鋪平面圖案， 那么就要考慮三角形的特點(diǎn)．由于三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°，所以要把三角形的三個(gè)角集中到一起，就組成了一個(gè)平角．如果要在平面上一個(gè)點(diǎn)的周圍集中三角形的角，那么必須使這些角的和為兩個(gè)平角．因此，若把圖1－78中的三角形的三個(gè)內(nèi)角集
3、中在一起，并進(jìn)行軸對(duì)稱變換或中心對(duì)稱變換，就可以得到集中于一點(diǎn)的六個(gè)角，它們的和為360°，剛好覆蓋上這一點(diǎn)周圍的平面．變換的方法見圖1－79．
在中心對(duì)稱的情況下，三角形不翻折，在軸對(duì)稱的情況下，三角形要翻折．如果把三角形正、反兩面涂上顏色，那么通過對(duì)稱變換，正、反兩面就會(huì)明顯地反映出來了．
由上面的分析可知，用三角形為基本圖形展鋪平面圖案，共有以下四種情況，如圖1－80．
例2 怎樣以四邊形為基礎(chǔ)展鋪平面圖案？
分析與解 由于四邊形內(nèi)角和為360°，所以，任何四邊形都可以作為基本圖形來展鋪平面圖案．圖1－81中的(a)，(b)，(C)，(d)分別
4、是以矩形、菱形、梯形、一般四邊形為基本圖形的平面展鋪圖案．
例3 怎樣以正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案？
分析與解 用正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案，集中于一點(diǎn)的周圍的正多邊形的各個(gè)角的和應(yīng)是360°．例如，正五邊形一個(gè)內(nèi)角為
正十邊形一個(gè)內(nèi)角為
如果把兩個(gè)正五邊形的內(nèi)角與一個(gè)正十邊形的內(nèi)角加起來，則其和為2×108°+144°=360°．但是它們并不能用來展鋪平面．
如果用同種的正n邊形來展鋪平面圖案，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍集中了m個(gè)正n邊形的角．由于這些角的和應(yīng)為360°，所以以下等式成立
因?yàn)閙，n都是正整數(shù)，并且m＞2，n＞2．所以m-2，n-
5、2也都必定是正整數(shù)．所以當(dāng)n-2=1，m-2=4時(shí)，則n=3，m=6；當(dāng)n-2=2，m-2=2時(shí)，則n=4，m=4；當(dāng)n-2=4，m-2=1時(shí)，則n=6，m=3．這就證明了只用一種正多邊形展鋪平面圖案，只存在三種情況：
(1)由6個(gè)正三角形拼展，我們用符號(hào)(3，3，3，3，3，3)來表示(見圖1－82)．
(2)由4個(gè)正方形拼展，我們用符號(hào)(4，4，4，4)來表示
(見圖1－83)．
(3)由3個(gè)正六邊形來拼展，我們用符號(hào)(6，6，6)來表示
(見圖1－84)．
如果用兩種正多邊形來拼展平面圖案，那么就有以下五種情況：(3，3，3，4，4)，(3，3，3
6、，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)．這五種情況中，(3，3，3，4，4)又可有兩種不同的拼展方法，參看下面六種拼展圖形(圖1－85)．
用三種正多邊形展拼平面圖形就比較難設(shè)計(jì)了．下面舉出兩例供同學(xué)們思考(圖1－86)．
有興趣的同學(xué)請(qǐng)自己構(gòu)想出一兩個(gè)例子．
練習(xí)二十三
1．試用三角形和梯形這兩種多邊形拼展平面圖案．
2．試用形如圖1－87的圖形拼展平面圖案．
3．試用邊長為1的正三角形、邊長為1的正方形和兩腰為1、夾角為120°的等腰三角形拼展平面圖案．
4．試用圓弧和多邊形(多邊形可以用圓弧割補(bǔ))設(shè)計(jì)一種平面圖案．
5．試用一個(gè)正方形，仿照?qǐng)D1－76(a)，(b)，(c)的變化方式，設(shè)計(jì)一種平面圖案．
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