2022年高中數(shù)學(xué) 數(shù)列教案 蘇教版必修5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 數(shù)列教案 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 理解數(shù)列的概念、表示、分類、通項等基本概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系，了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項，對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的一個通項公式；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力，提高觀察、抽象的能力. 教學(xué)重點(diǎn)： 1.理解數(shù)列概念； 2.用通項公式寫出數(shù)列的任意一項. 教學(xué)難點(diǎn)： 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納出數(shù)列的通項公式. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 在前面第二章中我們一起學(xué)習(xí)了有關(guān)映射與函數(shù)的知識，現(xiàn)在我們再來回顧一下函數(shù)的定義. 如果A、B都是非空的數(shù)

2、集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函數(shù)，記作：y＝f(x)，其中x∈A，y∈B. Ⅱ.講授新課 在學(xué)習(xí)第二章函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，今天我們一起來學(xué)習(xí)第三章數(shù)列有關(guān)知識，首先我們來看一些例子. 1，2，3，4，…，50 ① 1，2，22，23，…，263 ② 15，5，16，16，28 ③ 0，10，20，30，…，1000 ④ 1，0.84，0.842，0.843，… ⑤ 請同學(xué)們觀察上述例子，看它們有何共同特點(diǎn)？ 它們均是一列數(shù)，它們是有一定次序的. 引出數(shù)列及有關(guān)定義. 1.定義 （1）數(shù)列

3、：按照一定次序排成的一列數(shù). 看來上述例子就為我們所學(xué)數(shù)列.那么一些數(shù)為何將其按照一定的次序排列，它有何實際意義呢？也就是說和我們生活有何關(guān)系呢？ 如數(shù)列①，它就是我們班學(xué)生的學(xué)號由小到大排成的一列數(shù). 數(shù)列②，是引言問題中各個格子里的麥粒數(shù)按放置的先后排成的一列數(shù). 數(shù)列③，好像是我國體育健兒在五次奧運(yùn)會中所獲金牌數(shù)排成的一列數(shù). 數(shù)列④，可看作是在1 km長的路段上，從起點(diǎn)開始，每隔10 m種植一棵樹，由近及遠(yuǎn)各棵樹與起點(diǎn)的距離排成的一列數(shù). 數(shù)列⑤，我們在化學(xué)課上學(xué)過一種放射性物質(zhì)，它不斷地變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，它就只剩留原來的84%，若設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，則這種

4、物質(zhì)各年開始時的剩留量排成一列數(shù)，則為：1，0.84，0.842，0.843，…. 諸如此類，還有很多，舉不勝舉，我們學(xué)習(xí)它，掌握它，也是為了使我們的生活更美好，下面我們進(jìn)一步討論，好嗎？ 現(xiàn)在，就上述例子，我們來看一下數(shù)列的基本知識. 比如，數(shù)列中的每一個數(shù)，我們以后把其稱為數(shù)列的項，各項依次叫做數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n項，…. 那么，數(shù)列一般可表示為a1，a2，a3，…，an，….其中數(shù)列的第n項用an來表示. 數(shù)列還可簡記作{an}. 數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n有一定的關(guān)系嗎？ 數(shù)列①中，每一項的序號與這一項有這樣的對應(yīng)關(guān)系： 序號 1 2 3

5、 … 50 ↓ ↓ ↓ … ↓ 項 1 2 3 … 50 即數(shù)列的每一項就等于其相對應(yīng)的序號.也可以用一式子：an=n(1≤n≤50)來表示.且n∈N*) 數(shù)列②中，每一項的序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系為： 序號 1 2 3 … 64 ↓ ↓ ↓ … ↓ 項 1 2 22 … 263 ↓ ↓ ↓ … ↓ 2° 21 22 … 263 ↓ ↓ ↓ … ↓ 21－1 22－1 23－1 … 264－1 即：an＝2n－1(n為正整數(shù)，且1≤n≤64) 數(shù)列④中： 序號

6、 1 2 3 … 101 ↓ ↓ ↓ … ↓ 項 0 10 20 … 1000 ↓ ↓ ↓ … ↓ 10×0 10×1 10×2 … 10×100 ↓ ↓ ↓ … ↓ 10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) … 10×(101－1) ∴an＝10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101). 數(shù)列⑤中： 序號 1 2 3 4 … ↓ ↓ ↓ ↓ … 項 1 0.84 0.842 0.843 … ↓ ↓ ↓ ↓ … 0.840 0.84

7、1 0.842 0.843 … ∴an＝0.84n－1(n≥1且n∈N*) 數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系都可以用這樣的式子來表示嗎？ 不是，如數(shù)列③的項與序號的關(guān)系就不可用這樣的式子來表示. 綜上所述，如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n,就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項. 下面，我們來練習(xí)找通項公式. 1，，，，…. ① 1，0.1，0.01，0.001，…. ② －1，1，－1，1，…. ③ 2，2，2，2，2

8、，2. ④ 1，3，5，7，9，…. ⑤ 得出數(shù)列①的通項公式為：an＝且n∈N*. 數(shù)列②可用通項公式：an＝，(n∈N*，n≥1)來表示. 數(shù)列③的通項公式為：an＝(－1)n(n∈N*)或an＝ 數(shù)列④的通項公式為：an＝2(n∈N*且1≤n≤6) 數(shù)列⑤的通項公式為：an＝2n－1(n∈N*). 數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別和聯(lián)系. 在數(shù)列的定義中，要強(qiáng)調(diào)數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的；而數(shù)集中的元素沒有次序. 例如，數(shù)列4，5，6，7，8，9與數(shù)列9，8，7，6，5，4是不同的兩個數(shù)列.如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列.而

9、數(shù)集中的元素若相同，則為同一集合，與元素的次序無關(guān). 數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)出現(xiàn)的，而數(shù)集中的數(shù)是不允許重復(fù)出現(xiàn)的.如上數(shù)列③與④，均有重復(fù)出現(xiàn)的數(shù). 數(shù)列與數(shù)的集合都是具有某種共同屬性的數(shù)的全體. {an}與an又有何區(qū)別和聯(lián)系？ {an}表示數(shù)列；an表示數(shù)列的項.具體地說，{an}表示數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而an只表示這個數(shù)列的第n項.其中n表示項的位置序號，如：a1，a2，a3，an分別表示數(shù)列的第1項，第2項，第3項及第n項. 數(shù)列是否都有通項公式？數(shù)列的通項公式是否是惟一的？ 從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)來看，數(shù)列也可看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它們的有限

10、子集{1，2，3，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式. 對于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對應(yīng)圖象.看來，數(shù)列也可以根據(jù)其通項公式畫出其對應(yīng)圖象，下面請同學(xué)們練習(xí)畫數(shù)列①、⑤的圖象. 根據(jù)所求通項公式畫出數(shù)列⑤、①的圖象，并總結(jié)其特點(diǎn)： 特點(diǎn)：它們都是一群弧立的點(diǎn). （5）有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.如數(shù)列④只有6項，是有窮數(shù)列. （6）無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.如數(shù)列①、②、③、⑤都是無窮數(shù)列. 2.例題講解 ［例1］根據(jù)下面數(shù)列{an}的通項公式，寫出它的前5項： (1)an＝； (2)an＝(－1)

11、n·n 分析：由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項. 解：(1)在an＝中依次取n＝1，2，3，4，5，得到數(shù)列{ }的前5項分別為：，，，，.即：a1＝；a2＝；a3＝；a4＝；a5＝. (2)在an＝(－1)n·n中依次取n＝1，2，3，4，5，得到數(shù)列{－1n·n}的前5項分別為：－1，2，－3，4，－5. 即：a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5. ［例2］寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： (1)1，3，5，7； (2) ，，， (3)－，，－，. 分析：認(rèn)真觀察各數(shù)列所給出項，

12、尋求各項與其項數(shù)的關(guān)系，歸納其規(guī)律，抽象出其通項公式. 解：(1) 序號： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項： 1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1 規(guī)律：這個數(shù)列的前4項1，3，5，7都是序號的2倍減去1，所以它的一個通項公式是an＝2n－1； (2) 序號： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項分母： 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1 ↓ ↓ ↓ ↓ 項分子： 22－1 32－1 42－1 52－1 規(guī)律：這個數(shù)列的前4項，，，的分母都是序號加上1，分子都

13、是分母的平方減去，所以它的一個通項公式是：an＝； （3） 序號： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項： － － ‖ ‖ ‖ ‖ （－1）1 （－1）2 （－1）3 （－1）4 規(guī)律：這個數(shù)列的前4項－，，－，的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是：an＝(－1)n·. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P32練習(xí)1，2，3，4，5，6 Ⅳ.課時小結(jié) 對于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的一些項求一些簡單數(shù)列的通項公式. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P3

14、2習(xí)題 1，2，3 數(shù) 列（一） 1．把自然數(shù)的前五個數(shù)①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做數(shù)列的有 個 A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知數(shù)列的{an}的前四項分別為1，0，1，0，則下列各式可作為數(shù)列{an}的通項公式的個數(shù)有 （ ） ①an＝ [

15、1＋（－1）n+1]； ②an＝sin2；(注n為奇數(shù)時，sin2＝1；n為偶數(shù)時，sin2＝0.)； ③an＝ [1＋(－1)n+1]＋(n－1)(n－2)； ④an＝，(n∈N*)(注：n為奇數(shù)時，cosnπ＝－1，n為偶數(shù)時，cosnπ＝1)； ⑤an＝ A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 3．?dāng)?shù)列－1，，－，，…的一個通項公式an是 （ ） A.(－1)n B.(－1)n C.(－1)n

16、 D.(－1)n 4．?dāng)?shù)列0，2，0，2，0，2，……的一個通項公式為 （ ） A.an＝1＋(－1)n－1 B.an＝1＋(－1)n C.an＝1＋(－1)n+1 D.an＝2sin 5．以下四個數(shù)中是數(shù)列{n(n＋1)}中的一項的是 （ ） A.17 B.32 C.39 D.380 6．?dāng)?shù)列2，5，11，20，x，47，……中的x等于

17、 （ ） A.28 B.32 C.33 D.27 7．?dāng)?shù)列1，2，1，2，1，2的一個通項公式是 . 8．求數(shù)列，，，…的通項公式. 數(shù) 列（一）答案 1．分析：按照數(shù)列定義得出答案. 評述：數(shù)列的定義中所說的“一定次序”不是要求按自然數(shù)次序，所以①②③④這四種排法都可叫做數(shù)列. 答案：D 2．分析：要判別某一公式不是數(shù)列的通項公式，只要把適當(dāng)?shù)膎代入an，其不滿足即可，如果要確定它是通項公式，必須加以一定的說明. 解：對于③，將n＝3代

18、入，a3＝3≠1，故③不是{an}的通項公式；由三角公式知；②和④實質(zhì)上是一樣的，不難驗證，它們是已知數(shù)列1，0，1，0的通項公式；對于⑤，易看出，它不是數(shù)列{an}的通項公式；①顯然是數(shù)列{an}的通項公式. 綜上可知，數(shù)列{an}的通項公式有三個，即有三種表示形式. 答案：C 3．D 4．B 5．D 6．解析：∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3， ∴x＝20＋3×4＝32. 答案：B 評述：用觀察歸納法寫出數(shù)列的一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律、觀察、分析問題的特點(diǎn)是最重要的，觀察要有目的，要能觀察出特點(diǎn)，觀察出項與項數(shù)之間的關(guān)系、規(guī)律，這類問題就是要觀察各項與項數(shù)之間的聯(lián)系，利用我們熟知的一些基本數(shù)列（如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列、自然數(shù)的前n項和數(shù)列、自然數(shù)的平方數(shù)列、簡單的指數(shù)數(shù)列，…），建立合理的聯(lián)想、轉(zhuǎn)換而達(dá)到問題的解決. 7．a(chǎn)n＝1＋[1＋（－1）n]. 8．求數(shù)列，，，…的通項公式. 分析：可通過觀察、分析直接寫出其通項公式，也可利用待定系數(shù)法求通項公式. 解：通過觀察與分析，不難寫出其三個分?jǐn)?shù)中分母5，15，35，…的一個通項公式 10·2n－1－5. 故所求數(shù)列的通項公式為：an＝.