2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、計(jì)算導(dǎo)數(shù)學(xué)案 理 北師大版

《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、計(jì)算導(dǎo)數(shù)學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、計(jì)算導(dǎo)數(shù)學(xué)案 理 北師大版（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第十節(jié)　變化率與導(dǎo)數(shù)、計(jì)算導(dǎo)數(shù) [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.通過函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并了解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù)． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第32頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的概念 (1)當(dāng)x1趨于x0，即Δx趨于0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那么這個(gè)值就是函數(shù)y＝f(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率．在數(shù)學(xué)中，稱瞬

2、時(shí)變化率為函數(shù)y＝f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(hào)f′(x0)表示， 記作f′(x0)＝ ＝ . (2)如果一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f′(x)：f′(x)＝ ，則f′(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)． 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)，切線方程為：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝C(C為常數(shù)) f′(x)＝0

3、f(x)＝xα(α是實(shí)數(shù)) f′(x)＝αxα－1 y＝tan x y′＝ y＝cot x y′＝－ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)的導(dǎo)數(shù)

4、間的關(guān)系為yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x)． [知識(shí)拓展] 1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)． 2.＝－(f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 4．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　　)

5、 (2)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．(　　) (3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(　　) (4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．(　　) (5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cos x．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．(教材改編)若f(x)＝x·ex，則f′(1)等于(　　) A．0　　　　　　　　 B．e C．2e D．e2 C　[∵f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.] 3．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝t2＋(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t

6、＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． D　[由題意知，機(jī)器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t－，故當(dāng)t＝2時(shí)，機(jī)器人的瞬時(shí)速度為v(2)＝2×2－＝.]　 4．(2017·全國卷Ⅰ)曲線y＝x2＋在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為________． x－y＋1＝0　[∵y′＝2x－，∴y′(1)＝1， 即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k＝1， ∴切線方程為y－2＝x－1， 即x－y＋1＝0.] 5．曲線y＝ax2－ax＋1(a≠0)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x＋y＋1＝0垂直，則a＝________. －　[∵y＝ax2－ax＋1，∴y′

7、＝2ax－a，∴y′(0)＝－a.又∵曲線y＝ax2－ax＋1(a≠0)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x＋y＋1＝0垂直，∴(－a)·(－2)＝－1，即a＝－.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第33頁) 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)y＝x－sincos； (4)y＝. [解]　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x. (4)y′＝＝ ＝－. [規(guī)律方法]　1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原

8、則如下 (1)遇到連乘的形式，先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo). (2)遇到根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo). (3)遇到復(fù)雜分式，先將分式化簡(jiǎn)，再求導(dǎo). 2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元處理. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，則x0等于(　　) A．e2　　　　　　 B．1 C．ln 2 D．e (2)已知函數(shù)f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a為實(shí)數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為________． (1)B　(2)3　[(1)f′(x)＝2 01

9、8＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，則ln x0＝0，解得x0＝1. (2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.] 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ◎角度1　求切線方程 　(2016·全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，－3)處的切線方程是________． y＝－2x－1　[因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，則f

10、′(1)＝－2.所以y＝f(x)在點(diǎn)(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.] ◎角度2　求切點(diǎn)坐標(biāo) 　若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140071】 (e，e)　[由題意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直線2x－y＋1＝0的斜率為2.設(shè)P(m，n)，則1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e，e)．] ◎角度3　求參數(shù)的值(范圍) 　(1)(2017·西寧復(fù)習(xí)檢測(cè)(一))已知曲線y＝在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a

11、＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． (2)(2018·成都二診)若曲線y＝ln x＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A． B． C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) (1)A　(2)D　[(1)由y′＝得曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為－，又切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝－2，故選A． (2)由題意得y′＝＋2ax(x＞0)．因?yàn)榍€不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則y′≥0恒成立，即a≥max.因?yàn)閤＞0，所以－＜0，即a≥0，故選D．] [規(guī)律方法]　求函數(shù)圖像的切線方程的注意事項(xiàng) (1)首先應(yīng)判斷所給點(diǎn)是不是切點(diǎn)，如

12、果不是，需將切點(diǎn)設(shè)出. (2)切點(diǎn)既在函數(shù)的圖像上，也在切線上，可將切點(diǎn)代入兩者的解析式建立方程組. (3)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值對(duì)應(yīng)切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件. (4)曲線上一點(diǎn)處的切線與該曲線并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn). (5)當(dāng)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是x＝x0. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2017·威海質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為(　　) A．x＋y－1＝0　　　　 B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

13、 (2)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140072】 A．1　　 B．2 C．－1　　　　D．－2 (3)(2017·天津高考)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－ln x的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________． (1)B　(2)B　(3)1　[(1)∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上， ∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)． 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴ 解得x0＝1，y0＝0. ∴切點(diǎn)為(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0. (2)設(shè)直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)． 又由曲線方程知y′＝，所以y′(x0)＝＝1，即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，則x0＝－1，所以a＝2. (3)∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1. 又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(diǎn)(1，a)， ∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1.] 6