級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 262二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)人教新課標(biāo)版

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1、人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下二次函數(shù)最全的中考知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 2 相關(guān)概念及定義 ? 二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)． ? 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： ⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2． ⑵ 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)． 2 二次函數(shù)各種形式之間的變換 ? 二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中. ? 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤. 2 二次函數(shù)解析式的表示方法 ? 一般式：（，，為常數(shù)，）； ?

2、頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）； ? 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）. ? 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 2 二次函數(shù)圖象的畫法 ? 五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）. ? 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂

3、點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn). 2 二次函數(shù)的性質(zhì) 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值． 向下 軸 時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 2 二次函數(shù)的性質(zhì) 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 軸 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值． 向下 軸 時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 2 二次函數(shù)的性質(zhì)： 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h

4、 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值． 向下 X=h 時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 2 二次函數(shù)的性質(zhì) 的符號(hào) 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值． 向下 X=h 時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值． 2 拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). ? 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. ? 對(duì)稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線

5、. ? 頂點(diǎn)坐標(biāo)： ? 頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. 2 拋物線中，與函數(shù)圖像的關(guān)系 ? 二次項(xiàng)系數(shù) 二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然． ⑴ 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； ⑵ 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大． 總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小． ? 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸． ⑴ 在的前提下， 當(dāng)時(shí)，，

6、即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)． ⑵ 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸； 當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)． 總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置． 總結(jié)： ? 常數(shù)項(xiàng) ⑴ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； ⑵ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； ⑶ 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)． 總結(jié)起來，決

7、定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 2 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 ? 公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. ? 配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線. ? 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失. 2 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 ? 一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. ? 頂點(diǎn)式：.已知圖像的

8、頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. ? 交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：. 2 直線與拋物線的交點(diǎn) ? 軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). ? 與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). ? 拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； ③沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離. ? 平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).

9、當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. ? 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); ②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn). ? 拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 2 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) ? 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； ? 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后

10、，得到的解析式是； ? 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； ? 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是． ? 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 ? 總結(jié)：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

11、 2 二次函數(shù)圖象的平移 ? 平移步驟： ⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： ? 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”． 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”． 2 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路。 ? 三點(diǎn)式。 1，已知拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過A（，0），B（，0），C（0，-3）三點(diǎn)，求拋物線的解析式。 2，已知拋物線y=a(x-1)２+4 ， 經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），求拋物線的解析式。 ? 頂點(diǎn)式。 1，已知拋物線y=x2-

12、2ax+a2+b 頂點(diǎn)為A（2，1），求拋物線的解析式。 2，已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點(diǎn)為（3，1），求拋物線的解析式。 ? 交點(diǎn)式。 1，已知拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)（4，0），（1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。 ? 定點(diǎn)式。 1，在直角坐標(biāo)系中，不論a 取何值，拋物線經(jīng)過x 軸上一定點(diǎn)Q，直線經(jīng)過點(diǎn)Q,求拋物線的解析式。 2，拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。

13、3，拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。 ? 平移式。 1， 把拋物線y= -2x2 向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。 2， 拋物線向上平移,使拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2),求拋物線的解析式. ? 距離式。 1，拋物線y=ax2+4ax+1(a﹥0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式。 2，已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m﹥0)與 x軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于C點(diǎn)，且AB=BC,求此拋物線的解析式。 ? 對(duì)稱軸式。 1、拋物線y=x2-2x+(m2

14、-4m+4)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。 2、 已知拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn)C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。 ? 對(duì)稱式。 1， 平行四邊形ABCD對(duì)角線AC在x軸上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點(diǎn)B到B1的位置，求經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式。 2， 求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸（或x軸）對(duì)稱的拋物線的解析式。 ? 切點(diǎn)式。 1，已知直線y=ax-a2(a≠0) 與拋物線y=mx2

15、有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。 2， 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點(diǎn)A（2，1）,求拋物線的解析式。 ? 判別式式。 1、已知關(guān)于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。 2、 已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。 3、已知拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。 一、平行線分線段成比例定理及其推論：? 1.定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。? 2.推論：平行于三角形一邊

16、的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。? 3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條線段平行于三角形的第三邊。? 二、相似預(yù)備定理：? 平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例?。? 三、相似三角形：? 1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。? 2.性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；? ?????????????? （2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；? ???????????????（3）相似三角形的周長比等于相似比

17、，面積比等于相似比的平方。? ??? 說明：①等高三角形的面積比等于底之比，等底三角形的面積比等于高之比；②要注意兩個(gè)圖形元素的對(duì)應(yīng)。? 3. 判定定理：? （1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；? （2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似；? （3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；? （4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。? ??四、三角形相似的證題思路： 五、利用相似三角形證明線段成比例的一般步驟：? 一“定”：先確定四條線段在哪兩個(gè)可能相似的三角形中；? 二“找”：再找出兩個(gè)三角形相似所需

18、的條件；? 三“證”：根據(jù)分析，寫出證明過程。? 如果這兩個(gè)三角形不相似，只能采用其他方法，如找中間比或引平行線等。 ?六、相似與全等：? 全等三角形是相似比為1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它們之間的區(qū)別與聯(lián)系：? 1.共同點(diǎn)它們的對(duì)應(yīng)角相等，不同點(diǎn)是邊長的大小，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，而相似三角形的對(duì)應(yīng)的邊成比例。? 2.判定方法不同，相似三角形只求形狀相同的，大小不一定相等，所以改“對(duì)應(yīng)邊相等”成“對(duì)應(yīng)邊成比例”。 常見考法 ?? ? ? ?（1）利用判定定理證明三角形相似；（2）利用三角形相似解決圓、函數(shù)的有關(guān)問題。 銳角三角比 tanA=角A的對(duì)邊/鄰邊 　　cotA=角A的鄰邊/對(duì)邊 　　sinA=角A的對(duì)邊/斜邊 　　cosA=角A的鄰邊/斜邊 三角比值 　　tan30=√ 3/3 　　cot30=√ 3 　　sin 30 =1/2 　　cos30=√ 3/2 　　tan60=√3 　　cot60=√ 3/3 　　sin 60=√3/2 　　cos 60 =1/2 　　tan 45=1 　　cot45=1 　　sin 45= √ 2/2 　　cos 45= √ 2/2 　　( √ 為根號(hào))