2017年高中物理 第1章 機械振動 1.3 探究擺鐘的物理原理 探究單擺振動的周期學案 滬科版選修3-4

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1、 3　探究擺鐘的物理原理　探究單擺振動的周期 [學習目標定位]　1.理解單擺模型及其振動特點.2.理解單擺做簡諧運動的條件，知道單擺振動時回復力的來源.3.知道相位的概念，知道同相振動與反相振動的步調(diào)特點.4.會用控制變量法探究單擺的周期與哪些因素有關.5.掌握單擺的周期公式，掌握用單擺測定重力加速度的原理和方法． 1．一個做往復運動的物體，當它所受到的回復力滿足F＝－kx，則這個物體做簡諧運動． 2．物理學中對于多變量的問題，常采用控制變量法把多變量的問題變成單變量的問題． 3．如圖1所示，細線上端固定，下端系一小球，如果細線的伸縮可以忽略，細線的質量與小球相比可以忽略

2、，小球的直徑與細線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就可看成單擺．單擺在擺角很小時做簡諧運動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律． 圖1 4．相是描述振動步調(diào)的物理量．兩個單擺振動步調(diào)一致，我們稱為同相；兩個單擺振動步調(diào)正好相反，叫做反相． 5．單擺振動的周期與擺球質量無關，在振幅較小時與振幅無關，周期公式T＝2π . 一、探究擺鐘的物理原理 [問題設計] 一陣風吹過，大廳里的吊燈微微擺動起來，久久不?！だ跃褪峭ㄟ^觀察教堂吊燈擺動發(fā)現(xiàn)了吊燈擺動的等時性，惠更斯按照伽利略的構想，發(fā)明制作了一個擺鐘．擺鐘的往復運動是簡諧運動嗎？你能用所學的知識證明嗎？ 答案　是簡諧運動． 證

3、明：把擺鐘等效成一個小球，當小球運動到圖中的任意位置P時，小球受到的回復力是小球所受重力G沿著圓弧切線方向的分力G1，F(xiàn)＝G1＝mgsin θ.若擺角θ很小，則有sin θ≈θ＝，并且位移x≈，考慮了位移和回復力的方向后，有F＝－mg(“－”表示回復力F與位移x的方向相反)，m是小球的質量，l是擺長，g是重力加速度，它們都有確定的數(shù)值，可以用一個常數(shù)k來表示，則上式又可以寫成F＝－kx，也就是說，在擺角很小時，小球所受到的回復力跟位移大小成正比而方向相反，所以小球做簡諧運動． [要點提煉] 1．單擺 (1)模型：擺線是不可伸長，且沒有質量的細線，擺球是沒有大小只有質量的質點，這樣的裝

4、置叫單擺，它是實際擺的理想化模型． (2)實際擺看作單擺的條件：①擺線的形變量與擺線的長度相比小得多，擺線的質量與擺球的質量相比小得多，這時可把擺線看成是不可伸長，且沒有質量的細線． ②擺球直徑的大小與擺線長度相比小得多，這時可把擺球看成是沒有大小只有質量的質點． 2．單擺的回復力 (1)回復力的提供：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力． (2)回復力的特點：在擺角很小時，F(xiàn)＝－x. (3)運動規(guī)律：在擺角很小時做簡諧運動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律． [延伸思考] 單擺經(jīng)過平衡位置時，合外力為零嗎？ 答案　不為零．單擺振動的回復力是重力在切線方向的分力，或者說是擺球所受合外力在

5、切線方向的分力．擺球所受的合外力在法線方向(擺線方向)的分力作為擺球做圓周運動的向心力，所以并不是合外力完全用來提供回復力的．因此擺球經(jīng)過平衡位置時，只是回復力為零，而不是合外力為零(此時合外力提供擺球做圓周運動的向心力)． 例1　對于單擺的振動，以下說法中正確的是(　　) A．單擺振動時，擺球受到的向心力大小處處相等 B．單擺運動的回復力就是擺球受到的合力 C．擺球經(jīng)過平衡位置時所受回復力為零 D．擺球經(jīng)過平衡位置時所受合外力為零 解析　單擺振動過程中受到重力和細線拉力的作用，把重力沿切向和徑向分解，其切向分力提供回復力，細線拉力與重力的徑向分力的合力提供向心力，向心力大小為mv

6、2/l，可見最大擺角處向心力為零，平衡位置處向心力最大，而回復力在最大擺角處最大，平衡位置處為零，故應選C. 答案　C 二、研究振動的步調(diào)問題 [問題設計] 1．如圖2所示，在鐵架臺上懸掛兩個相同的單擺，將兩個擺球拉離平衡位置且保證擺角相同，然后同時放開，可觀察到什么現(xiàn)象？ 答案　它們的運動總是一致的，也可以說是步調(diào)一致，即同時沿相同方向經(jīng)過平衡位置，并同時達到同一側最大位移處． 　　　 圖2　 　　　　　圖3 2．如圖3所示，再將兩個擺球拉開相同的擺角，先放開一個，等它擺到另一邊最大位移處時，再放開第二個，又可觀察到什么現(xiàn)象？ 答案　它們的運動總是相反的，也可以說是步調(diào)相反

7、，即同時沿相反方向經(jīng)過平衡位置，并同時達到兩側最大位移處． [要點提煉] 1．相(或相位、位相、周相)：描述振動步調(diào)的物理量． (1)兩個單擺振動步調(diào)一致，稱為同相； (2)兩個單擺振動步調(diào)不一致，就說它們存在著相差； (3)兩個單擺振動步調(diào)正好相反，叫做反相． 2．相差：指兩個相位之差． 在實際中經(jīng)常用到的是兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位差，反映出兩簡諧運動的步調(diào)差異． 例2　如圖4所示是在同一個坐標系里畫出的三個振動系統(tǒng)的振動圖像，下列說法正確的是(　　) 圖4 A．a(chǎn)、b、c三個振動系統(tǒng)的頻率相同 B．a(chǎn)、b兩個系統(tǒng)振動時存在著相差 C．a(chǎn)、b兩個系統(tǒng)振動同

8、相 D．a(chǎn)、c兩個系統(tǒng)振動反相 解析　由題圖可知，三個振動系統(tǒng)的周期相同，故頻率相同，A正確；a、b兩個系統(tǒng)振動的振幅不同，但總是同時來到正向(或負向)的最大位移處，同時同方向經(jīng)過平衡位置，故a、b同相，B錯誤，C正確；a、c兩個系統(tǒng)總是同時來到反向的最大位移處，同時以相反方向經(jīng)過平衡位置，故a、c反相，D正確． 答案　ACD 三、探究單擺振動的周期 [問題設計] 1．如圖5所示，兩個單擺同時釋放，我們可以觀察到振動的周期不同．影響周期的因素可能有單擺的質量、振幅、擺長，這么多因素我們應采用什么方法研究？ 圖5 答案　控制變量法．具體做法為： (1)只讓兩擺的質量不同．(

9、2)只讓兩擺的振幅不同(都在小擺角下)．(3)只讓兩擺的擺長不同． 比較以上三種情況下兩擺的周期，可以得到周期與質量、振幅、擺長之間的定性關系． 2．具體做法是什么？得出影響周期的因素是什么？ 答案　首先，研究周期和質量有沒有關系，就應控制其他條件不變． 做法：用兩個擺長相同，擺球質量不同的單擺．將它們拉到同一個高度(注意擺角要小)釋放，觀察兩擺的運動． 現(xiàn)象：兩擺球擺動總是同步的，說明兩擺球周期相同，即周期與擺球質量無關． 其次，研究單擺的周期和振幅的關系． 做法：用一個單擺，分兩次從不同高度釋放(振幅不同)，用秒表測量單擺振動30次所用時間并比較兩次所用時間． 結論：兩次所

10、用時間近似相等，故周期與振幅無關． 再次，研究單擺的周期和擺長的關系． 做法：取兩個擺長不同，質量相同的兩個擺球從同一高度同時釋放，觀察兩擺的運動． 現(xiàn)象：兩擺振動不同步，擺長大的振動慢，說明單擺的周期與擺長有關． 由此可知單擺的周期與擺球質量、振幅無關，與擺長有關． [要點提煉] 1．單擺的周期公式T＝2π. 2．擺長l (1)實際的單擺的擺球不可能是質點，所以擺長應是從懸點到擺球球心的長度：即l＝l′＋，l′為擺線長，d為擺球直徑． (2)等效擺長：如圖6所示，甲、乙在垂直紙面方向擺起來的效果是相同的，所以甲擺的擺長為lsin_α，這就是等效擺長，所以其周期為T＝2π.

11、 圖6 3．重力加速度g 若系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止狀態(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝，式中R為物體到地心的距離，M為地球的質量，g隨所處地表的位置和高度的變化而變化．另外，在不同星球上，M和R一般不同，g也不同，g取9.8 m/s2只是在地球表面附近時的取值． 例3　如圖7所示，MN為半徑較大的光滑圓弧軌道的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一小球B放在MN上離最低點C很近的B處，今使兩球同時自由釋放，則在不計空氣阻力時有(　　) 圖7 A．A球先到達C點 B．B球先到達C點 C．兩球同時到達C點 D．無法確定哪一個球先到達C點 解析　A做自由落體運

12、動，到達C所需時間tA＝ ，R為圓弧軌道的半徑． 因為圓弧軌道的半徑R很大，B球離最低點C又很近，所以B球在軌道給它的支持力和重力的作用下沿圓弧做簡諧運動(等同于擺長為R的單擺)，則運動到最低點C所用的時間是單擺振動周期的，即tB＝＝ >tA，所以A球先到達C點． 答案　A 四、測定當?shù)氐闹亓铀俣? [問題設計] 在地球表面，不同緯度重力加速度不同，不同高度重力加速度不同，利用本學案的知識怎樣測出當?shù)氐闹亓铀俣龋? 答案　由單擺周期公式得g＝，如果測出單擺的擺長l、周期T，就可以求出當?shù)氐闹亓铀俣萭. [要點提煉] 1．原理：測出擺長l、周期T，代入公式g＝，求出重力加速度g

13、. 2．器材：鐵架臺及鐵夾，金屬小球(有孔)、停表、細線(1 m左右)、米尺、游標卡尺． 3．實驗步驟 (1)讓細線穿過金屬小球上的小孔，在細線的一端打一個稍大一些的線結，制成一個單擺． (2)將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸出桌面之外，然后把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂．在單擺平衡位置處做上標記． (3)用米尺量出懸線長l′(準確到mm)，用米尺和三角板(或游標卡尺)測出擺球的直徑d(準確到mm)，然后計算出懸點到球心的距離l＝l′＋即為擺長． (4)把此單擺從平衡位置拉開一個角度，并使這個角度不大于5°，再釋放小球．當小球擺動穩(wěn)定以后，經(jīng)過最低位置時

14、，用停表開始計時，測量單擺全振動30次(或50次)的時間，求出一次全振動的時間，即單擺的振動周期． (5)改變擺長，反復測量三次，算出周期T及測得的擺長l代入公式g＝，求出重力加速度g的值，然后求g的平均值，即為當?shù)氐闹亓铀俣鹊闹担? 4．五點注意 (1)選擇材料時應選擇細而不易伸長的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長度一般不應短于1 m，小球應選用密度較大的金屬球，直徑應較小，最好不超過2 cm. (2)單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時發(fā)生擺線下滑、擺長改變的現(xiàn)象． (3)注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的角度應很?。? (4)小球擺動時，要使之保持在同

15、一豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺．方法是將小球拉到一定位置后由靜止釋放． (5)計算單擺的振動次數(shù)時，應從擺球通過最低位置時開始計時，以后擺球應從同一方向通過最低點時計數(shù)，要多測幾次(如30次或50次)全振動的時間，用取平均值的辦法求周期． 例4　下表是“用單擺測定重力加速度”實驗中獲得的有關數(shù)據(jù)： 擺長l/m 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 周期平方T2/s2 1.6 2.2 2.4 3.2 4.0 4.8 (1)利用上述數(shù)據(jù)，在圖8中描出l－T2的圖像． 圖8 (2)利用圖像，取T2＝5.2 s2時，l＝________ m，重力加速度

16、g＝________ m/s2. 解析　(1)描點作圖如圖所示 (2)由圖可知，當T2＝5.2 s2時，l＝1.3 m，將它代入g＝得：g＝＝ m/s2≈9.86 m/s2. 答案　(1)見解析圖　(2)1.3　9.86 單擺 1．單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是(　　) A．擺線質量不計 B．擺線長度不伸縮 C．擺球的直徑比擺線長度短得多 D．只要是單擺的運動就是一種簡諧運動 答案　ABC 解析　單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量，擺球只計質量不計大小，且擺線不伸縮．但把單擺作為簡諧運動來處理是有條件的，只有在擺角很小(θ<5°)的情

17、況下才能視單擺運動為簡諧運動，故正確答案為A、B、C. 2．單擺振動的回復力是(　　) A．擺球所受的重力 B．擺球重力在垂直懸線方向上的分力 C．懸線對擺球的拉力 D．擺球所受重力和懸線對擺球拉力的合力 答案　B 解析　擺球振動的回復力是其重力沿圓弧切線方向的分力，即擺球重力在垂直懸線方向上的分力，B正確． 3．已知單擺a完成10次全振動的時間內(nèi)，單擺b完成6次全振動，兩擺長之差為1.6 m，則兩單擺長la與lb分別為(　　) A．la＝2.5 m，lb＝0.9 m B．la＝0.9 m，lb＝2.5 m C．la＝2.4 m，lb＝4.0 m D．la＝4.0 m，

18、lb＝2.4 m 答案　B 解析　設兩個單擺的周期分別為Ta和Tb，由題意10Ta＝6Tb，得Ta∶Tb＝3∶5. 根據(jù)單擺周期公式T＝2π ，可知l＝T2， 由此得la∶lb＝T∶T＝9∶25.則 la＝×1.6 m＝0.9 m， lb＝×1.6 m＝2.5 m. 4．用單擺測定重力加速度，根據(jù)的原理是(　　) A．由g＝看出，T一定時，g與l成正比 B．由g＝看出，l一定時，g與T2成反比 C．由于單擺的振動周期T和擺長l可用實驗測定，利用g＝可算出當?shù)氐闹亓铀俣? D．同一地區(qū)單擺的周期不變，不同地區(qū)的重力加速度與周期的平方成反比 答案　C 解析　g是由所處的地

19、理位置的情況來決定的，與l及T無關，故只有C正確． [基礎題] 1．當單擺的擺球擺到最大位移處時，擺球所受的(　　) A．合外力為零 B．回復力為零 C．向心力為零 D．擺線中張力為零 答案　C 解析　當擺球擺到最大位移處時，回復力最大，不為零，合外力不為零，所以選項A、B均錯；由向心力公式F＝可知，擺球在最大位移處時，速度為零，向心力也為零，此時擺線中的張力等于重力沿擺線方向上的分力，所以選項C對，D錯． 2．將秒擺(周期為2 s)的周期變?yōu)? s，下列措施可行的是(　　) A．將擺球的質量減半 B．將振幅減半 C．將擺長減半 D．將擺長減為原來的 答

20、案　D 解析　由單擺周期公式T＝2π可以看出，要使周期減半，擺長應減為原來的. 3．如圖1所示，在兩根等長的細線下懸掛一個小球(體積可忽略)組成了所謂的雙線擺，若擺線長為l，兩線與天花板的左右兩側夾角均為α，當小球垂直紙面方向做簡諧運動時，周期為(　　) 圖1 A．2π B．2π C．2π D．2π 答案　D 解析　這是一個變形的單擺，可以用單擺的周期公式T＝2π計算，但注意此處的l與題中的繩長不同，公式中的l是指質點到懸點(等效懸點)的距離，即做圓周運動的半徑．此題中單擺的等效擺長為lsin α，代入周期公式，可得T＝2π ，故選D. 4．利用單擺測重力加

21、速度時，若測得g值偏大，則可能是因為(　　) A．單擺的擺球質量偏大 B．測量擺長時，只考慮了懸線長，忽略了小球的半徑 C．測量周期時，把n次全振動誤認為是(n＋1)次全振動 D．測量周期時，把n次全振動誤認為是(n－1)次全振動 答案　C 解析　由單擺周期公式知T＝2π，得g＝，而T＝，所以g＝，由此可知C正確． 5．人在平直路面上勻速行走時，關于兩臂和兩腿的擺動，下列說法中正確的是(　　) A．左臂和右臂的擺動始終是反相的 B．左臂和左腿的擺動始終是反相的 C．左臂和右腿的擺動始終是反相的 D．左臂和右臂的擺動始終是同相的 答案　AB [能力題] 6．如圖2所示

22、為甲、乙兩單擺的振動圖像，則(　　) 圖2 A．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比為l甲∶l乙＝2∶1 B．若甲、乙兩單擺在同一地點擺動，則甲、乙兩單擺的擺長之比為l甲∶l乙＝4∶1 C．若甲、乙兩單擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩單擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝4∶1 D．若甲、乙兩單擺擺長相同，且在不同的星球上擺動，則甲、乙兩單擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝1∶4 答案　BD 解析　由題圖可知T甲∶T乙＝2∶1，若兩單擺在同一地點，則兩擺長之比為l甲∶l乙＝4∶1，故B正確，A錯誤；若兩擺長相等，則所在星球的重力加速度之

23、比為g甲∶g乙＝1∶4，故D正確，C錯誤． 7．一個單擺的擺球偏離到最大位置時，正好遇到空中豎直下落的雨滴，雨滴均勻附著在擺球的表面，下列說法正確的是(　　) A．擺球經(jīng)過平衡位置時速度要增大，周期也增大，振幅也增大 B．擺球經(jīng)過平衡位置時速度沒有變化，周期減小，振幅也減小 C．擺球經(jīng)過平衡位置時速度沒有變化，周期也不變，振幅要增大 D．擺球經(jīng)過平衡位置時速度要增大，周期不變，振幅要增大 答案　D 解析　在最大位移處，雨滴落到擺球上，質量增大，同時擺球獲得初速度，故振幅增大，但擺球質量不影響周期，周期不變．選項D正確． 8．某實驗小組在利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛校? (

24、1)用游標卡尺測定擺球的直徑，測量結果如圖3所示，則該擺球的直徑為________cm. 圖3 (2)小組成員在實驗過程中有如下說法，其中正確的是________．(填選項前的字母) A．把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時開始計時 B．測量擺球通過最低點100次的時間t，則單擺周期為 C．用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值偏大 D．選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小 答案　(1)0.97　(2)C 解析　(1)游標卡尺讀數(shù)＝主尺讀數(shù)＋游標尺讀數(shù)＝0.9 cm＋7×0.01 cm＝0.97 cm (2)要使

25、擺球做簡諧運動，擺角應小于5°，應選擇密度較大的擺球，阻力的影響較小，測得重力加速度值誤差較小，故A、D錯；擺球通過最低點100次，完成50次全振動，周期是，B錯；擺長應是l＋，若用懸線的長度加直徑，則測出的重力加速度值偏大． [探究與拓展題] 9．(2014·江蘇單科·12B(2))在“探究單擺的周期與擺長的關系”實驗中，某同學準備好相關實驗器材后，把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度后釋放，同時按下秒表開始計時，當單擺再次回到釋放位置時停止計時，將記錄的這段時間作為單擺的周期．以上操作中有不妥之處，請對其中兩處加以改正． 答案?、賾跀[球通過平衡位置時開始計時；②應測量單擺多次全振動的時間，再計算出周期的測量值．(或在單擺振動穩(wěn)定后開始計時) 12