1.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)1(教學(xué)設(shè)計(jì))

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SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 1 1 4 2 1 正弦 余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)目的 知識(shí)目標(biāo) 要求學(xué)生能理解周期函數(shù) 周期函數(shù)的周期和最小正周期的定義 能力目標(biāo) 掌握正 余弦函數(shù)的周期和最小正周期 并能求出正 余弦函數(shù)的最小 正周期 德育目標(biāo) 讓學(xué)生自己根據(jù)函數(shù)圖像而導(dǎo)出周期性 領(lǐng)會(huì)從特殊推廣到一般的數(shù)學(xué) 思想 體會(huì)三角函數(shù)圖像所蘊(yùn)涵的和諧美 激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣 教學(xué)重點(diǎn) 正 余弦函數(shù)的周期性 教學(xué)難點(diǎn) 正 余弦函數(shù)周期性的理解與應(yīng)用 授課類型 新授課 教學(xué)模式 啟發(fā) 誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué) 教學(xué)過程 一 創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課 1 現(xiàn)實(shí)生活中的 周而復(fù)始 現(xiàn)象 1 今天是星期二 則過了七天是星期幾 過了十四天呢 2 現(xiàn)在下午 2 點(diǎn) 30 那么每過 24 小時(shí)候是幾點(diǎn) 3 路口的紅綠燈 貫穿法律意識(shí) 2 數(shù)學(xué)中是否存在 周而復(fù)始 現(xiàn)象 觀察正 余 弦函數(shù)的圖象總結(jié)規(guī)律 正弦函數(shù) 性質(zhì)如下 sinfx 觀察圖象 1 正弦函數(shù)的圖象是有規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的 22 2 52 5 Oxy11 SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 2 2 規(guī)律是 每隔 2 重復(fù)出現(xiàn)一次 或者說每隔 2k k Z 重復(fù)出現(xiàn) 3 這個(gè)規(guī)律由誘導(dǎo)公式 sin 2k x sinx 可以說明 結(jié)論 象這樣一種函數(shù)叫做周期函數(shù) 文字語言 正弦函數(shù)值按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)地取得 符號(hào)語言 當(dāng) 增加 時(shí) 總有 x2k Z 2 sin 2 sin fxkxkxf 也即 1 當(dāng)自變量 增加 時(shí) 正弦函數(shù)的值又重復(fù)出現(xiàn) 2 對(duì)于定義域內(nèi)的任意 恒成立 xsini 余弦函數(shù)也具有同樣的性質(zhì) 這種性質(zhì)我們就稱之為周期性 二 師生互動(dòng) 新課講解 1 周期函數(shù)定義 對(duì)于函數(shù) f x 如果存在一個(gè)非零常數(shù) T 使得當(dāng) x 取定義 域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí) 都有 f x T f x 那么函數(shù) f x 就叫做周期函數(shù) 非零常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期 問題 1 正 弦 函 數(shù) 是 不 是 周 期 函 數(shù) 如 果 是 周 期 是 多 少 且sinyx R 2k Z 余弦函數(shù)呢 0k 2 觀察等式 是否成立 如果成立 能不能說 是 y sinx 的周4sin 2i 期 3 若函數(shù) 的周期為 則 也是 的周期嗎 為什么 fxTk Z fx 是 其原因?yàn)?2 fxfxTkT 2 最小正周期 T 往往是多值的 如 y sinx 2 4 2 4 都是周期 周期 T 中最小的正數(shù)叫做 f x 的最小正周期 有些周期函數(shù)沒有最小正周期 y sinx y cosx 的最小正周期為 2 一般稱為周期 從圖象上可以看出 的最小正周期為 siny R cosyx R 2 3 例題講解 例 1 課本 P35 例 2 求下列三角函數(shù)的周期 3 xycos xysin 12sin 6yx R 解 1 3 co 自變量 只要并且至少要增加到 函數(shù) 的值才能重復(fù)出現(xiàn) 3cosyx 所以 函數(shù) 的周期是 csyxR 2 sin 2 in2 sin2x 自變量 只要并且至少要增加到 函數(shù) 的值才能重復(fù)出現(xiàn) x sin2R SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 3 所以 函數(shù) 的周期是 sin2yx R 3 621sin 6 4 21sin 61 xx 自變量 只要并且至少要增加到 函數(shù) 的值才能重復(fù)出現(xiàn) sin2yxR 所以 函數(shù) 的周期是 2sin xy 變式訓(xùn)練 1 求下列三角函數(shù)的周期 1 y sin3x 2 y cos 3 y 3sin x4x 4 y sin x 5 y cos 2x 10 解 1 sin 3x 2 sin3x 又 sin 3x 2 sin3 x 32 即 f x f x 周期 T 3232 2 cos cos cos 6 31 x 即 f x 6 f x T 6 3 3sin 3sin 2 3sin f x 8 4 841x 即 f x 8 f x T 8 4 sin x sin x 2 即 f x f x 2 1010 T 2 5 cos 2x cos 2x 2 cos 2 x 333 即 f x f x T 由以上練習(xí) 請(qǐng)同學(xué)們自主探究 T 與 x 的系數(shù)之間的關(guān)系 小結(jié) 形如 y Asin x A 為常數(shù) A 0 x R 周期 2 T y Acos x 也可同法求之 一般結(jié)論 函數(shù) 及函數(shù) 的周期sin yAxb cos yAxb xR2 T SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 4 課堂鞏固練習(xí) 2 快速求出下列三角函數(shù)的周期 1 y sin 2 y cos4x 1 3 y 4 y sin x43 5cos 21x 431 x 5 y 3cos 15 三 課堂小結(jié) 1 周期函數(shù)定義 對(duì)定義域內(nèi)任意 x 都有 f x T f x 2 y sin x 與 y cos x 的周期都是 2k 最小正周期是 2 3 及 的周期sin yAb cos yAxb 2 T 4 作業(yè)布置 1 P52 3 2 金太陽導(dǎo)學(xué)案與固學(xué)案 4 奇偶性 請(qǐng)同學(xué)們觀察正 余弦函數(shù)的圖形 說出函數(shù)圖象有怎樣的對(duì)稱性 其特點(diǎn)是什么 1 余弦函數(shù)的圖形 當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí) 函數(shù) y 取同一值 例如 f f 即 f f 3 213 由于 cos x cosx f x f x 以上情況反映在圖象上就是 如果點(diǎn) x y 是函數(shù) y cosx 的圖象上的任一點(diǎn) 那 么 與它關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) x y 也在函數(shù) y cosx 的圖象上 這時(shí) 我們說函數(shù) y cosx 是偶函數(shù) SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 5 定義 一般地 如果對(duì)于函數(shù) f x 的定義域內(nèi)任意一個(gè) x 都有 f x f x 那 么函數(shù) f x 就叫做偶函數(shù) 2 正弦函數(shù)的圖形 觀察函數(shù) y sinx 的圖象 當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí) 它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有什么關(guān) 系 這個(gè)事實(shí)反映在圖象上 說明函數(shù)的圖象有怎樣的對(duì)稱性呢 函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱 也就是說 如果點(diǎn) x y 是函數(shù) y sinx 的圖象上任一點(diǎn) 那么與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 的點(diǎn) x y 也在函數(shù) y sinx 的圖象上 這時(shí) 我們說函數(shù) y sinx 是奇函數(shù) 定義 一般地 如果對(duì)于函數(shù) f x 的定義域內(nèi)任意一個(gè) x 都有 f x f x 那么函數(shù) f x 就叫做奇函數(shù) 如果函數(shù) f x 是奇函數(shù)或偶函數(shù) 那么我們就說函數(shù) f x 具有奇偶性 注意 從函數(shù)奇偶性的定義可以看出 具有奇偶性的函數(shù) 1 其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 2 f x f x 或 f x f x 必有一成立 因此 判斷某一函數(shù)的奇偶性時(shí) 首先看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 若對(duì)稱 再計(jì)算 f x 看是等于 f x 還是等 于 f x 然后下結(jié)論 若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱 則函數(shù)沒有奇偶性 例 2 判斷下列函數(shù)的奇偶性 1 y sinxcosx 2 y cos2x 變式訓(xùn)練 2 判斷下列函數(shù)的奇偶性 1 y sinx cosx 2 y sin2x SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 6 5 單調(diào)性 從 y sin x x 的圖象上可看出 23 當(dāng) x 時(shí) 曲線逐漸上升 sin x 的值由 1 增大到 1 2 當(dāng) x 時(shí) 曲線逐漸下降 sin x 的值由 1 減小到 1 3 結(jié)合上述周期性可知 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 2 k k Z 上都是增函數(shù) 其值從 1 增大到 1 在每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 2 k k Z 上都是減函數(shù) 其值從3 1 減小到 1 余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 1 2 k k Z 上都是增函數(shù) 其值從 1 增加到 1 在每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 2 k 1 k Z 上都是減函數(shù) 其值從 1 減小到 1 例 3 求函數(shù) y 的單調(diào)遞增區(qū)間 1sin 23x 變式訓(xùn)練 3 求函數(shù) y 的單調(diào)遞減區(qū)間 1sin 23x 6 最大值與最小值 正弦函數(shù) y sinx 當(dāng) x 時(shí)取最大值 1 當(dāng) x 時(shí)取最小值 1 2k 32k 余弦函數(shù) y cosx 當(dāng) x 時(shí)取最大值 1 當(dāng) x 最取最小值 1 以上 kZ 例 4 課本 P38 例 3 下列函數(shù)有最大值 最小值嗎 如果有 請(qǐng)寫出取最大值 最 SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 7 小值時(shí)的自變量 x 的集合 并說出最大值 最小值分別是什么 1 y cosx 1 2 y 3sin2x 變式訓(xùn)練 4 課本 P39 例 4 利用三角函數(shù)的單調(diào)性 比較下列各組數(shù)的大小 sin si 180 與 2317cos cos 54 與 課堂鞏固練習(xí) 2 課本 P40 練習(xí) NO 1 2 3 三 課堂小結(jié) 鞏固反思 1 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期性 最小正周期的求法 2 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性 會(huì)判定三角函數(shù)的奇偶性 3 會(huì)求 的單調(diào)區(qū)間 sin yAxb 4 會(huì)求 的最值 四 課時(shí)必記 1 一般結(jié)論 函數(shù) 及函數(shù) 的周期sin yAxb cos yAxb xR 2 T 2 y sinx 為奇函數(shù) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 y cosx 是偶函數(shù) 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱 3 正弦函數(shù) y sinx 每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 2 k k Z 上都是增函數(shù) 其 值從 1 增大到 1 在每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 2 k k Z 上都是減函數(shù) 其3 SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 8 值從 1 減小到 1 余弦函數(shù) y cosx 在每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 1 2 k k Z 上都是增函數(shù) 其值 從 1 增加到 1 在每一個(gè)閉區(qū)間 2 k 2 k 1 k Z 上都是減函數(shù) 其值從 1 減小到 1 4 正弦函數(shù) y sinx 當(dāng) x 時(shí)取最大值 1 當(dāng) x 時(shí)取最小值 1 2k 32k 余弦函數(shù) y cosx 當(dāng) x 時(shí)取最大值 1 當(dāng) x 最取最小值 1 以上 kZ 五 分層作業(yè) A 組 1 課本 P46 習(xí)題 1 4 A 組 NO 2 2 課本 P46 習(xí)題 1 4 A 組 NO 3 3 課本 P46 習(xí)題 1 4 A 組 NO 4 4 課本 P46 習(xí)題 1 4 A 組 NO 5 1 SCH 高中數(shù)學(xué) 南極數(shù)學(xué) 同步教學(xué)設(shè)計(jì) 9 B 組 1 課本 P46 習(xí)題 1 4 A 組 NO 5 2 2 tb0135302 函數(shù) y Asin wx C 中 A w C 為常數(shù) 且 A 0 w 0 則這個(gè) 函數(shù)的最小值是 C A A C B A C C A C D A C C 組 1 作出下列函數(shù)的圖象 若是周期函數(shù) 請(qǐng)寫出它的周期 1 y sinx 2 y cosx 2 函數(shù) y ksinx b 的最大值為 2 最小值為 4 求 k b 的值