結(jié)構(gòu)力學(xué)（全套課件+課后習(xí)題答案）
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第4章 結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算,§4.1 位移計(jì)算概述 一、位移的概念 1.定義：在外因（荷載、溫度變化、支座沉降等）作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生尺寸和形狀的改變，稱為變形。結(jié)構(gòu)變形后，其上各點(diǎn)的位置會(huì)有變動(dòng)，稱為位移。位移是矢量，有大小、方向。 2.種類：（1）線位移：水平位移；豎向位移 （2）角位移：轉(zhuǎn)動(dòng)方向,二、計(jì)算位移目的,三、位移產(chǎn)生的主要原因,,,,,,,,,,,,,,,,,,為什么要計(jì)算 位移?,1.驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度； 2.為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)。,1.荷載作用； 2.溫度改變和材料脹縮； 3.支座沉降和制造誤差等。,四、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的原理,1.位移計(jì)算假定條件：線彈性變形體在小變形條件下的位移 2.計(jì)算原理：變形體系的虛功原理 3.計(jì)算方法：虛設(shè)單位荷載法,§4.2 虛功和虛功原理,1.概念,一、實(shí)功與虛功,實(shí)功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。 虛功：力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。,2.做功的兩種形式,力在變形位移上所作的實(shí)功為：,力在對(duì)應(yīng)虛位移上所作的虛功為：,常力實(shí)功：,靜力實(shí)功：,剛體在外力作用下處于平衡的充分必要條件是，對(duì)于任意微小的虛位移，外力所作的虛功之和等于零。,二、虛功原理,1.剛體體系的虛功原理,體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的 位移和變形，體系上所有外力所作的虛功總和恒等于體 系各截面所有內(nèi)力在微段變形位移上作的虛功總和。,2.變形體系的虛功原理,說(shuō)明： （1）虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài) 必須滿足協(xié)調(diào)條件。 （2）原理適用于任何 (線性和非線性)的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。 （3）位移和變形是微小量，位移曲線光滑連續(xù)，并符合約束條件。 （4）在虛功原理中，做功的力和位移無(wú)關(guān)，可以虛設(shè)力也可虛設(shè)位移。,,3.虛功原理的應(yīng)用,1）虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理） 虛設(shè)單位位移法:已知一個(gè)力狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)單位位移狀態(tài)，利用虛功方程求力狀態(tài)中的未知力。這時(shí)，虛功原理也稱為虛位移原理。,2）虛設(shè)力系求位移（虛力原理） 虛設(shè)單位荷載法:已知一個(gè)位移狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)單位力狀態(tài)，利用虛功方程求位移狀態(tài)中的未知位移。這時(shí)，虛功原理也稱為虛力原理。,三、剛體體系虛功原理應(yīng)用舉例,例1. 求A 端支座發(fā)生豎向位移 c 時(shí)引起C點(diǎn)的豎向位移 ?.,解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置單位荷載。,由 得：,解得：,這是單位荷載法 。,虛功方程為：,例2. 求多跨靜定梁在C點(diǎn)的支座反力FC。,（3）代入剛體體系的虛功方程，求FC。,解得：,這是單位位移法 。,虛功方程為：,解：（1）撤掉支座C,把支座反力變成主動(dòng)力FC。這時(shí)體系變成一個(gè)機(jī)構(gòu)，如圖（b）所示。,（2）取圖（c）所示機(jī)構(gòu)的剛體體系沿所求支座反力方向 虛設(shè)單位位移δC=1。根據(jù)幾何關(guān)系，可求出力F作用點(diǎn)處相應(yīng)的位移：,δ1=-3/2， δ2=3/4,微段的變形可分為:,§4.3 位移計(jì)算的一般公式,一、公式的推導(dǎo),基本原理——變形體系的虛力原理（虛設(shè)單位荷載法）,虛設(shè)力狀態(tài)：在求位移處沿所求位移方向加上相應(yīng)的廣義單位力P=1。,如圖所示結(jié)構(gòu)，計(jì)算K點(diǎn)的水平位移。,對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，內(nèi)力所作虛功：,外力所作虛功：,由變形體虛功原理：,說(shuō)明：該式是結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。 適用于靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。 2) 適用于產(chǎn)生位移的各種原因、不同的變形類型、不同的材料。 3)該式右邊四項(xiàng)乘積，當(dāng)力與變形的方向一致時(shí)，乘積取正。,二、虛設(shè)單位荷載的方法,1)求某截面的線位移,2)求某截面的角位移,3)求某兩點(diǎn)間的相對(duì)角位移,4)求某兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移,§4.4 荷載作用下的位移計(jì)算,一、公式的進(jìn)一步推導(dǎo),二、各類結(jié)構(gòu)的位移公式,1.梁與剛架—以彎曲變形為主,2.桁架—只有軸向變形,3.組合結(jié)構(gòu),4.拱,例1.求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。,,2）分段求MP的表達(dá)式,（0≤x≤l）,解：1）虛擬單位荷載,AC段： MP=Px/2 （0≤x1≤l/2）,BC段： MP=P（l－x）/2 （l/2 ≤x2≤l）,3）代入公式求φB,解：,例2.求圖示桁架(各桿EA相同)K點(diǎn)水平位移.,1）分別求出桁架各桿在實(shí)際荷載 和虛設(shè)單位荷載作用下的軸力。,2）代入公式求ΔKH,例3.求圖示1/4圓弧曲桿頂點(diǎn)的豎向位移Δ。,解：1）虛擬單位荷載,虛擬荷載,3）,ds=Rdθ,2）實(shí)際荷載,,,鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G≈0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可見(jiàn)剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計(jì)。但對(duì)于深梁剪切變形引起的位移不可忽略.,例4.求圖示懸臂剛架C截面的角位移φC。剛架EI為常數(shù)。 解：（1）取圖(b)所示虛力狀態(tài)。 （2）實(shí)際荷載與單位荷載所引起的彎矩分別為(以內(nèi)側(cè)受拉為正) 橫梁BC(以C為原點(diǎn)) MP=-Px1 (0≤x1≤l) M=-1 (0≤x1≤l) 豎柱BA(以B為原點(diǎn)) MP=-Pl (0≤x2≤l) M=-1 (0≤x2≤l),,,(3)將MP、M代入位移公式,一、適用范圍與限制條件,§4.5 圖乘法,如何利用彎矩圖，使其計(jì)算得以簡(jiǎn)化？,1.適用范圍:受彎曲變形為主的梁、剛架及組合結(jié)構(gòu)中的梁式桿,2.限制條件:,（1）桿軸是直線； （2）EI是常數(shù)； （3） 至少有一是直線圖形。,二、圖乘法的公式,(EI為常數(shù)),(直桿),圖乘法求位移公式為:,注意圖乘法的 應(yīng)用條件,說(shuō)明：,（1）若兩個(gè)M圖在桿件的同側(cè)， 乘積取正值；反之， 取負(fù)值。 （2） 應(yīng)取自直線圖中。 （3） 必須分別取自兩個(gè)彎矩圖。,三、應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問(wèn)題,3.當(dāng)圖形比較復(fù)雜，其面積或形心位置不易直接確定時(shí)，可采用疊加法。,1.豎標(biāo)yC只能由直線彎矩圖中取值。如果MP與單位M圖都是直線，則yC可取自其中任一個(gè)圖形。,2.當(dāng)結(jié)構(gòu)某一根桿件的M圖為折線形時(shí)，或者各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段圖乘，然后進(jìn)行疊加。,圖1,例如，圖1(a)所示兩個(gè)梯形應(yīng)用圖乘法，可不必求梯形的形心位置，而將其中一個(gè)梯形(設(shè)為MP圖)分成兩個(gè)三角形，分別圖乘后再疊加。,對(duì)于圖2所示由于均布荷載q所引起的MP圖，可以把它看作是兩端彎矩豎標(biāo)所連成的梯形ABDC與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩圖疊加而成。,四、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心的位置,(1) 畫出結(jié)構(gòu)在實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP； (2) 據(jù)所求位移選定相應(yīng)的虛擬狀態(tài)，畫出單位彎矩圖M； (3) 分段計(jì)算一個(gè)彎矩圖形的面積ω及其形心所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)彎矩圖形的豎標(biāo)yC； (4) 將ω 、yC代入圖乘法公式計(jì)算所求位移。,五、圖乘法計(jì)算位移的解題步驟,【例1】求圖(a)所示簡(jiǎn)支梁A端角位移φA及跨中C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)。 【解】(1) 求φA ① 實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。 ② 在A端加單位力偶m=1，其單位彎矩圖M如圖(c)所示。 ③ MP圖面積及其形心對(duì)應(yīng)單位M圖豎標(biāo)分別為 ④ 計(jì)算φA,(2) 求ΔCV ① MP圖仍如圖(b)所示。 ② 在C點(diǎn)加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(d)所示。 ③ 計(jì)算ω、yC。由于單位M圖是折線形，故應(yīng)分段圖乘再疊加。因兩個(gè)彎矩圖均對(duì)稱，故計(jì)算一半取兩倍即可。 ④ 計(jì)算ΔCV,【例2】試求圖(a)所示的梁在已知荷載作用下，A截面的角位移φA及C點(diǎn)的豎向線位移ΔCV。EI為常數(shù)。 【解】(1) 分別建立在m=1及P=1作用下的虛設(shè)狀態(tài)，如圖(c)、(d)所示。 (2) 分別作荷載作用和單位力作用下的彎矩圖，如圖(b)、(c)、(d)。 (3) 圖形相乘。將圖(b)與圖(c)相乘，則得 φA=-1/EI(Pa2/6+qa3/12) 結(jié)果為負(fù)值，表示φA的方向與m=1的方向相反。,圖18.16,計(jì)算ΔCV時(shí)，將圖(b)與圖(d)相乘，這里必須注意的是MP圖BC段的彎矩圖是非標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，所以圖乘時(shí)不能直接代入公式，應(yīng)將此部分面積分解為兩部分，然后疊加，則得 ΔCV==1/EI(2/3Pa3+7/24qa4)(↓),【例3】計(jì)算圖(a)所示懸臂剛架D點(diǎn)的豎向位移ΔDV。各桿EI如圖示。 【解】(1)實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。 (2)在D端加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(c)所示。 (3)計(jì)算ω、yC 圖乘時(shí)應(yīng)分AB、BC、CD三段進(jìn)行，由于CD段M=0，可不必計(jì)入。故只計(jì)算AB、BC兩段。 AB段： ω1= 2/3l2 (取自單位M圖) y1=Pl/4 BC段： ω2=2l2/9 y2=Pl/4 (4)計(jì)算ΔDV ΔDV=1/EI(ω1yC1)+1/2EI(ω2yC2) =-5Pl3/(36EI) (↑),【例4】計(jì)算圖(a)所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)。 【解】(1) 實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。 (2) 在C處加豎向單位力P=1，其彎矩圖M如圖(f)所示。 (3) 計(jì)算ω、yC BC段： ω1=ql3/48 y1=3/8l AB段： ω2=ql3/16 y2=1/3 ω3=ql3/24 y3=1/4l (4) 計(jì)算ΔCV ΔCV=1/EI(ω1y1+ω2y2+ω3y3)=ql4/(128EI)(↓),感謝聆聽(tīng)！,
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