《菱形的性質(zhì)與判定》典型例題.doc

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《菱形的性質(zhì)與判定》典型例題 例1 如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且，求： （1）的度數(shù)；（2）對(duì)角線AC的長(zhǎng)；（3）菱形ABCD的面積． 例2 已知：如圖，在菱形ABCD中，于于 F． 求證： 例3 已知：如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的一點(diǎn)，，，求的度數(shù). 例4 如圖，已知四邊形和四邊形都是長(zhǎng)方形，且． 求證：垂直平分． 例5 如圖，中，，、在直線上，且． 求證：． 例6 如圖，在△中，，為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形． 求證：與互相垂直平分 參考答案 例1 分析 （1）由E為AB的中點(diǎn)，，可知DE是AB的垂直平分線，從而，且，則是等邊三角形，從而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的對(duì)角線互相垂直，可知 解 （1）連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴ 是AB的中點(diǎn)，且，∴ ∴是等邊三角形，∴也是等邊三角形． ∴ （2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC與BD互相垂直平分， ∴ ∴，∴ （3）菱形ABCD的面積 說(shuō)明：本題中的菱形有一個(gè)內(nèi)角是60的特殊的菱形，這個(gè)菱形有許多特點(diǎn)，通過(guò)解題應(yīng)該逐步認(rèn)識(shí)這些特點(diǎn)． 例2 分析 要證明，可以先證明，而根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)不難證明，從而可以證得本題的結(jié)論． 證明 ∵四邊形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴， ， ∴， ∴ 例3 解答：連結(jié)AC. ∵四邊形ABCD為菱形， ∴，. ∴與為等邊三角形. ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴為等邊三角形. ∴ ∵， ∴ ∴ 說(shuō)明 本題綜合考查菱形和等邊三角形的 性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連AC，證 例4 分析 由已知條件可證明四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角以及等腰三角形的“三線合一”可證明垂直平分． 證明：∵四邊形、都是長(zhǎng)方形 ∴，，， ∴四邊形是平行四邊形 ∵，∴ 在△和△中 ∴△≌△ ∴， ∵四邊形是平行四邊形 ∴四邊形是菱形 ∴平分 ∴平分 ∵ ∴垂直平分． 例5 分析 要證，關(guān)鍵是要證明四邊形是菱形，然后利用菱形的性質(zhì)證明結(jié)論． 證明 ∵四邊形是平行四邊形 ∴，，，∴ ∵，∴ 在△和△中 ∴△≌△ ∴ ∵ ∴ 同理： ∴ ∵ ∴四邊形是平行四邊形 ∵ ∴四邊形是菱形 ∴． 例6 分析 要證明與互相垂直平分，只要證明四邊形是菱形．所以要連結(jié) 證明 ∵在△中，為的中點(diǎn) ∴ ∵四邊形是平行四邊形 ∴， ∴， ∴四邊形是平行四邊形 ∵ ∴是菱形 ∴與互相垂直平分．