浙江專版2018年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程學(xué)案新人教A版選修2 .doc

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2.1　 2．1．1&2．1．2　曲線與方程　求曲線的方程 預(yù)習(xí)課本P34～36，思考并完成以下問(wèn)題 1．曲線的方程、方程的曲線的定義分別是什么？ 　 　 　 　 　 　 　 2．求曲線方程的一般步驟是什么？ 　 　 　 　 　 　 　 　　　　 1．曲線的方程、方程的曲線 在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看做點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： ①曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； ②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)． 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 2．求曲線的方程的步驟 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)斜率為k的直線的方程是＝k(　　) (2)若點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C上，則有f(x0，y0)＝0(　　) (3)以A(0,1)，B(1,0)，C(－1,0)為頂點(diǎn)的△ABC的BC邊上中線的方程是x＝0(　　) 答案：(1)　(2)√　(3) 2．下列各組方程中表示相同曲線的是(　　) A．x2＋y＝0與xy＝0　　　B．＝0與x2－y2＝0 C．y＝x與y＝ D．x－y＝0與y＝lg 10x 答案：D 3．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)(1，－2)的距離為3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 答案：B 4．若點(diǎn)P(2，－3)在曲線x2－ky2＝1上，則實(shí)數(shù)k＝________． 答案： 曲線的方程與方程的曲線的概念 　　[典例]　分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系： (1)過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|＝2之間的關(guān)系； (2)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)與方程xy＝5之間的關(guān)系； (3)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)與方程x＋y＝0之間的關(guān)系． [解]　(1)過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定都在過(guò)點(diǎn)A(2,0)且平行于y軸的直線上．因此，|x|＝2不是過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線的方程． (2)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的距離之積一定等于5．因此，與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy＝5． (3)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限兩軸夾角的平分線上．因此，第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x＋y＝0． 這類題目主要是考查“曲線的方程與方程的曲線”的定義中所列的兩個(gè)條件，正好組成兩個(gè)集合相等的充要條件，二者缺一不可．這就是我們判斷方程是不是指定曲線的方程，曲線是不是所給方程的曲線的準(zhǔn)則．　　　　 　　[活學(xué)活用] 命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是真命題，下列命題中正確的是(　　) A．方程f(x，y)＝0的曲線是C B．方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C C．f(x，y)＝0是曲線C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上 解析：選B　“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)”不一定在曲線C上，故A、C、D都不正確，B正確． 曲線與方程的判定問(wèn)題 [典例]　下列方程分別表示什么曲線： (1)(x＋y－1)＝0； (2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0． [解]　(1)由方程(x＋y－1)＝0可得 或 即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1． 故方程表示一條射線x＋y－1＝0(x≥1)和一條直線x＝1． (2)對(duì)方程左邊配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0． ∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴解得 從而方程表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)(1，－1)． 判斷方程表示什么曲線，常需對(duì)方程進(jìn)行變形，如配方、因式分解或利用符號(hào)法則、基本常識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的形式，然后根據(jù)化簡(jiǎn)后的特點(diǎn)判斷．特別注意，方程變形前后應(yīng)保持等價(jià)，否則，變形后的方程表示的曲線不是原方程代表的曲線．另外，當(dāng)方程中含有絕對(duì)值時(shí)，常采用分類討論的思想．　　 　　[活學(xué)活用] 已知方程x2＋(y－1)2＝10． (1)判斷點(diǎn)P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲線上； (2)若點(diǎn)M在此方程表示的曲線上，求m的值． 解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴點(diǎn)P在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上， 點(diǎn)Q不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上． (2)因?yàn)閤＝，y＝－m適合方程x2＋(y－1)2＝10， 即2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－．所以m的值為2或－． 求曲線的方程 [典例]　已知圓C：x2＋(y－3)2＝9，過(guò)原點(diǎn)作圓C的弦OP，求OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程． [解]　[法一　直接法] 如圖所示，連接QC，因?yàn)镼是OP的中點(diǎn)，所以∠OQC＝90． 設(shè)Q(x，y)，由題意，得 |OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9， 所以O(shè)P的中點(diǎn)Q的軌跡方程為x2＋2＝(去掉原點(diǎn))． [法二　定義法] 如圖所示，因?yàn)镼是OP的中點(diǎn)， 所以∠OQC＝90，則Q在以O(shè)C為直徑的圓上． 故Q點(diǎn)的軌跡方程為x2＋2＝(去掉原點(diǎn))． [法三　代入法] 設(shè)P(x1，y1)，Q(x，y)， 由題意得即 又因?yàn)閤＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9， 即x2＋2＝(去掉原點(diǎn))． 直接法、定義法、代入法是求軌跡方程(或軌跡)的常用方法，對(duì)于此類問(wèn)題，在解題過(guò)程中，最容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)是求軌跡方程中自變量的取值范圍，一定要慎重分析和高度重視． 　　　　　　 [活學(xué)活用] 過(guò)點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程． 解：法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)． ∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)． ∴A點(diǎn)坐標(biāo)是(2x,0)，B點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2y)． ∵l1，l2均過(guò)點(diǎn)P(2,4)，且l1⊥l2， ∴PA⊥PB，當(dāng)x≠1時(shí)，kPAkPB＝－1． 而kPA＝＝，kPB＝＝， ∴＝－1， 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 當(dāng)x＝1時(shí)，A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)， ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x＋2y－5＝0， 綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程是x＋2y－5＝0． 法二：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM． ∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|． 而|PM|＝，|AB|＝， ∴2 ＝ ． 化簡(jiǎn)，得x＋2y－5＝0，即為所求軌跡方程． 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．已知直線l：x＋y－3＝0及曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點(diǎn)M(2,1)(　　) A．在直線l上，但不在曲線C上 B．在直線l上，也在曲線C上 C．不在直線l上，也不在曲線C上 D．不在直線l上，但在曲線C上 解析：選B　將點(diǎn)M(2,1)的坐標(biāo)代入方程知M∈l，M∈C． 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線(　　) A．關(guān)于x軸對(duì)稱 　B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于x－y＝0對(duì)稱 解析：選C　同時(shí)以－x代替x，以－y代替y，方程不變，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲線是(　　) 解析：選B　方程x＋|y－1|＝0可化為|y－1|＝－x≥0，則x≤0，因此選B． 4．已知兩點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足||||＋＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：選B　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)， ∴||＝4，||＝，＝4(x－2)． 根據(jù)已知條件得4 ＝4(2－x)． 整理得y2＝－8x．∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝－8x． 5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面積為10，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0 解析：選B　由兩點(diǎn)式，得直線AB的方程是 ＝，即4x－3y＋4＝0， 線段AB的長(zhǎng)度|AB|＝＝5． 設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)， 則5＝10， 即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0． 6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的圖形為_(kāi)_______． 解析：對(duì)方程左邊配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0． ∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0， ∴解得 從而方程表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)(2，－2)． 答案：一個(gè)點(diǎn)(2，－2) 7．已知兩點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P滿足＝12，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______________． 解析：設(shè)P(x，y)，則＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)． 于是＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12， 化簡(jiǎn)得x2＋y2＝16，此即為所求點(diǎn)P的軌跡方程． 答案：x2＋y2＝16 8．已知點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)點(diǎn)B在曲線y＝2x2＋1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是________________． 解析：設(shè)M(x，y)，B(x0，y0)，則y0＝2x＋1． 又M為AB的中點(diǎn)，所以即 將其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2． 答案：y＝4x2 9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)，PM⊥y軸，垂足為M，點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，且＝4，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，則＝(x，－2y)， 故＝(x，y)(x，－2y)＝x2－2y2， 依題意知，x2－2y2＝4， 因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2－2y2＝4． 10．已知圓C的方程為x2＋y2＝4，過(guò)圓C上的一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量＝＋，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡． 解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)(y0≠0)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，y0)． 因?yàn)椋剑? 即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)， 則x0＝x，y0＝． 又點(diǎn)M在圓C上，所以x＋y＝4， 即x2＋＝4(y≠0)． 所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是＋＝1(y≠0)． 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．已知點(diǎn)O(0,0)，A(1，－2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝3|PO|，則點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 解析：選A　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)， 則由|PA|＝3|PO|，得 ＝3． 化簡(jiǎn)，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故選A． 2．下列四組方程表示同一條曲線的是(　　) A．y2＝x與y＝ B．y＝lg x2與y＝2lg x C．＝1與lg(y＋1)＝lg(x－2) D．x2＋y2＝1與|y|＝ 解析：選D　根據(jù)每一組曲線方程中x和y的取值范圍，不難發(fā)現(xiàn)A、B、C中各組曲線對(duì)應(yīng)的x或y的取值范圍不一致；而D中兩曲線的x與y的取值范圍都是[－1,1]，且化簡(jiǎn)后的解析式相同，所以D正確．故選D． 3．方程y＝－對(duì)應(yīng)的曲線是(　　) 解析：選A　將y＝－平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的下半部分，故選A． 4．已知0≤α≤2π，點(diǎn)P(cos α，sin α)在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為(　　) A．　　　B．　　　C．或　　　D．或 解析：選C　將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入曲線(x－2)2＋y2＝3中，得(cos α－2)2＋sin2α＝3，解得cos α＝．又0≤α<2π，所以α＝或．故選C． 5．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲線所圍成的圖形的面積是________． 解析：方程|x－1|＋|y－1|＝1可寫(xiě)成或或或其圖形如圖所示，它是邊長(zhǎng)為的正方形，其面積為2． 答案：2 6．給出下列結(jié)論： ①方程＝1表示斜率為1，在y軸上的截距為－2的直線； ②到x軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為y＝－2； ③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四個(gè)點(diǎn)． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析：對(duì)于①，方程＝1表示斜率為1，在y軸上的截距為－2的直線且除掉點(diǎn)(2,0)，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，到x軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為y＝－2或y＝2，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，方程(x2－4)2＋(y－4)2＝0表示點(diǎn)(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四個(gè)點(diǎn)，所以③正確．故填③． 答案：③ 7．已知A為定點(diǎn)，線段BC在定直線l上滑動(dòng)，|BC|＝4，點(diǎn)A到直線l的距離為3，求△ABC外心的軌跡方程． 解：建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸與l重合，點(diǎn)A在y軸上(如圖所示)，則A(0,3)． 設(shè)△ABC的外心為P(x，y)， 因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上， 所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．又點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，所以|PA|＝|PB|， 即＝，化簡(jiǎn)得x2－6y＋5＝0． 于是△ABC外心的軌跡方程為x2－6y＋5＝0． 8．已知兩點(diǎn)P(－2,2)，Q(0,2)以及一條直線l：y＝x，設(shè)長(zhǎng)為的線段AB在直線l上移動(dòng)，求直線PA和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程． 解：設(shè)A(m，m)，B(m＋1，m＋1)， 當(dāng)m≠－2且m≠－1時(shí)，直線PA和QB的方程分別為y＝(x＋2)＋2和y＝x＋2． 由消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0． 當(dāng)m＝－2時(shí)，直線PA和QB的方程分別為x＝－2和y＝3x＋2，其交點(diǎn)為(－2，－4)，滿足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0． 當(dāng)m＝－1時(shí)，直線PA和QB的方程分別為y＝－3x－4和x＝0，其交點(diǎn)為(0，－4)，滿足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0． 綜上，可知所求交點(diǎn)M的軌跡方程為x2－y2＋2x－2y＋8＝0．