浙江專版2018年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理學(xué)案新人教A版必修5 .doc

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1.111.1正弦定理預(yù)習(xí)課本P23，思考并完成以下問題 (1)直角三角形中的邊角之間有什么關(guān)系？(2)正弦定理的內(nèi)容是什么？利用它可以解哪兩類三角形？(3)解三角形的含義是什么？1正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.點(diǎn)睛正弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化2解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)正弦定理適用于任意三角形()(2)在ABC中，等式bsin Aasin B總能成立()(3)在ABC中，已知a，b，A，則此三角形有唯一解()解析：(1)正確正弦定理適用于任意三角形(2)正確由正弦定理知，即bsin Aasin B.(3)錯(cuò)誤在ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是無解、一解、兩解的情況，具體情況由a，b，A的值來定答案：(1)(2)(3)2在ABC中，下列式子與的值相等的是()A.B.C. D.解析：選C由正弦定理得，所以.3在ABC中，已知A30，B60，a10，則b等于()A5 B10C. D5解析：選B由正弦定理得，b10.4在ABC中，A，b2，以下錯(cuò)誤的是()A若a1，則c有一解B若a，則c有兩解C若a，則c無解 D若a3，則c有兩解解析：選Da2 sin1時(shí)，c有一解；當(dāng)a1時(shí)，c無解；當(dāng)1a2時(shí)，c有一解故選D.已知兩角及一邊解三角形典例在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.解A180(BC)180(6075)45，由正弦定理，得b4，由，得c4(1)已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角(2)由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊注意若已知角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值(這時(shí)應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如754530)，再根據(jù)上述思路求解 活學(xué)活用在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC()A4B2C. D.解析：選B由正弦定理得，即，所以AC2，故選B.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形典例在ABC中，a，b，B45，求A，C，c.解由正弦定理及已知條件，有，得sin A.ab，AB45.A60或120.當(dāng)A60時(shí)，C180456075，c；當(dāng)A120時(shí)，C1804512015，c.綜上可知：A60，C75，c或A120，C15，c.已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對的角時(shí)，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一(3)如果已知的角為小邊所對的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論 活學(xué)活用在ABC中，c，C60，a2，求A，B，b.解：，sin A.A45或A135.又ca，CA.A45.B75，b1.三角形形狀的判斷典例在ABC中，acosbcos，判斷ABC的形狀解：法一化角為邊acosbcos，asin Absin B由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，ABC為等腰三角形法二化邊為角acosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合題意舍去)故ABC為等腰三角形利用正弦定理判斷三角形的形狀的兩條途徑(1)化角為邊將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系，如ab，a2b2c2等，進(jìn)而確定三角形的形狀利用的公式為：sin A，sin B，sin C.(2)化邊為角將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀利用的公式為：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C活學(xué)活用在ABC中，已知acos Abcos B，試判斷ABC的形狀解：由正弦定理，2R，所以acos Abcos B可化為sin A cos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B，又ABC中，A，B，C(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC的形狀為等腰或直角三角形層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1在ABC中，a5，b3，則sin Asin B的值是()A. B.C. D.解析：選A根據(jù)正弦定理得.2在ABC中，absin A，則ABC一定是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形解析：選B由題意有b，則sin B1，即角B為直角，故ABC是直角三角形3在ABC中，若，則C的值為()A30 B45C60 D90解析：選B由正弦定理得，則cos Csin C，即C45，故選B.4ABC中，A，B，b，則a等于()A1 B2C. D2解析：選A由正弦定理得，a1，故選A.5在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且absin A，則sin B()A. B.C. D解析：選B由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，所以sin Asin Bsin A，故sin B.6下列條件判斷三角形解的情況，正確的是_(填序號)a8，b16，A30，有兩解；b18，c20，B60，有一解；a15，b2，A90，無解；a40，b30，A120，有一解解析：中absin A，有一解；中csin Bbb，有一解；中ab且A120，有一解綜上，正確答案：7在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，則ABC的形狀是_解析：由已知得sin2Asin2Bsin2C，根據(jù)正弦定理知sin A，sin B，sin C，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案：直角三角形8在銳角ABC中，BC1，B2A，則_.解析：由正弦定理及已知得，2.答案：29已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45，60，它們所夾邊的長是1，求最小邊長解：設(shè)ABC中，A45，B60，則C180(AB)75.因?yàn)镃BA，所以最小邊為a.又因?yàn)閏1，由正弦定理得，a1，所以最小邊長為1.10在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解：，b4.C180(AB)180(3045)105，c4sin(3045)22.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于()A120B105C90 D75解析：選Aca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C，tan C.又0C180，C120.故選A.2已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，若ABC的周長為4(1)，且sin Bsin Csin A，則a()A. B2C4 D2解析：選C根據(jù)正弦定理，sin Bsin Csin A可化為bca，ABC的周長為4(1)，解得a4.故選C.3在ABC中，A60，a，則等于()A. B.C. D2解析：選B由a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C得2R.4在ABC中，若ABC，且AC2B，最大邊為最小邊的2倍，則三個(gè)角ABC()A123 B234C345 D456解析：選A由ABC，且AC2B，ABC，可得B，又最大邊為最小邊的2倍，所以c2a，所以sin C2sin A，即sin2sin Atan A，又0A0，sin Bcos B10，即sin ，B(0，)，B.(2)由(1)得：2R2，ac2R(sin Asin C)2sin.C，2sin(，2，ac的取值范圍為(，211.2余弦定理預(yù)習(xí)課本P56，思考并完成以下問題 (1)余弦定理的內(nèi)容是什么？(2)已知三角形的兩邊及其夾角如何解三角形？(3)已知三角形的三邊如何解三角形？余弦定理余弦定理公式表達(dá)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理語言敘述三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍推論cos Ac os B，cos C點(diǎn)睛余弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立(2)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形()(2)在ABC中，若a2b2c2，則ABC一定為鈍角三角形()(3)在ABC中，已知兩邊和其夾角時(shí)，ABC不唯一()解析：(1)正確余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形(2)正確當(dāng)a2b2c2時(shí)，cos A0.因?yàn)?Ab知AB，B30.故C180AB1804530105.(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解活學(xué)活用已知a，b，c是ABC三邊之長，若滿足等式(abc)(abc)ab，則C的大小為()A60B90C120 D150解析：選C(abc)(abc)ab，c2a2b2ab，由余弦定理可得，cos C，0C180，C120，故選C.利用余弦定理判斷三角形形狀典例在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，試判斷ABC的形狀解：法一化角為邊將已知等式變形為b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccos Bcos C.由余弦定理并整理，得b2c2b22c222bc，b2c2a2.A90.ABC是直角三角形法二化邊為角由正弦定理，已知條件可化為sin2Csin2Bsin2Csin2B2sin Bsin Ccos Bcos C.又sin Bsin C0，sin Bsin Ccos Bcos C，即cos(BC)0.又0BC0，則ABC()A一定是銳角三角形 B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形 D是銳角或直角三角形解析：選C由0得cos C0，所以cos Ccb，A為最大角由余弦定理的推論，得cos A.又0Ab Ba0，a2b2，ab.3在ABC中，cos2，則ABC是()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：選Bcos2，cos B，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC為直角三角形4在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b2c2bca20，則()A. B.C D解析：選A由余弦定理得cos A，又b2c2bca20，則cos A，又0A60，ADC120，C1801203030，B60.(2)設(shè)DCx，則BD2x，BC3x，ACx，sin B，cos B，ABx，在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即(2)26x24x22x2x2x2，得x2.故DC2.