2020高考數(shù)學一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 課時作業(yè)26 平面向量的數(shù)量積與應用舉例 文.doc

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課時作業(yè)26　平面向量的數(shù)量積與應用舉例 [基礎(chǔ)達標] 一、選擇題 1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|＝(　　) A．1　　B. C．2 D．4 解析：因為2a－b與b垂直，所以(2a－b)b＝0，所以－3＋n2＝0，解得n2＝3，所以|a|＝2. 答案：C 2．[2019云南省第一次統(tǒng)一檢測]在?ABCD中，||＝8，||＝6，N為DC的中點，＝2，則＝(　　) A．48 B．36 C．24 D．12 解析：＝(＋)(＋)＝＝2－2＝82－62＝24，故選C. 答案：C 3．[2019石家莊高中質(zhì)量檢測]若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴ab＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b與a的夾角為. 答案：A 4．[2019陜西西安地區(qū)八校聯(lián)考]已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影是(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析：依題意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，＝(－2，－1)(5,5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，選A. 答案：A 5．[2019惠州市調(diào)研考試]若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足(－)(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 解析：(－)(＋－2)＝0，即(＋)＝0，∵－＝，∴(－)(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形． 答案：A 6．[2019云南省高三11?？鐓^(qū)調(diào)研考試]平面向量a與b的夾角為45，a＝(1,1)，|b|＝2，則|3a＋b|等于(　　) A．13＋6 B．2 C. D. 解析：依題意得a2＝2，ab＝2cos45＝2，|3a＋b|＝＝＝＝，選D. 答案：D 7．[2019石家莊高中模擬考試]已知B是以線段AC為直徑的圓上的一點(異于點A，C)，其中|AB|＝2，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：連接BC，∵AC為直徑，∴∠ABC＝90，∴AB⊥BC，在上的投影||cos〈，〉＝||＝2，∴＝||||cos〈，〉＝4.故選D. 答案：D 8．[2019武漢市高中調(diào)研測試]已知平面向量a，b，e滿足|e|＝1，ae＝1，be＝－2，|a＋b|＝2，則ab的最大值為(　　) A．－1 B．－2 C．－ D．－ 解析：不妨設(shè)e＝(1,0)，則a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，則a＋b＝(－1，m＋n)，所以|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，當且僅當m＝n時等號成立，所以mn≤，所以ab＝－2＋mn≤－，綜上可得ab的最大值為－.故選D. 答案：D 9．[2019呼倫貝爾模擬]O是平面上一定點，A，B，C是該平面上不共線的三個點，一動點P滿足：＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則直線AP一定通過△ABC的(　　) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 解析： 如圖，取BC中點D.因為＝＋λ(＋)，－＝λ(＋)，即＝2λ， 所以A，P，D三點共線， 所以AP一定通過△ABC的重心． 答案：C 10．[2018天津卷]如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120，AB＝AD＝1.若點E為邊CD上的動點，則的最小值為(　　) A. B. C. D．3 解析：本題主要考查數(shù)量積的綜合應用． 解法一　 如圖，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，∴＝(－1，t)＝t2－t＋， ∵t∈[0，]， ∴當t＝＝時，取得最小值，()min＝－＋＝.故選A. 解法二　令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝， ∵＝＋λ， ∴＝＋＝＋＋λ， ∴＝(＋λ)(＋＋λ) ＝＋||2＋λ＋λ2||2 ＝3λ2－λ＋. 當λ＝＝時，取得最小值.故選A. 答案：A 二、填空題 11．[2019廣東五校高三第一次考試]已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影為3，則向量a與b的夾角為________． 解析：因為ab＝3＋m，|a|＝＝2，|b|＝，由|b|cos〈a，b〉＝3可得|b|＝3，故＝3，解得m＝，故|b|＝＝2，故cos〈a，b〉＝＝，故〈a，b〉＝，即向量a與b的夾角為. 答案： 12．已知e1，e2 是平面單位向量，且e1e2＝.若平面向量b滿足be1＝be2＝1，則|b|＝________. 解析：∵e1e2＝， ∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60. 又∵be1＝be2＝1>0， ∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30. 由be1＝1，得|b||e1|cos30＝1， ∴|b|＝＝. 答案： 13．已知平面向量a，b，c不共線，且兩兩所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，則|a＋b＋c|＝________. 解析：∵平面向量a，b，c不共線，且兩兩所成的角相等， ∴它們兩兩所成的角為120. ∵|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cos120＋2|b||c|cos120＋2|a||c|cos120＝22＋22＋12＋222＋221＋221＝1，∴|a＋b＋c|＝1. 答案：1 14．[2018上海卷]在平面直角坐標系中，已知點A(－1,0)、B(2,0)，E、F是y軸上的兩個動點，且||＝2，則的最小值為________． 解析：本題主要考查數(shù)量積的運算以及二次函數(shù)的最值問題．設(shè)E(0，m)，F(xiàn)(0，n)， 又A(－1,0)，B(2,0)， ∴＝(1，m)，＝(－2，n)． ∴＝－2＋mn， 又知||＝2，∴|m－n|＝2. ①當m＝n＋2時，＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3. ∴當n＝－1，即E的坐標為(0,1)，F(xiàn)的坐標為(0，－1)時，取得最小值－3. ②當m＝n－2時，＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3. ∴當n＝1，即E的坐標為(0，－1)，F(xiàn)為坐標為(0,1)時，取得最小值－3. 綜上可知，的最小值為－3. 答案：－3 [能力挑戰(zhàn)] 15．[2018浙江卷]已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4eb＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　) A.－1 B.＋1 C．2 D．2－ 解析：本小題考查平面向量的數(shù)量積、坐標運算、向量模的最值和點到直線的距離． 設(shè)＝a，＝b，＝e，以O(shè)為原點，的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，則E(1,0)．不妨設(shè)A點在第一象限，∵a與e的夾角為，∴點A在從原點出發(fā)，傾斜角為，且在第一象限內(nèi)的射線上．設(shè)B(x，y)，由b2－4eb＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即點B在圓(x－2)2＋y2＝1上運動．而＝a－b，∴|a－b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值，即為圓心(2,0)到射線y＝x(x≥0)的距離減去圓的半徑，所以|a－b|min＝－1.選A. 一題多解　將b2－4eb＋3＝0轉(zhuǎn)化為b2－4eb＋3e2＝0， 即(b－e)(b－3e)＝0，∴(b－e)⊥(b－3e)． 設(shè)＝e，＝a，＝b，＝3e，＝2e，則⊥， ∴點B在以M為圓心，1為半徑的圓上運動，如圖． ∵|a－b|＝||，∴|a－b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值，即為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑． ∵||＝2，∠AOM＝， ∴|a－b|min＝2sin－1＝－1. 答案：A 16．定義平面向量的一種運算a⊙b＝|a＋b||a－b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a與b的夾角，給出下列命題： ①若〈a，b〉＝90，則a⊙b＝a2＋b2； ②若|a|＝|b|，則(a＋b)⊙(a－b)＝4ab； ③若|a|＝|b|，則a⊙b≤2|a|2； ④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，則(a＋b)⊙b＝. 其中真命題的序號是________． 解析：①中，因為〈a，b〉＝90，則a⊙b＝|a＋b||a－b|＝a2＋b2，所以①成立； ②中，因為|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a||2b|＝4|a||b|，所以②不成立； ③中，因為|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b||a－b|sin〈a，b〉≤|a＋b||a－b|≤＝2|a|2，所以③成立； ④中，因為a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a＋b)，b〉＝，所以(a＋b)⊙b＝3＝，所以④不成立． 答案：①③ 17．如圖，設(shè)α∈(0，π)，且α≠.當∠xOy＝α時，定義平面坐標系xOy為α－仿射坐標系，在α－仿射坐標系中，任意一點P的斜坐標這樣定義：e1，e2分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，若＝xe1＋ye2，則記為＝(x，y)，那么在以下的結(jié)論中，正確的是______．(填序號) ①設(shè)a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a＝b，則m＝s，n＝t； ②設(shè)a＝(m，n)，則|a|＝； ③設(shè)a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a∥b，則mt－ns＝0； ④設(shè)a＝(m，n)，b＝(s，t)，若a⊥b，則ms＋nt＝0； ⑤設(shè)a＝(1,2)，b＝(2,1)，若a與b的夾角為，則α＝. 解析：顯然①正確； |a|＝|me1＋ne2|＝， 因為α≠，所以②錯誤； 由a∥b，得b＝λa(λ∈R)，所以s＝λm，t＝λn， 所以mt－ns＝0，故③正確； 因為ab＝(me1＋ne2)(se1＋te2)＝ms＋nt＋(mt＋ns)cosα≠ms＋nt，所以④錯誤； 根據(jù)夾角公式ab＝|a||b|cos〈a，b〉， 又|a|＝|b|＝，ab＝4＋5e1e2， 所以4＋5e1e2＝(5＋4e1e2)cos， 故e1e2＝－， 即cosα＝－，所以α＝，⑤正確． 答案：①③⑤