2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理學(xué)案 新人教B版必修5.doc

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1.1.2余弦定理1.掌握余弦定理及其推論.(重點(diǎn))2.掌握正、余弦定理的綜合應(yīng)用.(難點(diǎn))3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀.(易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1余弦定理閱讀教材P6中間1.1.2余弦定理P7第15行，完成下列問題.1.三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.2.應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.(1)已知三邊，求三角.(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.1.以下說法正確的有_.(填序號(hào))在三角形中，已知兩邊及一邊的對(duì)角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適應(yīng)于任何三角形；利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題；在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例.【解析】錯(cuò)誤.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對(duì)角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解.正確.余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形.正確.結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識(shí)可知正確.正確.余弦定理可以看作勾股定理的推廣.【答案】2.在ABC中，已知a4，b6，C120，則邊c_.【解析】根據(jù)余弦定理c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c2.【答案】2教材整理2余弦定理的變形閱讀教材P7例1上面倒數(shù)第三自然段P8，完成下列問題.1.余弦定理的變形：cos A；cos B；cos C.2.利用余弦定理的變形判定角：在ABC中，c2a2b2C為直角；c2a2b2C為鈍角；c2a2b2C為銳角.1.在ABC中，a1，b，c2，則B_.【解析】cos B，B60.【答案】602.在ABC中，若a2b2bcc2，則A_.【解析】a2b2bcc2，b2c2a2bc，cos A，又0A180，A120.【答案】120小組合作型已知兩邊及一角解三角形在ABC中，已知b3，c3，角B30，求角A，角C和邊a.【精彩點(diǎn)撥】解答本題可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角.也可以由余弦定理列出關(guān)于邊長(zhǎng)a的方程，首先求出邊長(zhǎng)a，再由正弦定理求角A，角C.【自主解答】法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.當(dāng)a3時(shí)，A30，C120.當(dāng)a6時(shí)，由正弦定理sin A1.A90，C60.法二：由bcsin 303知本題有兩解.由正弦定理sin C，C60或120，當(dāng)C60時(shí)，A90，由勾股定理a6，當(dāng)C120時(shí)，A30，ABC為等腰三角形，a3.已知三角形的兩邊與一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對(duì)角，還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對(duì)角，可以應(yīng)用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊(也可以兩次應(yīng)用正弦定理求出第三邊).再練一題1.在ABC中，邊a，b的長(zhǎng)是方程x25x20的兩個(gè)根，C60，求邊c. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082003】【解】由題意：ab5，ab2.由余弦定理得c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523219，c.已知三邊解三角形在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sin C.【精彩點(diǎn)撥】(1)如何判斷哪個(gè)角是最大角？(2)求sin C能否應(yīng)用余弦定理？【自主解答】acb，A為最大角，由余弦定理的推論，得：cos A，A120，sin Asin 120.由正弦定理，得：sin C，最大角A為120，sin C.1.本題已知的是三條邊，根據(jù)大邊對(duì)大角，找到最大角是解題的關(guān)鍵.2.已知三邊解三角形的方法：先用余弦定理求出一個(gè)角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的內(nèi)角和定理求第三角.再練一題2.在ABC中，a2c2b2ab，求角C.【解】c2a2b22abcos C，a2c2b22abcos C.ab2abcos C.cos C，C60.探究共研型正、余弦定理的綜合應(yīng)用探究1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2b2c2，則sin2Asin2Bsin2C成立嗎？反之說法正確嗎？為什么？【提示】設(shè)ABC的外接圓半徑為R.由正弦定理的變形，將a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入a2b2c2可得sin2Asin2Bsin2C.反之將sin A，sin B，sin C代入sin2Asin2Bsin2C可得a2b2c2.因此，這兩種說法均正確.探究2在ABC中，若c2a2b2，則C成立嗎？反之若C，則c2a2b2成立嗎？為什么？【提示】因?yàn)閏2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的變形cos C0，即cos C0，所以C，反之若C，則cos C0，即0，所以a2b2c20，即c2a2b2.在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判斷ABC的形狀.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】法一：(accos B)sin B(bccos A)sin A，由正、余弦定理可得：ba，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC為直角三角形或等腰三角形.法二：根據(jù)正弦定理，原等式可化為：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，即sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.sin C0，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A.2B2A或2B2A，即AB或AB.故ABC是等腰三角形或直角三角形.1.判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀.2.在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.再練一題3.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082004】(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng).【解】(1)由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，(其中R為ABC外接圓半徑)所以，所以sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B，sin Acos Bsin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos B，所以sin(AB)2sin(BC).又ABC，所以sin C2sin A，所以2.(2)由(1)知2，由正弦定理得2，即c2a.又因?yàn)锳BC的周長(zhǎng)為5，所以b53a.由余弦定理得b2a2c22accos B，即(53a)2a2(2a)24a2，解得a1，a5(舍去)，所以b5312.1.已知a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，若滿足等式(abc)(abc)ab，則角C的大小為()A.60 B.90 C.120 D.150【解析】由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22abcos C，cos C，C120.【答案】C2.在ABC中，a7，b4，c，則ABC的最小角為()A. B. C. D.【解析】由三角形邊角關(guān)系可知，角C為ABC的最小角，則cos C，所以C，故選B.【答案】B3. 在ABC中，若a2bcos C，則ABC的形狀為_.【解析】法一：a2bcos C2b.a2a2b2c2，即b2c2，bc，ABC為等腰三角形.法二：a2bcos C，sin A2sin Bcos C，而sinAsin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Bsin Csin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0.又180BC180，BC0，即BC.ABC為等腰三角形.【答案】等腰三角形4.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知BC,2ba，則cos A_.【解析】由BC,2ba，可得bca，所以cos A.【答案】5.在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三邊c的長(zhǎng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082005】【解】5x27x60可化為(5x3)(x2)0.x1，x22(舍去).cos C.根據(jù)余弦定理，c2a2b22abcos C523225316.c4，即第三邊長(zhǎng)為4.