《特征值與特征向量的概念》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《特征值與特征向量的概念(38頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第四章,特征值和特征向量、,矩陣的相似對(duì)角化,第一節(jié) 特征值與特征向量,一 特征值與特征向量的概念,二 特征值和特征向量的求法,第一節(jié) 特征值與特征向量,三 特征值和特征向量的性質(zhì),一、特征值與特征向量的概念,定義,為階方陣,,為數(shù),,為維非零向量,,若,則,稱為,的,特征值,,,稱為,的,特征向量,(),注,并不一定唯一;,階方陣,的特征值,就是使齊次線性方程組,特征向量,特征值問題只針對(duì)與方陣;,有非零解的,值,即滿足,的,都是,方陣,的特征值,定義,稱以,為未知數(shù)的一元次方程,為,的,特征方程,定義,
2、稱以,為變量的一元次多項(xiàng)式,為,的,特征多項(xiàng)式,定理,設(shè)階方陣的特征值為,則,證明,當(dāng)是,的特征值時(shí),,的特征多項(xiàng),式可分解為,令,得,即,證明,因?yàn)樾辛惺?它的展開式中,主對(duì)角線上元素的乘積,是其中的一項(xiàng),由行列式的定義,展開式中的其它項(xiàng)至,多含個(gè)主對(duì)角線上的元素,,含的項(xiàng)只能在主對(duì)角線上元素的乘積項(xiàng)中,故有,比較,有,因此,特征多項(xiàng)式中,定義,方陣,的主對(duì)角線上的元素之和稱為方陣,的,跡,.,記為,二、特征值和特征向量的性質(zhì),推論,階方陣,可逆,的個(gè)特征值全不為零.,若數(shù),為可逆陣的,的特征值,,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論
3、,特別,單位陣,的一個(gè),特征值為,三、應(yīng)用舉例,、若,為可逆陣,的特征值,則,的一個(gè)特征值為(),、證階方陣,的滿足,則,的特征值為,或,、三階方陣,的三個(gè)特征值為、,則,(),、求下列方陣的特征值與特征向量,四、特征向量的性質(zhì),定理,互不相等的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。,定理,互不相等的特征值對(duì)應(yīng)的各自線性無關(guān)的特征,向量并在一塊,所得的向量組仍然,線性無關(guān)。,定理,若階矩陣,的任重,特征值,對(duì)應(yīng)的線性無,關(guān)的特征,向量,的個(gè)數(shù)不超過,一 相似矩陣的定義、性質(zhì),二 矩陣可相似對(duì)角化的條件,三 應(yīng)用舉例,第二節(jié) 矩陣相似對(duì)角化,一、定義,定義,設(shè),、,都是階矩陣,若有可逆矩陣,,,使得,
4、則稱,是,的,相似矩陣,,或者說矩陣,與,相似,稱為對(duì),進(jìn)行,相似變換,,,對(duì),進(jìn)行運(yùn)算,可逆矩陣,稱為把,變成,的,相似變換矩陣,記作:,二、性質(zhì),(1)反身性:,(2)對(duì)稱性:,(3)傳遞性:,;,,則,;,,,,則,;,(4),,則,(5),,則,(6),,且,可逆,則,定理,若階矩陣,與,相似,則,與,有相同的特征,多項(xiàng)式,從而,與,有相同的特征值,推論,若階矩陣,與對(duì)角矩陣,相似,,就是,的個(gè)特征值,則,而對(duì)對(duì)角陣,有,則,若有可逆,矩陣,使,(8),,則,的多項(xiàng)式,特別,這樣可以方便地計(jì)算,的多項(xiàng)式,(7),,則,若能尋得相似變換矩陣,使,對(duì)階方陣,,,稱之為,把方陣,對(duì)角化,三、
5、相似對(duì)角化,定理的推論說明,,如果階矩陣,與對(duì)角矩陣,相,似,,那么,使得,的矩陣,又是怎樣構(gòu)成的呢?,則,的主對(duì)角線上的元素就是,的全部特征值,設(shè)存在,可逆,,使得,有,于是有,因?yàn)?可逆,,故,于是,是,的個(gè)線性,無,關(guān)的特征向量。,反之,,即,設(shè),可逆,且,則,若,有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,所以,即,與對(duì)角矩陣,相似,定理,階矩陣,能與對(duì)角矩陣,相似,有階線性無關(guān)的特征向量,推論,如果階矩陣,有個(gè)不同的特征值,則矩陣,注意,中的列向量,的排列順序要與,的順序一致,(1),可相似對(duì)角化,(2),是,的基礎(chǔ)解系中的解向量,,因,的取法不是唯一的,,故,因此,也是不唯一的,(3),所以如果不計(jì),
6、的排列順序,,的根只有個(gè)(重根按重?cái)?shù)計(jì)算),又,是唯一的,則,推論,若階矩陣,可相似對(duì)角化,的任重,特征值,對(duì)應(yīng)個(gè)線性無關(guān)的特征,向量,例題:,3.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,1.n元實(shí)向量的內(nèi)積、施密特正交化方法、正交矩陣,2.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,一、,內(nèi)積的定義與性質(zhì),1、定義,設(shè)維實(shí)向量,稱實(shí)數(shù),為向量,與,的,內(nèi)積,,記作,注:,內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算,用矩陣形式表示,有,、性質(zhì),(1)對(duì)稱性:,(2)線性性:,(3)正定性:,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),推廣性質(zhì):,、長(zhǎng)度的概念,二、向量的長(zhǎng)度與夾角,令,為維向量,的,長(zhǎng)度,(,模,或,范數(shù),).,特別,長(zhǎng)度
7、為的向量稱為,單位向量,.,(1)正定性:,(2)齊次性:,(3)三角不等式:,、性質(zhì),(4)柯西施瓦茲(,CauchySchwarz,)不等式:,當(dāng)且僅當(dāng),與,的線性相關(guān)時(shí),等號(hào)成立.,注,當(dāng),時(shí),,由非零向量,得到單位向量,是,的單位向量.,稱為把,單位化,或,標(biāo)準(zhǔn)化,.,的過程,、夾角,設(shè),與,為維空間的兩個(gè)非零向量,,與,的夾,角的余弦為,因此,與,的,夾角,為,例,解,練習(xí),三、正交向量組及其求法,1、正交,當(dāng),,稱,與,正交,.,注,若,則,與任何向量都正交.,對(duì)于非零向量,與,,,2、正交組,若向量組中的向量?jī)蓛烧?,且均為非零向量,則,這個(gè)向量組稱為,正交向量組,,簡(jiǎn)稱,正交組
8、,.,3、標(biāo)準(zhǔn)正交組,由單位向量組成的正交組稱為,標(biāo)準(zhǔn)正交組,.,定理,4、性質(zhì),正交向量組必為線性無關(guān)組.,定理,若向量,與,與,中每個(gè)向量都正交,,則,的任一線性組合也正交.,5、正交基,若,正交向量組,則稱,為向量空間,上的一個(gè),正交基,.,為向量空間,上的一個(gè)基,,6、標(biāo)準(zhǔn)正交基,若標(biāo)準(zhǔn),正交組,則稱,為向量空間,上的一個(gè),標(biāo)準(zhǔn)正交基,.,為向量空間,上的一個(gè)基,,7、施密特(,Schmidt,)正交化法,設(shè),是向量空間,的一個(gè)基,要求向量空,間,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,就是,要找到一組兩兩正交的單,位向量,,使,與,等價(jià),,此問題稱為把,這組基,標(biāo)準(zhǔn)正交化,.,1)正交化,令,就得到,的一
9、個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,如果,上述方法稱為施密特,(,Schmidt,),正交化法.,2)標(biāo)準(zhǔn)化,令,是,的一組基,則,就是,注,則,兩兩正交,且與,等價(jià).,上述,方法中的兩個(gè)向量組對(duì)任意的,與,都是等價(jià)的.,四、應(yīng)用舉例,例1,證明:中,勾股定理,成立,的充要條件是正交.,解,所以,成立的充要條件是,即正交.,已知三維向量空間中,,例2,正交,,試求,是三維向量空間的一個(gè)正交基.,解,設(shè),則,即,例4,已知向量,求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),正交基.,解,設(shè)非零向量 都于正交,,即滿足方程,或,其基礎(chǔ)解系為,令,1)正交化,令,2)標(biāo)準(zhǔn)化,令,五、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果階矩陣滿足
10、:,則稱,為,正交矩陣,.,則,可表示為,若,按列分塊表示為,亦即,其中,的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.,正交矩陣,的個(gè)列(行)向量構(gòu)成向量空間,2、正交矩陣的充要條件,的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.,注,3、正交變換,若,為正交矩陣,則,=,線性變換稱為,正交變換,.,設(shè),=,為,正交變換,,則有,經(jīng),正交變換后向量的長(zhǎng)度保持不變,內(nèi)積保持不變,注,從而,夾角保持不變,.,判斷下列矩陣是否為正交矩陣.,定理,對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).,說明:本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣,除非特別說明,均指實(shí)對(duì)稱矩陣,定理,對(duì)稱矩陣的互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交.,定理,若階對(duì)稱陣,的任重,特征值對(duì)應(yīng)的線性,無關(guān)的特征,向量恰有個(gè)(不證),定理,若為階對(duì)稱陣,則必有正交矩陣,,使得,六、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),根據(jù)上述結(jié)論,利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化,為對(duì)角矩陣,其具體步驟為:,將特征向量正交化;,3.,將特征向量單位化.,4.,2.,1.,二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法,例,設(shè)矩陣,求一個(gè)正交矩陣P,使得,為對(duì)角陣。,例,設(shè)三階對(duì)稱矩陣A的特征值為1,2,3;矩陣A的屬于,特征值1,2的特征向量分別為,(1),A的屬于特征值3的特征向量,。,(2),求矩陣A,。,