2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題28 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用檢測(cè) 理.doc

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專(zhuān)題28 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 本專(zhuān)題特別注意： 1.平面向量數(shù)量積的模夾角公式的應(yīng)用 2. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式應(yīng)用問(wèn)題 3. 向量垂直的應(yīng)用 4.向量的數(shù)量積問(wèn)題等綜合問(wèn)題 5. 向量夾角為銳角、鈍角時(shí)注意問(wèn)題 6.向量數(shù)量積在解析幾何中應(yīng)用 7.向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用。 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角及判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 5．會(huì)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題及力學(xué)問(wèn)題． 【方法總結(jié)】 1.要準(zhǔn)確理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個(gè)重要性質(zhì)及三個(gè)運(yùn)算規(guī)律.向量的數(shù)量積的運(yùn)算不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，數(shù)量積不滿足結(jié)合律：(ab)c≠a(bc)；消去律：ab＝ac b＝c；ab＝0 a＝0或b＝0，但滿足交換律和分配律. 2.公式ab＝|a||b|cos θ；ab＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活綜合運(yùn)用. 3.通過(guò)向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩直線是否垂直. 4.a∥b?x1y2－x2y1＝0與a⊥b?x1x2＋y1y2＝0要區(qū)分清楚. 【高考模擬】： 一、單選題 1．已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4eb+3=0，則|a?b|的最小值是 A. ?1 B. +1 C. 2 D. 2? 【答案】A 【解析】分析:先確定向量所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值. 點(diǎn)睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法. 2．在如圖的平面圖形中，已知,則的值為 A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】分析：連結(jié)MN，結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：如圖所示，連結(jié)MN， 由 可知點(diǎn)分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)， 則， 由題意可知： ，， 結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得： . 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用． 3．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，. 若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)得到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，， 點(diǎn)在上，則，設(shè)，則： ，即， 據(jù)此可得：，且： ，， 由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得： ， 整理可得：， 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用． 4．設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】分析：首先根據(jù)題中的條件，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程，涉及到直線與拋物線相交，聯(lián)立方程組，消元化簡(jiǎn)，求得兩點(diǎn)，再利用所給的拋物線的方程，寫(xiě)出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量坐標(biāo)公式，求得，最后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡(jiǎn)求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用韋達(dá)定理得到結(jié)果. 5．已知向量，滿足，，則 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果. 點(diǎn)睛：向量加減乘： 6．已知平面向量，，當(dāng)時(shí)，的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意，在OB上取，在AB上取動(dòng)點(diǎn)C，使，則 ，則即可所求答案. 詳解：如圖，在中，已知，， 在OB上取點(diǎn)D，使得， 在AB上有動(dòng)點(diǎn)C，使（）， 則， . 故選：C. 點(diǎn)睛：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了靈活解決問(wèn)題和處理問(wèn)題的能力. 7．設(shè)平面向量，則與垂直的向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先由平面向量的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算得到，再利用數(shù)量積為0進(jìn)行判定． 點(diǎn)睛：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量垂直的判定等知識(shí)，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計(jì)算能力． 8．已知平面向量，且，則在上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)平面向量垂直的條件（數(shù)量積為0）求出，再利用平面向量的投影的概念進(jìn)行求解． 詳解：因?yàn)?，，且? 所以， 解得， 即， 則在上的投影為 ． 點(diǎn)睛：本題考查平面向量垂直的判定、平面向量數(shù)量積的幾何意義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計(jì)算能力． 9．已知平面向量 ，滿足 ，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由題意首先求得，然后求解向量的模即可. 點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，平面向量模的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 10．向量，對(duì)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：將條件平方可變形為，再由，可得。因?yàn)閷?duì)， 所以對(duì) 恒成立。 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得， 變形得，進(jìn)而得。因?yàn)?，可變形為，進(jìn)而得?？傻谩? 點(diǎn)睛：本題考查平面向量數(shù)量積公式及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。對(duì)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的題型常見(jiàn)解法由兩種：一是對(duì)于未知量不做限制的題型，可以選擇直接運(yùn)用判別式解答；二是未知量在區(qū)間上的題型，一般采取不等式組（開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)）的方法解答。 11．設(shè)，向量， ， 且， 則( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)的垂直關(guān)系，可求出 ；根據(jù)的平行關(guān)系，可求出 ，進(jìn)而求出的值。 詳解：因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所? 所以 ，所以 所以選A 點(diǎn)睛：本題考查了向量平行與垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，主要是熟練正確記憶坐標(biāo)間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題。 12．已知兩個(gè)非零向量與的夾角為銳角，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)向量數(shù)量積可得結(jié)果. 詳解：因?yàn)?，兩個(gè)非零向量與的夾角為銳角，所以, 選A. 點(diǎn)睛：求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義. 13．在平面直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)若向量與在向量方向上的投影相等,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由題意首先確定點(diǎn)的軌跡方程，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得最終結(jié)果. 點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量投影的概念，點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 14．命題若向量，則與的夾角為鈍角；命題若，則.下列命題為真命題的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：命題p：若向量，則與的夾角為鈍角或平角，即可判斷出真假；命題q：若cosα?cosβ=1，則cosα=cosβ=1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．可得sin（α+β）=0．即可判斷出真假． 詳解：命題p：若向量，則與的夾角為鈍角或平角，因此為假命題； 命題q：若cosα?cosβ=1，則cosα=cosβ=1，因此α=2k1π，β=2k2π， 或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．則sin（α+β）=0．為真命題． 下列命題為真命題的是p∨q，其余為假命題． 故答案為：D 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查了向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力與計(jì)算能力.(2) 若向量，則非零向量與非零向量的夾角為鈍角或平角，因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)向量的夾角為平角時(shí)，，不能說(shuō)非零向量與非零向量的夾角為鈍角. 15．已知平面向量,滿足,,與的夾角為,若,則實(shí)數(shù)的值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由，可得（+m）?=0，再利用數(shù)量積的運(yùn)算和定義展開(kāi)即可得出． 點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算和定義、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 16．在直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若向量與在向量方向上的投影相等,且,則=( ) A. 6 B. -6 C. -5 D. 5 【答案】D 【解析】分析：由向量與在向量方向的投影相等，可得，，再利用,可得，兩式聯(lián)立可得結(jié)果. 點(diǎn)睛：本題主要考查向量的投影及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）. 17．設(shè)向量足，，，則與的夾角為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：首先利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，化簡(jiǎn)求得，利用向量夾角余弦公式，求得對(duì)應(yīng)角的余弦值，求得結(jié)果. 詳解：向量滿足，， 可得，所以，可求得， 所以， 因?yàn)橄蛄繆A角的取值范圍是，所以，故選D. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)向量的夾角的大小問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要先求出向量夾角的余弦值，通過(guò)余弦值來(lái)確定角的大小，利用題的條件，求得向量的數(shù)量積，之后應(yīng)用公式求得結(jié)果. 18．已知向量，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解答案. 點(diǎn)睛：點(diǎn)本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示及向量的數(shù)量積的運(yùn)算和夾角的運(yùn)算，其中熟記向量的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力. 19．外接圓的半徑等于1，其圓心滿足，則向量在方向上的投影等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】分析：由△ABC外接圓圓心O滿足，可得點(diǎn)O在BC上．由于．可得△OAC是等邊三角形．可得，進(jìn)而得到向量在方向上的投影=． 詳解：△ABC外接圓半徑等于1，其圓心O滿足， ∴點(diǎn)O在BC上，∴∠BAC=90． ∵ ∴△OAC是等邊三角形． ∴∠ACB=60． ∴=． ∴向量在方向上的投影==． 故答案為：C 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查三角形的外接圓的性質(zhì)，考查向量的投影，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)在方向上的投影為 20．已知平面向量，滿足且，則的最大值為（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由滿足可得，再由，兩邊同時(shí)乘以，可得，則=即可得出答案. 點(diǎn)睛：考查向量的幾何關(guān)系，本題關(guān)鍵在于要理解表示的單位向量，再借助函數(shù)的思維求最值即可，屬于中檔題. 21．已知平面向量的夾角為，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：結(jié)合題意，利用向量的數(shù)量積和向量模的計(jì)算公式，即可求解． 詳解：因?yàn)槠矫嫦蛄康膴A角為，且， 所以， 故選A． 點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的模的計(jì)算，其中解答中涉及到向量的數(shù)量積的運(yùn)算，熟記向量的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力． 22．已知向量，，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析: 先根據(jù)向量夾角公式求解，即得結(jié)果. 點(diǎn)睛：求平面向量夾角方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是幾何方法，從圖形判斷角的大小. 23．已知中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，則的范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件即可求出A， C點(diǎn)的坐標(biāo)，表示，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域即可. 詳解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸、為軸建系，則, ，設(shè), 所以 ， 故選：D. 點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的類(lèi)型及求法 (1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義. (2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn). 24．設(shè)平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A. 是的充分不必要條件 B. 與的夾角為 C. D. 與的夾角為 【答案】D 【解析】分析：由平面向量，且，解得，此時(shí)，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)，得到答案. 點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直的條件，以及向量的模和向量的夾角公式等知識(shí)點(diǎn)，其中熟記向量的基本概念和基本的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力. 25．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且是和的等差中項(xiàng)，，，則周長(zhǎng)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由得B角是鈍角，由等差中項(xiàng)定義得A為60，再根據(jù)正弦定理把周長(zhǎng)用三角函數(shù)表示后可求得范圍． 故選B． 點(diǎn)睛：本題考查解三角形的應(yīng)用，解題時(shí)只要把三角形周長(zhǎng)利用正弦定理用三角函數(shù)表示出來(lái)，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可求得取值范圍．解題易錯(cuò)的是向量的夾角是B角的外角，而不是B角，要特別注意向量夾角的定義． 26．已知變量，滿足條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析： 畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為向量與的夾角的余弦值，結(jié)合可行域可得結(jié)果. 詳解： 作出表示的可行域，如圖 變形目標(biāo)函數(shù)， ， 其中為向量與的夾角， 由圖可知，時(shí)有最小值， 在直線上時(shí)，有最大值， 即，， 目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移或旋轉(zhuǎn)變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值. 27．已知向量與為單位向量，若也是單位向量，則向量與的夾角為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：把的長(zhǎng)度為1用數(shù)量積表示，再結(jié)合向量的夾角公式可得. 點(diǎn)睛：本題考查平面向量數(shù)量積的定義，掌握相應(yīng)的公式是解題基礎(chǔ). 向量數(shù)量積的定義：；性質(zhì):，. 28．已知向量，滿足，，，則向量在方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先求和的夾角，再求向量在方向上的投影. 詳解:因?yàn)椋? 所以 所以 所以向量在方向上的投影=故答案為：A 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查向量的數(shù)量積和向量的投影，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力. (2)在方向上的投影= 29．中，，，，是邊上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先利用三點(diǎn)共線和平面向量基本定表示數(shù)量積，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解. 點(diǎn)睛：本題考查平面向量基本定理、平面向量的數(shù)量積等知識(shí)，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計(jì)算能力. 30．等邊的邊長(zhǎng)為1，是邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先為基底，把用基底表示后再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算. 點(diǎn)睛：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把其它向量都用基底表示，然后進(jìn)行計(jì)算即可，因此也考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題. 31．已知兩個(gè)向量和的夾角為，，則向量在方向上的正射影的數(shù)量為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析: 根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算，結(jié)合向量投影的定義進(jìn)行求解即可． 詳解: ∵兩個(gè)向量和的夾角為，， ∴， ∴向量在向量方向上的正射影為= 故選：D 點(diǎn)睛: 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量投影的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題. 32．已知向量、、為平面向量，，且使得與所成夾角為.則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：首先由坐標(biāo)結(jié)合幾何意義確定向量對(duì)應(yīng)的軌跡，然后利用圓的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 點(diǎn)睛：本題的核心是考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用． 33．向量，，滿足：，，，則最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先利用平面向量的數(shù)量積公式得到的夾角和的夾角，再利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解． 圖1 圖2 點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用平面向量的數(shù)量積定義判定的夾角和的夾角互補(bǔ)且為二倍關(guān)系，所以借助圓周角和圓心角的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判定，再利用圓的直徑是最長(zhǎng)的弦進(jìn)行求解． 34．已知向量，，，若滿足，，則向量的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)向量平行可得，根據(jù)向量垂直可得，解方程組即可得結(jié)果. 詳解：， ， ，解得，故選D. 點(diǎn)睛：利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答. 35．設(shè)，，.若，則實(shí)數(shù)的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先求出，再根據(jù)求出實(shí)數(shù)k的值. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查平面向量的運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力. (2) 設(shè)=,=，則|| （斜乘相減等于零）. 36．已知平面向量與的夾角為，若，，則（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)題設(shè)條件，平方化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的方程，即可求解結(jié)果. 詳解：由題意，且向量與的夾角為， 由，則， 整理得，解得，故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的運(yùn)算問(wèn)題，其中熟記平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及向量的模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力. 37．已知向量，滿足，，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)向量的模求向量，數(shù)量積，再根據(jù)向量模的性質(zhì)求. 點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量的模求法：（1）（2）. 38．已知中，，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意，，可得點(diǎn)為的重心，所以，利用向量的運(yùn)算，即可求解. 詳解：由題意，，可得點(diǎn)為的重心， 所以， 所以， 所以，故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算及向量的模的運(yùn)算，其中根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，得到點(diǎn)為的重心是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，試題屬于基礎(chǔ)題. 39．已知向量，則的夾角為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由向量的夾角公式，即可求解向量的夾角. 詳解：由題意，向量， 所以且，所以，故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查了平面向量的夾角公式的應(yīng)用，其中熟記向量的夾角公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，試題屬于基礎(chǔ)題. 40．記 M 的最大值和最小值分別為 Mmax 和 Mmin． 若平面向量 a， b， c 滿足| a |＝| b |＝a?b＝c?(a＋2b－2c)＝2． 則（ ） A. |a－c|max＝ B. |a＋c|max＝ C. |a－c|min＝√ D. |a＋c|min＝ 【答案】A 【解析】分析：由條件可設(shè)，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得C在以圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向量模長(zhǎng)的幾何意義以及圓的性質(zhì)，運(yùn)用最大值為，計(jì)算可得所求． 點(diǎn)睛：此題主要考查平面向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，以及坐標(biāo)法、圓的方程的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中高檔題型，也是常考考點(diǎn).在解決此類(lèi)問(wèn)題中，需要根據(jù)條件，建立合理的平面直角坐標(biāo)系，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)位置關(guān)系，通對(duì)坐標(biāo)運(yùn)算，將其結(jié)果翻譯為向量結(jié)論，從而問(wèn)題可得解. 二、填空題 41．在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【答案】3 【解析】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結(jié)果. 詳解：設(shè)，則由圓心為中點(diǎn)得易得，與聯(lián)立解得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)所以.所以， 由得或， 因?yàn)?，所? 點(diǎn)睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法. 42．設(shè)向量a=（1,0），b=（?1,m）,若，則m=_________. 【答案】 【解析】分析：根據(jù)坐標(biāo)表示出，再根據(jù)，得坐標(biāo)關(guān)系，解方程即可. 點(diǎn)睛：此題考查向量的運(yùn)算，在解決向量基礎(chǔ)題時(shí)，常常用到以下：設(shè)，則①；②. 43．已知向量，，，若向量與共線，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)_________． 【答案】. 【解析】試題分析：根據(jù)向量共線求出λ，計(jì)算，代入投影公式即可． 詳解： 向量=（1，λ），=（3，1）， 向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1）， ∵向量2﹣與=（1，2）共線， ∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，）， ∴向量在向量方向上的投影為||?cos＜，＞= 故答案為：0． 點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是向量基本定理的應(yīng)用；向量的點(diǎn)積運(yùn)算。解決向量的小題常用方法有：數(shù)形結(jié)合，向量的三角形法則，平行四邊形法則等；建系將向量坐標(biāo)化；向量基底化，選基底時(shí)一般選擇已知大小和方向的向量為基底。 44．已知點(diǎn)為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_________． 【答案】2. 【解析】分析：題設(shè)的都是動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)，，從而 可表示關(guān)于的函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可． 點(diǎn)睛：向量的數(shù)量積的計(jì)算，有四種途徑：（1）利用定義求解，此時(shí)需要知道向量的模和向量的夾角；（2）利用坐標(biāo)來(lái)求，把數(shù)量積的計(jì)算歸結(jié)坐標(biāo)的運(yùn)算，必要時(shí)需建立直角坐標(biāo)系；（3）利用基底向量來(lái)計(jì)算，也就是用基底向量來(lái)表示未知的向量，從而未知向量數(shù)量積的計(jì)算可歸結(jié)為基底向量的數(shù)量積的計(jì)算；（4）靠邊靠角，也就是利用向量的線性運(yùn)算，把未知向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化到題設(shè)中的角或邊對(duì)應(yīng)的向量． 45．平行四邊形中，，是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為_(kāi)_________． 【答案】2. 【解析】分析：根據(jù)，利用，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出的最大值. 詳解：因?yàn)椋? 所以 ， 又，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，故答案是2. 點(diǎn)睛：該題考查的是求式子的最值的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量數(shù)量積的定義式，利用基本不等式求最值，在解題的過(guò)程中，注意式子的正確使用. 46．已知平面向量，的夾角為，且，，則__________． 【答案】 【解析】分析：把平方即可. 點(diǎn)睛：求向量的模的方法 （1）公式法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算． （2）幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 47．已知，設(shè)與的夾角為，則等于__________． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及向量夾角公式進(jìn)行求解即可. 點(diǎn)睛：本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，先求出的值，利用夾角公式求解即可. （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）. 48．已知向量，，，若，則的夾角大小為_(kāi)_________. 【答案】120 【解析】分析：先設(shè)與的夾角為，根據(jù)題意，易得，將其代入中易得，進(jìn)而由數(shù)量積的運(yùn)算，可得的值，從而可得答案. 解析：設(shè)與的夾角為， ，則， ， . ， 。 . 故答案為：. 點(diǎn)睛：要注意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系．在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，就會(huì)達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的． 49．在中，三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，， 為以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則__________． 【答案】3 【解析】分析：利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出． 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力.(2)本題是一道易錯(cuò)題，容易填t=3，解答出雙答案后，一定要注意檢驗(yàn)，看是否與已知的每一個(gè)條件都相符. 50．已知向量，若，則__________． 【答案】 【解析】分析：利用向量共線定理即可得出． 詳解：， ∵，∴1-2（1+m）=0，解得m=﹣． 則. 故答案為： 點(diǎn)睛：（1）本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力.(2) 如果=,=，則||的充要條件是.