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課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十七) 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用
(時(shí)間45分鐘)
題型對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間20分鐘)
題組一 求線性回歸方程
1．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為＝x＋.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，
a′ D.，a′＝－2<.
[答案] C
2．對(duì)變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖(2)，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷( )
A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)
B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
[解析] 夾在帶狀區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，總體呈上升趨勢的屬于正相關(guān)，總體呈下降趨勢的屬于負(fù)相關(guān)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，故選C.
[答案] C
3．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
單價(jià)x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
銷量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回歸直線方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)
[解] (1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋208.5＝250，從而回歸直線方程為＝－20x＋250.
(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361.25.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值．
故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤．
題組二 線性回歸分析
4．對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是( )
[解析] 用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．
[答案] A
5．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均錯(cuò)
[解析] 因?yàn)镽2＝1－，所以當(dāng)R2越大時(shí)，(yi－i)2越小，即殘差平方和越?。?
[答案] B
6．通過下面的殘差圖，我們發(fā)現(xiàn)在采集樣本點(diǎn)的過程中，樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確的為( )
A．第四個(gè) B．第五個(gè) C．第六個(gè) D．第七個(gè)
[解析] 由題圖可知第六個(gè)數(shù)據(jù)的偏差最大，故選C.
[答案] C
7．在一段時(shí)間內(nèi)，某淘寶網(wǎng)店一種商品的銷售價(jià)格x元和日銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：
價(jià)格x元
22
20
18
16
14
日銷售量y件
37
41
43
50
56
求出y關(guān)于x的回歸方程，并說明該方程擬合效果的好壞．
參考數(shù)據(jù)：xiyi＝3992，x＝1660.
[解] 作出散點(diǎn)圖(此處略)，觀察散點(diǎn)圖，可知這些點(diǎn)散布在一條直線的附近，故可用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．
因?yàn)椋剑?8，
＝＝45.4.
所以＝＝－2.35，
＝45.4－(－2.35)18＝87.7.
所以回歸方程為＝－2.35x＋87.7.
yi－i與yi－的值如下表：
yi－i
1
0.3
－2.4
－0.1
1.2
yi－
－8.4
－4.4
－2.4
4.6
10.6
計(jì)算得(yi－i)2＝8.3，
(yi－)2＝229.2，
所以R2＝1－≈0.964.
因?yàn)?.964很接近于1，所以該模型的擬合效果比較好．
題組三 非線性回歸分析
8．若一函數(shù)模型為y＝sin2α＋2sinα＋1，為將y轉(zhuǎn)化為t的回歸直線方程，則需做變換t＝( )
A．sin2α B．(sinα＋1)2
C.2 D．以上都不對(duì)
[解析] 因?yàn)閥是關(guān)于t的回歸直線方程，實(shí)際上就是y是關(guān)于t的一次函數(shù)，又因?yàn)閥＝(sinα＋1)2，若令t＝(sinα＋1)2，則可得y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝t，此時(shí)變量y與變量t是線性相關(guān)關(guān)系．故選B.
[答案] B
9．在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)可知：形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度x由公式y(tǒng)＝Ae (b<0)表示．現(xiàn)測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
xi
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
試求y對(duì)x的回歸方程．
[解] 由題意知，對(duì)于給定的公式y(tǒng)＝Ae(b<0)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lny＝lnA＋，與線性回歸方程相對(duì)照可以看出，只要取u＝，v＝lny，a＝lnA，就有v＝a＋bu.
這是v對(duì)u的線性回歸直線方程，對(duì)此我們?cè)偬子孟嚓P(guān)性檢驗(yàn)，求回歸系數(shù)b和a.題目中所給的數(shù)據(jù)由變量置換u＝，v＝lny，變?yōu)槿缦卤硭镜臄?shù)據(jù).
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
vi
－2.303
－1.966
0
0.113
－1.470
－0.994
ui
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
0.174
0.223
－0.528
－0.236
0.255
可求得b≈－0.146，a≈0.548，
∴＝0.548－0.146u.
綜合提升練(時(shí)間25分鐘)
一、選擇題
1．如圖所示是四個(gè)殘差圖，其中回歸模型的擬合效果最好的是( )
[解析] 選項(xiàng)A與B中的殘差圖都是水平帶狀分布，并且選項(xiàng)B的殘差圖散點(diǎn)分布集中，在更狹窄的范圍內(nèi)，所以B中回歸模型的擬合效果最好，選B.
[答案] B
2．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
廣告費(fèi)用x(萬元)
4
2
3
5
銷售額y(萬元)
49
26
39
54
根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為( )
A．63.6萬元 B．65.5萬元
C．67.7萬元 D．72.0萬元
[解析] 樣本點(diǎn)的中心是(3.5,42)，則＝－＝42－9.43.5＝9.1，所以回歸直線方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
[答案] B
3．某飲料店的日銷售收入y(單位：百元)與當(dāng)天平均氣溫x(單位：度)之間有下列數(shù)據(jù)：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同學(xué)對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，分別得到了x與y之間的三個(gè)線性回歸方程：①＝－x＋2.8，②＝－x＋3，③＝－1.2x＋2.6；其中正確的是( )
A．① B．② C．③ D．①③
[解析] 回歸方程＝x＋表示的直線必過點(diǎn)(，)，即必過點(diǎn)(0,2.8)，而給出的三個(gè)線性回歸方程中，只有①表示的直線過點(diǎn)(0,2.8)，故正確的是①，故選A.
[答案] A
二、填空題
4．在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了________的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的________，所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多．
[解析] 由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2≈0.85表明氣溫解釋了85%，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的15%.
[答案] 85% 15%
5．某種商品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下關(guān)系：(單位：萬元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，當(dāng)廣告費(fèi)支出5萬元時(shí)，殘差為________．
[解析] 當(dāng)廣告費(fèi)x＝5時(shí)，＝6.55＋17.5＝50，殘差為60－50＝10.
[答案] 10
三、解答題
6．在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為：
價(jià)格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
(1)畫出散點(diǎn)圖；
(2)求出y對(duì)x的線性回歸方程；
(3)如果價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測需求量大約是多少．
[解] (1)散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)采用列表的方法計(jì)算與.
＝9＝1.8，
＝37＝7.4，
＝＝＝－11.5，
＝－ ＝7.4＋11.51.8＝28.1，
所以y對(duì)x的線性回歸方程為＝＋x＝28.1－11.5x.
(3)當(dāng)x＝1.9時(shí)，＝28.1－11.51.9＝6.25(t)，
所以價(jià)格定為1.9萬元時(shí)，需求量大約是6.25 t.
7．已知某種商品的價(jià)格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y對(duì)x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞．
[解]?。?14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
x＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，
y＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
xiyi＝1412＋1610＋187＋205＋223＝620，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.1518＝28.1，
所以所求回歸直線方程是＝－1.15x＋28.1.
列出殘差表：
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回歸模型的擬合效果很好．
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