2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4.doc
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1.1.1 任意角 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合實(shí)際問題，了解角的概念的推廣及其實(shí)際意義.2.掌握象限角的概念(重點(diǎn)).3.掌握終邊相同的角的表示(重、難點(diǎn))． 知識點(diǎn)1 任意角的概念 1．角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形． 2．角的表示 頂點(diǎn)：用O表示； 始邊：用OA表示，用語言可表示為起始位置． 終邊：用OB表示，用語言可表示為終止位置． 3．角的分類 類型 定義 圖示 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角 【預(yù)習(xí)評價】 (正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)經(jīng)過1小時，時針轉(zhuǎn)過30.( ) (2)終邊與始邊重合的角是零角．( ) (3)小于90的角是銳角．( ) 提示 (1)，因?yàn)槭琼槙r針旋轉(zhuǎn)，所以時針轉(zhuǎn)過－30． (2)，終邊與始邊重合的角是k360(k∈Z)． (3)，銳角是指大于0且小于90的角． 知識點(diǎn)2 象限角 如果角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限． 【預(yù)習(xí)評價】 思考 銳角屬于第幾象限角？鈍角又屬于第幾象限角？ 提示 銳角屬于第一象限角，鈍角屬于第二象限角． 知識點(diǎn)3 終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和． 【預(yù)習(xí)評價】 與－457角的終邊相同的角的集合是( ) A．{α|α＝457＋k360，k∈Z} B．{α|α＝97＋k360，k∈Z} C．{α|α＝263＋k360，k∈Z} D．{α|α＝－263＋k360，k∈Z} 解析 由于－457＝－1360－97＝－2360＋263，故與－457角的終邊相同的角的集合是{α|α＝－457＋k360，k∈Z}＝{α|α＝263＋k360，k∈Z}． 答案 C 題型一 與任意角有關(guān)的概念辨析 【例1】 (1)下列說法中，正確的是________(填序號)． ①終邊落在第一象限的角為銳角； ②銳角是第一象限的角； ③第二象限的角為鈍角； ④小于90的角一定為銳角； ⑤角α與－α的終邊關(guān)于x軸對稱． 解析 終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400的角是第一象限的角，但不是銳角，故①的說法是錯誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故③的說法也是錯誤的；小于90的角不一定為銳角，比如負(fù)角，故④的說法是錯誤的． 答案?、冖? (2)如圖，射線OA先繞端點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60到OB處，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)820至OC處，則β＝________． 解析 ∠AOC＝60＋(－820)＝－760， β＝－(760－720)＝－40． 答案?。?0 規(guī)律方法 判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧 (1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念． (2)技巧：判斷一種說法正確需要證明，而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可． 【訓(xùn)練1】 寫出圖(1)，(2)中的角α，β，γ的度數(shù)． 解 題干圖(1)中，α＝360－30＝330； 題干圖(2)中，β＝－360＋60＋150＝－150， γ＝360＋60＋(－β)＝360＋60＋150＝570． 題型二 終邊相同的角的表示及應(yīng)用 【例2】 寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360≤β<720的元素β寫出來． 解 直線y＝x與x軸的夾角是45，在0～360范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個：45，225.因此，終邊在直線y＝x上的角的集合： S＝{β|β＝45＋k360，k∈Z}∪{β|β＝225＋k360，k∈Z} ＝{β|β＝45＋2k180，k∈Z}∪{β|β＝45＋(2k＋1)180，k∈Z}＝{β|β＝45＋n180，n∈Z}． ∴S中適合－360≤β<720的元素是： 45－2180＝－315；45－1180＝－135； 45＋0180＝45；45＋1180＝225； 45＋2180＝405；45＋3180＝585． 規(guī)律方法 解答本題關(guān)鍵是找到0～360范圍內(nèi)，終邊落在直線y＝x的角：45，225，再利用終邊相同的角的關(guān)系寫出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡． 【訓(xùn)練2】 寫出終邊落在x軸上的角的集合S． 解 S＝{α|α＝k360，k∈Z}∪{α|α＝k360＋180，k∈Z} ＝{α|α＝2k180，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)180，k∈Z} ＝{α|α＝n180，n∈Z}. 典例 遷移 題型三 象限角和區(qū)域角的表示 【例3】 (1)－2 017是第________象限角． 解析?。? 017＝－6360＋143，143是第二象限角，所以－2017為第二象限角． 答案 二 (2)已知，如圖所示． ①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合． ②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合． 解?、俳K邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90＋45＋k360，k∈Z}＝{α|α＝135＋k360，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30＋k360，k∈Z}． ②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于－30到135之間的與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為{α|－30＋k360≤α≤135＋k360，k∈Z}． 【遷移1】 若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？ 解 在0～360范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是： 150≤α≤225，則滿足條件的角α為 {α|k360＋150≤α≤k360＋225，k∈Z}． 【遷移2】 若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？ 解 由題干圖可知滿足題意的角的集合為 {β|k360＋60≤β≤k360＋105，k∈Z}∪{k360＋240≤β≤k360＋285，k∈Z} ＝{β|2k180＋60≤β≤2k180＋105，k∈Z}∪{β|(2k＋1)180＋60≤β≤(2k＋1)180＋105，k∈Z} ＝{β|n180＋60≤β≤n180＋105，n∈Z} 即所求的集合為{β|n180＋60≤β≤n180＋105，n∈Z}． 規(guī)律方法 表示區(qū)域角的三個步驟 第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界． 第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360～360范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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