2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣學(xué)案 北師大版必修4.doc
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1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示. 知識(shí)點(diǎn)一 周期現(xiàn)象 思考 “鐘表上的時(shí)針每經(jīng)過12小時(shí)運(yùn)行一周，分針每經(jīng)過1小時(shí)運(yùn)行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運(yùn)行一周.”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的屬性？ 答案 周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn). 梳理 (1)以相同間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象. (2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看每隔一段時(shí)間這種現(xiàn)象是否會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，若出現(xiàn)，則為周期現(xiàn)象；否則，不是周期現(xiàn)象. 知識(shí)點(diǎn)二 角的相關(guān)概念 思考1 將射線OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向？ 答案 有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向. 思考2 如果一個(gè)角的始邊與終邊重合，那么這個(gè)角一定是零角嗎？ 答案 不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角是零角.若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角就不是零角. 梳理 (1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形. (2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類： 類型 定義 圖示 正角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角 知識(shí)點(diǎn)三 象限角 思考 把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置？ 答案 終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi). 梳理 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合. 象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角； 軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角. 知識(shí)點(diǎn)四 終邊相同的角 思考1 假設(shè)60的終邊是OB，那么－660，420的終邊與60的終邊有什么關(guān)系，它們與60分別相差多少？ 答案 它們的終邊相同.－660＝60－2360，420＝60＋360，故它們與60分別相隔了2個(gè)周角和1個(gè)周角. 思考2 如何表示與60終邊相同的角？ 答案 60＋k360(k∈Z). 梳理 終邊相同角的表示 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}， 即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和. 1.終邊與始邊重合的角是零角.( ) 提示 終邊與始邊重合的角是k360(k∈Z). 2.小于90的角是銳角.( ) 提示 銳角是指大于0且小于90的角. 3.鈍角是第二象限角.( √ ) 4.第二象限角是鈍角.( ) 提示 第二象限角不一定是鈍角. 類型一 周期現(xiàn)象的應(yīng)用 例1 水車上裝有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升，假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計(jì)算1小時(shí)內(nèi)最多盛水多少升？ 考點(diǎn) 周期現(xiàn)象 題點(diǎn) 周期現(xiàn)象的應(yīng)用 解 因?yàn)?小時(shí)＝60分鐘＝125分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈， 所以1小時(shí)內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈. 又因?yàn)樗嚿涎b有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升， 所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水1610＝160(升)， 所以水車1小時(shí)內(nèi)最多盛水16012＝1 920(升). 反思與感悟 (1)應(yīng)用周期現(xiàn)象中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”、“化無限為有限”的目的. (2)只要確定好周期現(xiàn)象中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)周期內(nèi)來解決. 跟蹤訓(xùn)練1 利用例1中的水車盛800升的水，至少需要多少時(shí)間？ 考點(diǎn) 周期現(xiàn)象 題點(diǎn) 周期現(xiàn)象的應(yīng)用 解 設(shè)x分鐘后盛水y升，由例1知每轉(zhuǎn)一圈，水車最多盛水1610＝160(升)， 所以y＝160＝32x，為使水車盛800升的水， 則有32x≥800，所以x≥25， 即水車盛800升的水至少需要25分鐘. 類型二 象限角的判定 例2 在0～360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角. (1)－150；(2)650；(3)－95015′. 考點(diǎn) 象限角、軸線角 題點(diǎn) 象限角 解 (1)因?yàn)椋?50＝－360＋210，所以在0～360范圍內(nèi)，與－150角終邊相同的角是210角，它是第三象限角. (2)因?yàn)?50＝360＋290，所以在0～360范圍內(nèi)，與650角終邊相同的角是290角，它是第四象限角. (3)因?yàn)椋?5015′＝－3360＋12945′，所以在0～360范圍內(nèi)，與－95015′角終邊相同的角是12945′角，它是第二象限角. 反思與感悟 判斷象限角的步驟 (1)當(dāng)0≤α<360時(shí)，直接寫出結(jié)果. (2)當(dāng)α<0或α≥360時(shí)，將α化為k360＋β(k∈Z，0≤β<360)，轉(zhuǎn)化為判斷角β所屬的象限. 跟蹤訓(xùn)練2 (1)判斷下列角所在的象限，并指出其在0～360范圍內(nèi)終邊相同的角. ①549；②－60；③－50336′. (2)若α是第二象限角，試確定2α，是第幾象限角. 考點(diǎn) 象限角、軸線角 題點(diǎn) 象限角 解 (1)①∵549＝189＋360，∴549角為第三象限的角，與189角終邊相同. ②∵－60＝300－360，∴－60角為第四象限的角，與300角終邊相同. ③∵－50336′＝21624′－2360，∴－50336′角為第三象限的角，與21624′角終邊相同. (2)由題意得90＋k360<α<180＋k360(k∈Z)，① 所以180＋2k360<2α<360＋2k360(k∈Z). 故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸負(fù)半軸上的角. 由①得45＋k180<<90＋k180(k∈Z)， 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n(n∈Z)， 得45＋n360<<90＋n360(n∈Z)， 故是第一象限角. 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45＋180＋n360<<90＋180＋n360(n∈Z)， 即225＋n360<<270＋n360(n∈Z)， 故為第三象限角. 綜上可知，為第一或第三象限角. 類型三 終邊相同的角 例3 在與角10 030終邊相同的角中，求滿足下列條件的角. (1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)[360，720)的角. 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 解 與10 030終邊相同的角的一般形式為β＝k360＋10 030(k∈Z). (1)由－360＜k360＋10 030＜0，得－10 390＜k360＜－10 030，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50. (2)由0＜k360＋10 030＜360，得－10 030＜k360＜－9 670，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310. (3)由360≤k360＋10 030＜720，得－9 670≤k360＜－9 310，解得k＝－26，故所求的角為β＝670. 反思與感悟 求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值. 跟蹤訓(xùn)練3 寫出與α＝－1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720≤β＜360的元素β寫出來. 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 解 由終邊相同的角的表示知， 與角α＝－1 910終邊相同的角的集合為{β|β＝k360－1 910，k∈Z}. ∵－720≤β＜360，即－720≤k360－1 910＜360(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6. 當(dāng)k＝4時(shí)，β＝4360－1 910＝－470； 當(dāng)k＝5時(shí)，β＝5360－1 910＝－110； 當(dāng)k＝6時(shí)，β＝6360－1 910＝250. 例4 寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合. 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 解 終邊在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120＋k360，k∈Z}； 終邊在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300＋k360，k∈Z}. 因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120＋k360，k∈Z}∪{α|α＝300＋k360，k∈Z}， 即S＝{α|α＝120＋2k180，k∈Z}∪{α|α＝120＋(2k＋1)180，k∈Z}＝{α|α＝120＋n180，n∈Z}. 故終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120＋n180，n∈Z}. 反思與感悟 求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進(jìn)行合并. 跟蹤訓(xùn)練4 寫出終邊在直線y＝x上的角的集合. 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 解 終邊在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30＋k360，k∈Z}； 終邊在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210＋k360，k∈Z}. 因此，終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30＋k360，k∈Z}∪{α|α＝210＋k360，k∈Z}， 即S＝{α|α＝30＋2k180，k∈Z}∪{α|α＝30＋(2k＋1)180，k∈Z}＝{α|α＝30＋n180，n∈Z}. 故終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30＋n180，n∈Z}. 1.下列是周期現(xiàn)象的為( ) ①閏年每四年一次； ②某交通路口的紅綠燈每30秒轉(zhuǎn)換一次； ③某超市每天的營(yíng)業(yè)額； ④某地每年6月份的平均降雨量. A.①②④ B.③④ C.①② D.①②③ 考點(diǎn) 周期現(xiàn)象 題點(diǎn) 周期現(xiàn)象的判定 答案 C 解析?、佗谑侵芷诂F(xiàn)象；③中每天的營(yíng)業(yè)額是隨機(jī)的，不是周期現(xiàn)象；④中每年6月份的平均降雨量也是隨機(jī)的，不是周期現(xiàn)象. 2.與－457角終邊相同的角的集合是( ) A.{α|α＝k360＋457，k∈Z} B.{α|α＝k360＋97，k∈Z} C.{α|α＝k360＋263，k∈Z} D.{α|α＝k360－263，k∈Z} 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 答案 C 解析?。?57＝－2360＋263，故選C. 3.2 018是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點(diǎn) 象限角、軸線角 題點(diǎn) 象限角 答案 C 解析 2 018＝5360＋218，故2 018是第三象限角. 4.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在平衡位置O點(diǎn)附近振動(dòng)，如果不考慮阻力，可將此振動(dòng)看作周期運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)第一次到達(dá)M點(diǎn)用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s第二次通過M點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)第三次通過M點(diǎn)，還要經(jīng)過的時(shí)間是 s. 考點(diǎn) 周期現(xiàn)象 題點(diǎn) 周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案 1.4 解析 如圖，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O與O→M用時(shí)相同，因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)半周期＝0.2＋0.32＝0.8(s)，從而當(dāng)質(zhì)點(diǎn)第三次經(jīng)過M時(shí)還要經(jīng)過的時(shí)間應(yīng)為M→O→B→O→M所用時(shí)間，為0.32＋0.8＝1.4(s). 5.已知，如圖所示. (1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合； (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 區(qū)域角的表示 解 (1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k360＋210，k∈Z}. 終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k360＋300，k∈Z}. (2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k360＋210≤α≤k360＋300，k∈Z}. 1.判斷是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看在相同的間隔內(nèi)，圖像是否重復(fù)出現(xiàn). 2.由于角的概念推廣了，那么終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，這無數(shù)個(gè)終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合.與α角終邊相同的角可表示為{β|β＝α＋k360，k∈Z}，要領(lǐng)會(huì)好k∈Z的含義. 3.熟記終邊在坐標(biāo)軸上的各角的度數(shù)，才能正確快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的終邊隨整數(shù)k的改變而改變時(shí)，要對(duì)k分類討論. 一、選擇題 1.(2017甘肅蘭州一中期末)下列命題正確的是( ) A.終邊在x軸非正半軸上的角是零角 B.第二象限角一定是鈍角 C.第四象限角一定是負(fù)角 D.若β＝α＋k360(k∈Z)，則α與β終邊相同 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 終邊在x軸非正半軸上的角為k360＋180，k∈Z，零角為0，所以A錯(cuò)誤；480角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯(cuò)誤；285角為第四象限角，但不是負(fù)角，所以C錯(cuò)誤，故選D. 2.設(shè)A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90的正角}，則下列等式中成立的是( ) A.A＝B B.B＝C C.A＝C D.A＝D 考點(diǎn) 任意角的概念 題點(diǎn) 對(duì)任意角概念的理解 答案 D 3.探索如圖所呈現(xiàn)的規(guī)律，判斷2 017至2 018箭頭的方向是( ) 考點(diǎn) 周期現(xiàn)象 題點(diǎn) 周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案 B 4.若α是第四象限角，則180－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點(diǎn) 象限角、軸線角 題點(diǎn) 象限角 答案 C 解析 可以給α賦一特殊值－60， 則180－α＝240，故180－α是第三象限角. 5.四個(gè)小動(dòng)物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①，②，③，④號(hào)位置上(如圖)，第1次前后排動(dòng)物互換位置，第2次左右列互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第2 017次互換座位后，小兔的位置對(duì)應(yīng)的是( ) ①猴 ②兔 ③貓 ④鼠 開始 ①貓 ②鼠 ③猴 ④兔 第1次 ①鼠 ②貓 ③兔 ④猴 第2次 ①兔 ②猴 ③鼠 ④貓 第3次 A.編號(hào)① B.編號(hào)② C.編號(hào)③ D.編號(hào)④ 考點(diǎn) 周期現(xiàn)象 題點(diǎn) 周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案 D 6.角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則α與β的關(guān)系為( ) A.α＋β＝k360，k∈Z B.α＋β＝k360＋180，k∈Z C.α－β＝k360＋180，k∈Z D.α－β＝k360，k∈Z 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 答案 B 解析 特殊值法：令α＝30，β＝150，則α＋β＝180.直接法：∵角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴β＝180－α＋k360，k∈Z，即α＋β＝k360＋180，k∈Z. 二、填空題 7.如圖所示，變量y與時(shí)間t(s)的圖像如圖所示，則時(shí)間t至少隔 s時(shí)y＝1會(huì)重復(fù)出現(xiàn)1次. 考點(diǎn) 周期現(xiàn)象 題點(diǎn) 周期現(xiàn)象的應(yīng)用 答案 2 8.已知角α＝－3 000，則與α終邊相同的最小正角是 . 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 答案 240 解析 與α＝－3 000終邊相同的角的集合為{θ|θ＝－3 000＋k360，k∈Z}， 令－3 000＋k360>0，解得k>， 故當(dāng)k＝9時(shí)，θ＝240滿足條件. 9.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是 ；終邊落在OB的位置上，且在－360～360內(nèi)的角的集合是 ；終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是 . 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 任意角的綜合應(yīng)用 答案 {α|α＝120＋k360，k∈Z} {315，－45} {α|－45＋k360≤α≤120＋k360，k∈Z} 解析 終邊落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120＋k360，k∈Z}. 終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315＋k360，k∈Z}， 取k＝0，－1得α＝315，－45. 故終邊落在OB的位置上， 且在－360～360內(nèi)的角的集合是{315，－45}. 終邊落在陰影部分的角的集合是{α|－45＋k360≤α≤120＋k360，k∈Z}. 10.若α＝k360＋45，k∈Z，則是第 象限角. 考點(diǎn) 象限角、軸線角 題點(diǎn) 象限角 答案 一或三 解析 ∵α＝k360＋45，k∈Z， ∴＝k180＋22.5，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)，即k＝2n，n∈Z時(shí)， ＝n360＋22.5，n∈Z，∴為第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)，即k＝2n＋1，n∈Z時(shí)， ＝n360＋202.5，n∈Z，∴為第三象限角. 綜上，是第一或第三象限角. 三、解答題 11.已知角β的終邊在直線x－y＝0上. (1)寫出角β的集合S； (2)寫出集合S中適合不等式－360<β<720的元素. 考點(diǎn) 終邊相同的角 題點(diǎn) 終邊相同的角 解 (1)如圖，直線x－y＝0過原點(diǎn)，傾斜角為60，在0～360范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60，終邊落在射線OB上的角是240，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為 S1＝{β|β＝60＋k360，k∈Z}， S2＝{β|β＝240＋k360，k∈Z}， 所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60＋k360，k∈Z}∪{β|β＝60＋180＋k360，k∈Z} ＝{β|β＝60＋2k180，k∈Z}∪{β|β＝60＋(2k＋1)180，k∈Z}＝{β|β＝60＋n180，n∈Z}. (2)由于－360<β<720，即－360<60＋n180<720，n∈Z. 解得－下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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