2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-1-1空間向量及其加減運(yùn)算 3-1-2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-1-1空間向量及其加減運(yùn)算 3-1-2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 教案 教學(xué)目標(biāo)： ㈠知識目標(biāo)：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律； ㈡能力目標(biāo)：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法； ⒉會(huì)用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律； ⒊能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡單的立體幾何中的問題． ㈢德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì) 　　　　　　用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物． 教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律． 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問題． 教學(xué)方法：討論式． 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)引入 ［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： 　　?、儆糜邢蚓€段表示； 　　　②用字母a、b等表示； 　　?、塾糜邢蚓€段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：． ［師］數(shù)學(xué)上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學(xué)們回憶一下． ［生］長度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算： ⒈向量的加法： ⒉向量的減法： ⒊實(shí)數(shù)與向量的積： 　　　　實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下： 　　　　　(1)|λa|＝|λ||a| 　　　　　(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同向； 　　　　　　 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反向； 　　　　　　 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0. ［師］關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？ ［生］向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律 　　　　　加法交換律：a＋b＝b＋a 　　　　　加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 　　　　　數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡單的應(yīng)用．請同學(xué)們閱讀課本 Ⅱ.新課講授 ［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量．那么我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？ ［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量． ［師］由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個(gè)向量是共面的． ［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？ ［生］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣： =a+b， （指向被減向量）， λa 　　 ［師］空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律． ［生］空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律： 　　　?、偶臃ń粨Q律：a + b = b + a； 　　　?、萍臃ńY(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗(yàn)證） 　　　?、菙?shù)乘分配律：λ(a + b) =λa +λb． ［師］空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．即： 因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即： ． ⑶兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立． 因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則． 例１已知平行六面體（如圖），化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量： 　　　　 說明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’． 平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱． 說明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣． 例2、如圖中，已知點(diǎn)O是平行六面體ABCD－A1B1C1D1體對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是任意一點(diǎn)，則． 分析： 　　將要證明等式的左邊分解成兩部分：與，第一組向量和中各向量的終點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形A1B1C1D1，于是我們就想到了應(yīng)該先證明： 　　 　　將以上所述結(jié)合起來就產(chǎn)生了本例的證明思路． 解答： 　　設(shè)E，E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1C1D1的中心，于是有 　　 　　 3. 1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 教學(xué)目標(biāo)：1．理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 2．掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式． 教學(xué)重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用． 教學(xué)過程： （一）復(fù)習(xí)：空間向量的概念及表示； （二）新課講解： 1．共線（平行）向量： 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：． 2．共線向量定理： 對空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）． 推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)，且平行于已知向量的直線，那么對任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式①，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則①式可化為或② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時(shí)③ ①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段的中點(diǎn)公式． 3．向量與平面平行： 已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：． 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 說明：空間任意的兩向量都是共面的． 4．共面向量定理： 如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使． 推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有① 上面①式叫做平面的向量表達(dá)式． （三）例題分析： 例1．已知三點(diǎn)不共線，對平面外任一點(diǎn)，滿足條件， 試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？ 解：由題意：， ∴， ∴，即， 所以，點(diǎn)與共面． 【練習(xí)】：對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式 （其中）的四點(diǎn)是否共面？ 解：∵， ∴， ∴，∴點(diǎn)與點(diǎn)共面． 例2．已知，從平面外一點(diǎn)引向量 ， （1）求證：四點(diǎn)共面； （2）平面平面． 解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 課堂練習(xí)： 課堂小結(jié)：1．共線向量定理和共面向量定理及其推論； 2．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式． 作業(yè)： 1．已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，，， 求證：共面． 2．已知，，若，求實(shí)數(shù)的值。 3．如圖，分別為正方體的棱的中點(diǎn)， 求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面． 4．已知分別是空間四邊形邊的中點(diǎn)， （1）用向量法證明：四點(diǎn)共面； （2）用向量法證明：平面．