《特征向量計(jì)算》PPT課件.ppt

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2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 第8章矩陣特征值及特征向量的計(jì)算 數(shù)值計(jì)算方法 矩陣特征值及特征向量的計(jì)算電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院賴生建 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 主要內(nèi)容 問題的提出按模最大最小特征值計(jì)算計(jì)算實(shí)對稱矩陣的雅克比法QR法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 1 問題的提出 在數(shù)學(xué)和物理中 需要處理線性方程組 方程組的特性就是其系數(shù)矩陣的特征 即求矩陣計(jì)算矩陣的特征值及其特征向量 如波導(dǎo)模式問題其特征值就是代數(shù)方程 cem a11x1 a12x2 a1nxn b1a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 是關(guān)于 的n次多項(xiàng)式也稱為矩陣A特征方程 它的n個根 稱為A的特征值 是A的特征值時 相應(yīng)的方程的非零解x 稱為對應(yīng)特征值 的特征向量 cem 1 問題提出 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 問題 當(dāng)A的階數(shù)比較高時 化簡特征方程很復(fù)雜 求解特征方程也困難 有些問題只要求最大特征值及特征向量 有些問題只要求最小特征值及特征向量 需要計(jì)算所有特征值及特征向量 cem 1 問題提出 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 2 按模最大最小特征值求法 迭代計(jì)算方法 冪法是求解最大特征值及特征向量的方法 設(shè)n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量x1 x2 xn 對應(yīng)的特征向量 1 2 n 并按模的大小排列有2種情況討論 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 1 任取初始向量v0 由矩陣A的n個線性無關(guān)的特征向量線性表示設(shè)a1不等于0 從v0出發(fā)做一系列迭代 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 具體計(jì)算 1主要求矩陣A的冪Ak與已知向量v0的乘積 故稱冪法 是一種迭代法 其迭代的收斂速度取決于下面的比值因反復(fù)計(jì)算A與向量Ak 1v0的乘積 會出現(xiàn)各分量值過大或過小 計(jì)算機(jī)會溢出 如何解決 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 方法 采用迭代向量 歸一化 即把迭代向量的最大分量歸一化為1 計(jì)算步驟 任取一個初始向量構(gòu)造迭代序列取 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 例1 用冪法計(jì)算矩陣模最大的特征值及其對應(yīng)的特征向量解 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 2 迭代序列 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 說明三個向量大體上線性相關(guān) 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 上式方程的左邊可以作為 1 2的特征向量 說明 不止兩種情況 根據(jù)計(jì)算來判定初始向量的選取對迭代次數(shù)有影響 冪法的收斂速度是決定的 當(dāng)接近1時 收斂很慢 需要加速 思路 通過矩陣A的特征值對應(yīng)的特征向量組進(jìn)行規(guī)范化正交組 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 即稱為Rayleigh商 并有用冪法計(jì)算特征根 1 已經(jīng)迭代到第k次 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 對uk做一次Rayleigh商 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 2 反冪法 設(shè)矩陣A是非奇異陣 則0不是A的特征值 則A 1存在A 1的特征值有A 1主特征值為1 1及特征向量xn 就是A求模的最小特征值 用A 1代替A做冪法 叫反冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 2 反冪法 任給初始向量v0迭代計(jì)算A 1是不容易的事 可寫成采用歸一化處理 步驟每進(jìn)行1次迭代 需要計(jì)算方程組計(jì)算量很大 事先A進(jìn)行LU分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 2 反冪法 例2 用反冪法計(jì)算矩陣模最小的特征值及其對應(yīng)的特征向量解 矩陣A的LU分解取初始向量 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 3 實(shí)對稱矩陣特征值的雅克比法 雅克比法是計(jì)算實(shí)對稱矩陣的特征值及特征向量的主要迭代方法 其理論依據(jù) 對n階實(shí)對稱矩陣A 一定存在正交矩陣R 使如何找合適的正交陣R cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 最簡單的實(shí)例分析 一條二次曲線坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)上面方程矩陣形式 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 其中如果令得到 的值 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 得到比較兩矩陣其中 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 推廣到一般情況 例舉一個實(shí)例說明例3橢球與坐標(biāo)平面OX1X2的交線是如果OX1 OX2軸旋轉(zhuǎn) 4 得到二次橢圓曲線 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 橢球經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后 得到新方程變換前后方程寫成矩陣形式 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 經(jīng)過變換后 矩陣A的變化情況 對角線元素的平方和由19增加到27 非對角線元素的平方和由10 5減少到2 5 矩陣所有元素的平方和未變 但轉(zhuǎn)換后的方程仍然保留y1y2和y2y3的乘積項(xiàng) 用類似的方法再次變換 如與Oy2y3平面相截 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 橢圓方程轉(zhuǎn)換為 二次型矩陣對角線元素的平方和不斷增加 27 25 非對角線元素的平方和不斷減少 2 25 cem 3 雅克比法 雅克比法的基本思想 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 設(shè)A aij 為n階實(shí)對稱矩陣R i j 為平面旋轉(zhuǎn)陣 記為R1 記 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 平面旋轉(zhuǎn)陣R i j 有如下性質(zhì)R1TR1 I 即R1是正交陣如果A是對稱陣 則 R1TAR1 T R1ATR1 R1AR1 A1 R1AR1是對稱矩陣 說明對稱矩陣經(jīng)過正交變換后仍然是對稱陣 矩陣A經(jīng)過變換后的A1第i j行列元素的變化如下 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 如果取 使得即同樣可以驗(yàn)證 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 如果取大于或等于A非對角線元素的絕對值通過一次變換 非對角線元素的平方和說明每次迭代非對角線元素的平方和不會超過當(dāng)經(jīng)過k次迭代后對角線元素的平方和A變成對角陣 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 雅克比法的計(jì)算步驟 找出A矩陣非對角元素絕對值最大的元素aij 確定i j用公式計(jì)算tan2 計(jì)算sin 及cos 計(jì)算以A1代入A 重復(fù)上面步驟 直到 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem Ak對角元素就是特征值 逐次變換矩陣Rk的乘機(jī)其列向量即所求的特征向量 具體計(jì)算 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 例4用雅克比法求對稱矩陣的特征值及特征向量 解 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 4 QR方法 對任意非奇異矩陣A 可以分解成一個正交陣Q和一個上三角陣R的乘積 稱為A的QR分解 如R的對角元是正實(shí)數(shù) 分解是唯一的 若A是奇異的 則A有零特征值 取一個不等于A特征值的 則A I是非奇異的 QR方法的基本過程 A A1 對A1進(jìn)行QR分解交換次序R1Q1為A2是正交相似變換 有相同的特征值 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 非奇異矩陣A 借助施密特正交化過程 實(shí)行A的QR分解 記A的n個列為 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 正交性且范數(shù)為1正交規(guī)范向量 從上式依次計(jì)算 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 記 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 例5對A作QR分解解 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 記 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem A為n n非奇異矩陣 設(shè)A1 A設(shè)A的n個特征值滿足條件當(dāng) 矩陣序列Ak收斂與三角陣R 于是R對角線上的元素就是所求特征值 當(dāng)A是對稱矩陣時 Ak收斂于對角陣 cem 4 QR方法 2 QR算法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 改寫公式 cem 4 QR方法 2 QR算法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 遞推公式 cem 4 QR方法 2 QR算法