《特征向量計(jì)算》PPT課件.ppt

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2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 第8章矩陣特征值及特征向量的計(jì)算 數(shù)值計(jì)算方法 矩陣特征值及特征向量的計(jì)算電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院賴生建 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 主要內(nèi)容 問(wèn)題的提出按模最大最小特征值計(jì)算計(jì)算實(shí)對(duì)稱矩陣的雅克比法QR法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 1 問(wèn)題的提出 在數(shù)學(xué)和物理中 需要處理線性方程組 方程組的特性就是其系數(shù)矩陣的特征 即求矩陣計(jì)算矩陣的特征值及其特征向量 如波導(dǎo)模式問(wèn)題其特征值就是代數(shù)方程 cem a11x1 a12x2 a1nxn b1a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 是關(guān)于 的n次多項(xiàng)式也稱為矩陣A特征方程 它的n個(gè)根 稱為A的特征值 是A的特征值時(shí) 相應(yīng)的方程的非零解x 稱為對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量 cem 1 問(wèn)題提出 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 問(wèn)題 當(dāng)A的階數(shù)比較高時(shí) 化簡(jiǎn)特征方程很復(fù)雜 求解特征方程也困難 有些問(wèn)題只要求最大特征值及特征向量 有些問(wèn)題只要求最小特征值及特征向量 需要計(jì)算所有特征值及特征向量 cem 1 問(wèn)題提出 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 2 按模最大最小特征值求法 迭代計(jì)算方法 冪法是求解最大特征值及特征向量的方法 設(shè)n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量x1 x2 xn 對(duì)應(yīng)的特征向量 1 2 n 并按模的大小排列有2種情況討論 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 1 任取初始向量v0 由矩陣A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量線性表示設(shè)a1不等于0 從v0出發(fā)做一系列迭代 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 具體計(jì)算 1主要求矩陣A的冪Ak與已知向量v0的乘積 故稱冪法 是一種迭代法 其迭代的收斂速度取決于下面的比值因反復(fù)計(jì)算A與向量Ak 1v0的乘積 會(huì)出現(xiàn)各分量值過(guò)大或過(guò)小 計(jì)算機(jī)會(huì)溢出 如何解決 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 方法 采用迭代向量 歸一化 即把迭代向量的最大分量歸一化為1 計(jì)算步驟 任取一個(gè)初始向量構(gòu)造迭代序列取 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 例1 用冪法計(jì)算矩陣模最大的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量解 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 2 迭代序列 cem 2 最大最小模 1 冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 說(shuō)明三個(gè)向量大體上線性相關(guān) 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 上式方程的左邊可以作為 1 2的特征向量 說(shuō)明 不止兩種情況 根據(jù)計(jì)算來(lái)判定初始向量的選取對(duì)迭代次數(shù)有影響 冪法的收斂速度是決定的 當(dāng)接近1時(shí) 收斂很慢 需要加速 思路 通過(guò)矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組進(jìn)行規(guī)范化正交組 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 即稱為Rayleigh商 并有用冪法計(jì)算特征根 1 已經(jīng)迭代到第k次 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 1 冪法 對(duì)uk做一次Rayleigh商 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 2 反冪法 設(shè)矩陣A是非奇異陣 則0不是A的特征值 則A 1存在A 1的特征值有A 1主特征值為1 1及特征向量xn 就是A求模的最小特征值 用A 1代替A做冪法 叫反冪法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 2 反冪法 任給初始向量v0迭代計(jì)算A 1是不容易的事 可寫(xiě)成采用歸一化處理 步驟每進(jìn)行1次迭代 需要計(jì)算方程組計(jì)算量很大 事先A進(jìn)行LU分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 2 最大最小模 2 反冪法 例2 用反冪法計(jì)算矩陣模最小的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量解 矩陣A的LU分解取初始向量 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 3 實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的雅克比法 雅克比法是計(jì)算實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值及特征向量的主要迭代方法 其理論依據(jù) 對(duì)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A 一定存在正交矩陣R 使如何找合適的正交陣R cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 最簡(jiǎn)單的實(shí)例分析 一條二次曲線坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)上面方程矩陣形式 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 其中如果令得到 的值 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 得到比較兩矩陣其中 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 推廣到一般情況 例舉一個(gè)實(shí)例說(shuō)明例3橢球與坐標(biāo)平面OX1X2的交線是如果OX1 OX2軸旋轉(zhuǎn) 4 得到二次橢圓曲線 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 橢球經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換后 得到新方程變換前后方程寫(xiě)成矩陣形式 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 經(jīng)過(guò)變換后 矩陣A的變化情況 對(duì)角線元素的平方和由19增加到27 非對(duì)角線元素的平方和由10 5減少到2 5 矩陣所有元素的平方和未變 但轉(zhuǎn)換后的方程仍然保留y1y2和y2y3的乘積項(xiàng) 用類(lèi)似的方法再次變換 如與Oy2y3平面相截 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 橢圓方程轉(zhuǎn)換為 二次型矩陣對(duì)角線元素的平方和不斷增加 27 25 非對(duì)角線元素的平方和不斷減少 2 25 cem 3 雅克比法 雅克比法的基本思想 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 設(shè)A aij 為n階實(shí)對(duì)稱矩陣R i j 為平面旋轉(zhuǎn)陣 記為R1 記 cem 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 平面旋轉(zhuǎn)陣R i j 有如下性質(zhì)R1TR1 I 即R1是正交陣如果A是對(duì)稱陣 則 R1TAR1 T R1ATR1 R1AR1 A1 R1AR1是對(duì)稱矩陣 說(shuō)明對(duì)稱矩陣經(jīng)過(guò)正交變換后仍然是對(duì)稱陣 矩陣A經(jīng)過(guò)變換后的A1第i j行列元素的變化如下 3 雅克比法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 如果取 使得即同樣可以驗(yàn)證 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 如果取大于或等于A非對(duì)角線元素的絕對(duì)值通過(guò)一次變換 非對(duì)角線元素的平方和說(shuō)明每次迭代非對(duì)角線元素的平方和不會(huì)超過(guò)當(dāng)經(jīng)過(guò)k次迭代后對(duì)角線元素的平方和A變成對(duì)角陣 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 雅克比法的計(jì)算步驟 找出A矩陣非對(duì)角元素絕對(duì)值最大的元素aij 確定i j用公式計(jì)算tan2 計(jì)算sin 及cos 計(jì)算以A1代入A 重復(fù)上面步驟 直到 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem Ak對(duì)角元素就是特征值 逐次變換矩陣Rk的乘機(jī)其列向量即所求的特征向量 具體計(jì)算 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 例4用雅克比法求對(duì)稱矩陣的特征值及特征向量 解 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 3 雅克比法 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 4 QR方法 對(duì)任意非奇異矩陣A 可以分解成一個(gè)正交陣Q和一個(gè)上三角陣R的乘積 稱為A的QR分解 如R的對(duì)角元是正實(shí)數(shù) 分解是唯一的 若A是奇異的 則A有零特征值 取一個(gè)不等于A特征值的 則A I是非奇異的 QR方法的基本過(guò)程 A A1 對(duì)A1進(jìn)行QR分解交換次序R1Q1為A2是正交相似變換 有相同的特征值 cem 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 非奇異矩陣A 借助施密特正交化過(guò)程 實(shí)行A的QR分解 記A的n個(gè)列為 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 正交性且范數(shù)為1正交規(guī)范向量 從上式依次計(jì)算 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 記 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 例5對(duì)A作QR分解解 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 記 cem 4 QR方法 1 矩陣A的QR分解 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem A為n n非奇異矩陣 設(shè)A1 A設(shè)A的n個(gè)特征值滿足條件當(dāng) 矩陣序列Ak收斂與三角陣R 于是R對(duì)角線上的元素就是所求特征值 當(dāng)A是對(duì)稱矩陣時(shí) Ak收斂于對(duì)角陣 cem 4 QR方法 2 QR算法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 改寫(xiě)公式 cem 4 QR方法 2 QR算法 2020 2 18 阜師院數(shù)科院cem 遞推公式 cem 4 QR方法 2 QR算法