小字體：大學物理學答案(北京郵電大學第3版)趙近芳等編著

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1大學物理學(北郵第三版)習題及解答（全）習題一1-1 ｜ r?｜與 有無不同? tdr和 有無不同? tdv和 有無不同?其不同在哪里?試舉例說明．解：（1） 是位移的模， ?r是位矢的模的增量，即 r?12??， 12r??；（2） tdr是速度的模，即 td?vts.只是速度在徑向上的分量.∵有 r??（式中 叫做單位矢） ，則 t?rtddr?式中 td就是速度徑向上的分量，∴ tr與不同如題 1-1 圖所示. 題 1-1 圖(3) tdv表示加速度的模，即 tvad??， 是加速度 a在切向上的分量.∵有 ??(?表軌道節(jié)線方向單位矢） ，所以 tvtd???式中 dtv就是加速度的切向分量.(r????與的運算較復雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)1-2 設(shè)質(zhì)點的運動方程為 x= (t)， y= (t)，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出 r＝2yx?，然后根據(jù) v= trd，及 a＝ 2tr而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即v=22??????tytx及 =22d???????tytx你認為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有 jyixr???，2jtyitxrav??22dd???故它們的模即為 2222d???????????????tytxattvyxyx而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作 2dtrtrv其二，可能是將 2dtr與誤作速度與加速度的模。在 1-1 題中已說明 trd不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣， 2dtr也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分 ??????????????22dtrta?徑?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢 r?在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢 r?及速度 v的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。1-3 一質(zhì)點在 xOy平面上運動，運動方程為 x=3t+5, y= 21t2+3 -4.式中 t以 s 計， , 以 m 計．(1)以時間 為變量，寫出質(zhì)點位置矢量的表示式；(2)求出=1 s 時刻和 t＝2s 時刻的位置矢量，計算這 1 秒內(nèi)質(zhì)點的位移；(3)計算 t＝0 s 時刻到＝ 4s 時刻內(nèi)的平均速度；(4)求出質(zhì)點速度矢量表示式，計算 t＝4 s 時質(zhì)點的速度；(5)計算 t＝0s 到 ＝4s 內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；(6)求出質(zhì)點加速度矢量的表示式，計算 t＝4s 時質(zhì)點的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)．解：（1） jtitr???)4321()53(???m(2)將 ?t, 2代入上式即有 ji.081r??25.43????(3)∵ jij167,50∴ 14 sm0???rtv ???(4) 1sm)3(d???jitrv?則 jiv??74?1s??3(5)∵ jivjiv???73,40??24sm1?????ta?(6) djta?這說明該點只有 y方向的加速度，且為恒量。1-4 在離水面高 h 米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸 S 處，如題 1-4 圖所示．當人以 0v(m· 1?s)的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大小．圖 1-4解： 設(shè)人到船之間繩的長度為 l，此時繩與水面成 ?角，由圖可知22sh??將上式對時間 t求導，得tstld2?題 1-4 圖根據(jù)速度的定義，并注意到 , 是隨 減少的，∴ tsvtlvd,0???船繩即 ?cosd0ls?船或 vhlv2/120)(?船將 船v再對 t求導，即得船的加速度 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva?????船船1-5 質(zhì)點沿 x軸運動，其加速度和位置的關(guān)系為 a＝2+6 2x， 的單位為 2sm??， x的單位為 m. 質(zhì)點在 ＝0 處，速度為 10 1m??,試求質(zhì)點在任何坐標處的速度值．解： ∵ vttvadd4分離變量： xadxd)62(???兩邊積分得 cv321由題知， 0?x時， ,∴ 50∴ 13sm2????x1-6 已知一質(zhì)點作直線運動，其加速度為 a＝4+3 t2，開始運動時， x＝5 m， v=0，求該質(zhì)點在 t＝10s 時的速度和位置．解：∵ ttv4d分離變量，得 )3(??積分，得 12ctv由題知， 0?t,v,∴ 01c故 234t??又因為 dtxv分離變量， tx)234(d??積分得 2321ctx??由題知 0t, 5x,∴ 2c故 132??t所以 st時 m705120s93410 12??????xv1-7 一質(zhì)點沿半徑為 1 m 的圓周運動，運動方程為 ?=2+3 3t， 式中以弧度計， t以秒計，求：(1) t＝2 s 時，質(zhì)點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成 45°角時，其角位移是多少?解： tt18d,9d2??????(1) s2?t時， 2sm3618????Ra2229)(??n(2)當加速度方向與半徑成 ο45角時，有145tan??n?即 ??R?2 亦即 8)9(25)sin(2coi0tRtvtx????則解得 923?t于是角位移為rad67.2932????t?1-8 質(zhì)點沿半徑為 R的圓周按 s＝ 01btv?的規(guī)律運動，式中 s為質(zhì)點離圓周上某點的弧長, 0v， b都是常量，求： (1) 時刻質(zhì)點的加速度；(2) t為何值時，加速度在數(shù)值上等于 ．解：（1） btvts?0dRtvan202)(??則 2422bt???加速度與半徑的夾角為 20)(arctnbtv???(2)由題意應(yīng)有 242Rb??即 0)(,)(402402 ???btvtv∴當 bvt0?時， a1-9 半徑為 R的輪子，以勻速 0v沿水平線向前滾動：(1)證明輪緣上任意點 B的運動方程為 x＝ )sin(tt??， y＝ R)cos1(t??，式中 0v?/R是輪子滾動的角速度，當B與水平線接觸的瞬間開始計時．此時 B所在的位置為原點，輪子前進方向為 x軸正方向；(2)求 點速度和加速度的分量表示式．解：依題意作出下圖，由圖可知題 1-9 圖(1) )cos1()cos1(2intRy????(2)6??????)sindco1(tRtyvx?????tvayyxxdcos21-10 以初速度 0＝20 1m??拋出一小球，拋出方向與水平面成幔 60°的夾角，求：(1)球軌道最高點的曲率半徑 R；(2)落地處的曲率半徑 2R．(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題 1-10 圖所示．題 1-10 圖(1)在最高點， o016csvx?2m??gan又∵ 1?∴ 10)60cos2(2???nav?(2)在落地點， 22v1sm??,而 o60c?gan∴ 8s1)(2???n?1-11 飛輪半徑為 0.4 m，自靜止啟動，其角加速度為  β =0.2 rad· 2s?，求 t＝2s 時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解：當 s2?t時， 4.02.?t??1srad??則 164.0?Rv1s?? 064.).(2??Ran 2sm??8? 222 104. ???n71-12 如題 1-12 圖，物體 A以相對 B的速度 v＝ gy2沿斜面滑動， y為縱坐標，開始時 A在斜面頂端高為 h處， 物體以 u勻速向右運動，求 A物滑到地面時的速度．解：當滑至斜面底時， y?，則 hv?, 物運動過程中又受到 B的牽連運動影響，因此， 對地的速度為 jgiguAA ???)sin2()cos2(' ???地題 1-12 圖1-13 一船以速率 1v＝30km·h -1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率 2v＝40km·h -1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何?解：(1)大船看小艇，則有 121v????，依題意作速度矢量圖如題 1-13 圖(a)題 1-13 圖由圖可知 1212 hkm50????vv方向北偏西 ?87.364arctnrt2?(2)小船看大船，則有 12????，依題意作出速度矢量圖如題 1-13 圖(b)，同上法，得5012v1hk??方向南偏東 o87.361-14 當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后 2 m 的甲板上，篷高 4 m 但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前 3 m ，如雨滴的速度大小為 8 m·s-1，求輪船的速率．解： 依題意作出矢量圖如題 1-14 所示．題 1-14 圖∵ 船雨雨 船 vv????∴ 船雨 船雨 ?由圖中比例關(guān)系可知 1sm8??雨船習題二82-1 一細繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為 1m的物體，另一邊穿在質(zhì)量為 2m的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩子滑動．今看到繩子從圓柱細孔中加速上升，柱體相對于繩子以勻加速度 a?下滑，求 1m， 2相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計)．解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為 1a，其對于 2則為牽連加速度，又知2m對繩子的相對加速度為 ?，故 2對地加速度，由圖(b)可知，為 ???1①又因繩的質(zhì)量不計，所以圓柱體受到的摩擦力 f在數(shù)值上等于繩的張力 T，由牛頓定律，有 11amTg②22 ③聯(lián)立①、②、③式，得 211212)(()magTfa?????????討論 (1)若 0??a，則 21表示柱體與繩之間無相對滑動．(2)若 g2，則 fT，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時 1m, 2均作自由落體運動．題 2-1 圖2-2 一個質(zhì)量為 P的質(zhì)點，在光滑的固定斜面（傾角為 ?）上以初速度 0v運動， 0的方向與斜面底邊的水平線 AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點的運動軌道．解: 物體置于斜面上受到重力 mg，斜面支持力 N.建立坐標：取?方向為 X軸，平行斜面與 X軸垂直方向為 Y軸.如圖 2-2.題 2-2 圖X方向： 0?xF tvx0 ①Y方向： yymag?sin ② 0?t時 2i1t由①、②式消去 t，得9220sin1xgvy???2-3 質(zhì)量為 16 kg 的質(zhì)點在 xO平面內(nèi)運動，受一恒力作用，力的分量為 xf＝6 N， yf＝ -7 N，當 t＝0 時， 0， x＝-2 m·s -1， yv＝0．求當 t＝2 s 時質(zhì)點的 (1)位矢；(2)速度．解： 2sm8316???fax7?y(1) ??????????20 1sm87216453dtavyyxx于是質(zhì)點在 s2時的速度 145??ji??(2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx?????????2-4 質(zhì)點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力 kv( 為常數(shù))作用， t=0 時質(zhì)點的速度為 0v，證明(1) t時刻的速度為 v＝tke)(0?；(2) 由 0 到 t的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為x＝( km)［1-tmke)(?］；(3)停止運動前經(jīng)過的距離為)(；(4)證明當 kmt?時速度減至 0v的1，式中 m 為質(zhì)點的質(zhì)量．答: (1)∵ tvmkad??分離變量，得 v即 ???tk0mktevlnl∴ tk?0(2) ????t tt mkmkeex0 )1(d10(3)質(zhì)點停止運動時速度為零，即 t→∞，故有 ?????00dkmvtevxk(4)當 t= km時，其速度為 evevkm0100???即速度減至 0v的 e1.2-5 升降機內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為 1， 2，且 ＝2 1．用細繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計，當升降機以勻加速 a＝ 2g 上升時，求：(1) 1m和 2相對升降機的加速度．(2)在地面上觀察 1m， 2的加速度各為多少?解: 分別以 , 為研究對象，其受力圖如圖(b)所示．(1)設(shè) 2相對滑輪(即升降機)的加速度為 a?，則 2對地加速度 ???2；因繩不可伸長，故 1對滑輪的加速度亦為 ?，又 1在水平方向上沒有受牽連運動的影響，所以 1m在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?a，由牛頓定律，有 )(22Tg???am1題 2-5 圖聯(lián)立，解得 ga??方向向下(2) 2m對地加速度為??方向向上1在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即 牽相絕 a????'∴ gga254221???a??rctn?o6.rt，左偏上．2-6 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點以與地的仰角 ?=30°的初速 0v?從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點落地時相對拋射時的動量的增量．解: 依題意作出示意圖如題 2-6 圖11題 2-6 圖在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對 y軸對稱性，故末速度與 x軸夾角亦為 o30，則動量的增量為vmp?????由矢量圖知，動量增量大小為 0v，方向豎直向下．2-7 一質(zhì)量為 m的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時相等．求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過程中，小球的動量是否守恒?解: 由題知，小球落地時間為 s5.．因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為 gtv5.01?，小球上跳速度的大小亦為 gv5.02?．設(shè)向上為 y軸正向，則動量的增量 12mp????方向豎直向上，大小 mp??)(12?碰撞過程中動量不守恒．這是因為在碰撞過程中，小球受到地面給予的沖力作用．另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒．2-8 作用在質(zhì)量為 10 kg 的物體上的力為 itF?)0(??N，式中 t的單位是 s，(1)求 4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量．(2)為了使這力的沖量為 200 N·s，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度 j?6?m·s-1的物體,回答這兩個問題．解: (1)若物體原來靜止，則 ititFp ??? 10401 smkg56d)21(d???????,沿 x軸正向， ipIv??11s.???若物體原來具有 6?1s?初速，則 ???????tt FvmFvmp0000 d)d(,??于是 ??tpp12??,同理， 1?, 2I這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理．(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即 ????t ttI020d)(亦即 12??解得 s10?t，( s2?t舍去)122-9 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點在 xOy平面上運動，其位置矢量為 jtbitar???snco??求質(zhì)點的動量及 t＝0 到 ??2t 時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力的沖量和質(zhì)點動量的改變量．解: 質(zhì)點的動量為 )cossi(jttmvp????將 ?t和 2t分別代入上式，得 jb?1, iap?2,則動量的增量亦即質(zhì)點所受外力的沖量為 )(1jbI ??????2-10 一顆子彈由槍口射出時速率為 0sm?v，當子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為 F =( bta?)N( ,為常數(shù))，其中 t以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量．(3)求子彈的質(zhì)量．解: (1)由題意，子彈到槍口時，有 0)(??btaF,得 bat(2)子彈所受的沖量 ?t ttI021d將 bat?代入，得 baI2?(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量 00vm2-11 一炮彈質(zhì)量為 ，以速率 v飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為 T，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的 k倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為 v+k2, v-T證明: 設(shè)一塊為 1m，則另一塊為 2，1m?及 ??21于是得 ,2k①又設(shè) 1的速度為 1v, 2的速度為 v，則有 2211vT???②m ③聯(lián)立①、③解得 12)(kvv?④13將④代入②，并整理得 21)(vkmT??于是有 ?將其代入④式，有 kTv22?又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取 kmv,21??證畢．2-12 設(shè) N67jiF????合．(1) 當一質(zhì)點從原點運動到 1643kjir????時，求 F所作的功．(2)如果質(zhì)點到 r處時需 0.6s，試求平均功率．(3)如果質(zhì)點的質(zhì)量為 1kg，試求動能的變化．解: (1)由題知， 合 為恒力，∴ )1643()67(kjijirFA???????合J5241?(2) w.0?tP(3)由動能定理， JEk2-13 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內(nèi) 1 cm，問擊第二次時能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同．解: 以木板上界面為坐標原點，向內(nèi)為 y坐標正向，如題 2-13 圖，則鐵釘所受阻力為題 2-13 圖 kyf??第一錘外力的功為 1A???ssfyf102dd①式中 f?是鐵錘作用于釘上的力， 是木板作用于釘上的力，在 0?t時， f???．設(shè)第二錘外力的功為 2，則同理，有 ??212dykykA②由題意，有 )(212mv???③14即 212ky??所以， 于是釘子第二次能進入的深度為 cm41.012?y2-14 設(shè)已知一質(zhì)點(質(zhì)量為 m)在其保守力場中位矢為 r點的勢能為 nPrkE/)(?, 試求質(zhì)點所受保守力的大小和方向．解: 1d)(???nkrEF方向與位矢 r?的方向相反，即指向力心．2-15 一根勁度系數(shù)為 1k的輕彈簧 A的下端，掛一根勁度系數(shù)為 2k的輕彈簧 B， 的下端一重物 C， 的質(zhì)量為 M，如題 2-15 圖．求這一系統(tǒng)靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比．解: 彈簧 BA、 及重物 受力如題 2-15 圖所示平衡時，有題 2-15 圖 MgFBA?又 1xk?2所以靜止時兩彈簧伸長量之比為 12kx?彈性勢能之比為 12212kxEp?2-16 (1)試計算月球和地球?qū)?m物體的引力相抵消的一點 P，距月球表面的距離是多少?地球質(zhì)量 5.98×1024 kg，地球中心到月球中心的距離 3.84×108m，月球質(zhì)量7.35×1022kg，月球半徑 1.74×106m．(2)如果一個 1kg 的物體在距月球和地球均為無限遠處的勢能為零，那么它在 P點的勢能為多少 ?解: (1)設(shè)在距月球中心為 r處 地 引月 引 F?，由萬有引力定律，有15??22rRmMGr??地月經(jīng)整理，得 r月地 月??= 2241035.71098.5.??8104.m36?則 P點處至月球表面的距離為 m6.).( 7??月rh(2)質(zhì)量為 kg1的物體在 P點的引力勢能為??rRMGrEP??地月 ??7241721 1083.9506.83.5067. ??????J22-17 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為 1m和2m的滑塊組成如題 2-17 圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為 k，自然長度等于水平距離 BC，與桌面間的摩擦系數(shù)為 ?，最初 1m靜止于 A點， B＝ C＝ h，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下 1,求它下落到 B處時的速率．解: 取 點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功能原理，有 ])(21[)(221 lkgvgh??????式中 l?為彈簧在 A點時比原長的伸長量，則 hBCAl )(??聯(lián)立上述兩式，得 ????212112mkgv?????題 2-17 圖2-18 如題 2-18 圖所示，一物體質(zhì)量為 2kg，以初速度 0v＝3m·s -1從斜面 A點處下滑，它與斜面的摩擦力為 8N，到達 B點后壓縮彈簧 20cm 后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度．解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原16長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有 ??????????37sin21mgvkxsfr 2ikxfr式中 m52.084??s， 2.0x，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得 -1mN39??k題 2-18 圖再次運用功能原理，求木塊彈回的高度 h?2o137sinkxmgfr???代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 4.1?s,則木塊彈回高度 84.0sio?h題 2-19 圖2-19 質(zhì)量為 M的大木塊具有半徑為 R的四分之一弧形槽，如題 2-19 圖所示．質(zhì)量為m的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時的速度．解: 從 上下滑的過程中，機械能守恒，以 m， M，地球為系統(tǒng)，以最低點為重力勢能零點，則有 221VvgR??又下滑過程，動量守恒，以 m, 為系統(tǒng)則在 脫離 瞬間，水平方向有0?聯(lián)立，以上兩式，得 ??Mgv??22-20 一個小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運動方向互相垂直．證: 兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有 221201mvv?即 ? ①17題 2-20 圖(a) 題 2-20 圖(b)又碰撞過程中，動量守恒，即有 210vmv????亦即 ②由②可作出矢量三角形如圖(b)，又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以 0v?為斜邊，故知 1v?與 2是互相垂直的．2-21 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點位于 ( 1,yx)處，速度為 jviyx????, 質(zhì)點受到一個沿 x負方向的力 f的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用于質(zhì)點上的力的力矩．解: 由題知，質(zhì)點的位矢為 jir1作用在質(zhì)點上的力為 f???所以，質(zhì)點對原點的角動量為 vmrL??0 )()(1jviiyxyx??k?作用在質(zhì)點上的力的力矩為 kfifjifrM??110 )((?????2-22 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓．它離太陽最近距離為 r＝8.75×10 10m 時的速率是 1v＝5.46×10 4m·s -1，它離太陽最遠時的速率是 2v＝9.08×10 2m·s-1 這時它離太陽的距離 2r多少?(太陽位于橢圓的一個焦點。)解: 哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有21mv?∴ m106.508.9475221 ???vr2-23 物體質(zhì)量為 3kg， t=0 時位于 ir?, s???ji?，如一恒力 N5jf??作用在物體上,求 3 秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對 z軸角動量的變化．解: (1) ????301skg15djtjfp?(2)解(一) 7340???tvxjaty 5.2620 ?即 ir?1, ji?5.10xv1813560????atvy即 ji?1, ji?2∴ kmrL?7)(41?jijiv ?5.45.7(22∴ 121sg8?????k?解(二) ∵ dtzM?∴ ???tttFrL00d)(d???????????????30 12smkg5.8)4(5d53162tktji??題 2-24 圖2-24 平板中央開一小孔，質(zhì)量為 m的小球用細線系住，細線穿過小孔后掛一質(zhì)量為 1M的重物．小球作勻速圓周運動，當半徑為 0r時重物達到平衡．今在 1的下方再掛一質(zhì)量為2M的物體，如題 2-24 圖．試問這時小球作勻速圓周運動的角速度 ??和半徑 r?為多少?解: 在只掛重物時 1，小球作圓周運動的向心力為 gM1，即201?rg?①掛上 2后，則有221)(??rm ②重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒．即 v??0??22r③聯(lián)立①、②、③得 0212132101010)(rMgmrrg????????2-25 飛輪的質(zhì)量 ＝60kg，半徑 R＝0.25m，繞其水平中心軸 O轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為900rev·min-1．現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力 F，可使飛輪19減速．已知閘桿的尺寸如題 2-25 圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù) ?=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算．試求：(1)設(shè) F＝100 N，問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn) ?(2)如果在 2s 內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力 F?解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b))．圖中 N、 ?是正壓力， rF、 ?是摩擦力， x和 y是桿在 A點轉(zhuǎn)軸處所受支承力， R是輪的重力， P是輪在 O軸處所受支承力．題 2-25 圖（a）題 2-25 圖(b)桿處于靜止狀態(tài)，所以對 A點的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計，則有 FlNllF121210)( ??????對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有 IRr/??，式中負號表示 ?與角速度 ?方向相反．∵ ? ?∴ lr12??又∵ ,mRI?∴ FlIFr12)(???①以 N10?F等代入上式，得 2srad34050.26)7(4.0????????由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時間為 6.69????t這段時間內(nèi)飛輪的角位移為 rad21.53 )49(30214020?????????t可知在這段時間里，飛輪轉(zhuǎn)了 轉(zhuǎn)．20(2)10srad629??????，要求飛輪轉(zhuǎn)速在 2?ts內(nèi)減少一半，可知 200rad152???????tt用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動力為 NlmRF172)75.0.(4.021621???????2-26 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸 O?轉(zhuǎn)動．設(shè)大小圓柱體的半徑分別為 R和 r，質(zhì)量分別為 M和 m．繞在兩柱體上的細繩分別與物體 1m和2m相連， 1和 2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題 2-26 圖所示．設(shè) R＝0.20m, r＝0.10m，＝4 kg， M＝10 kg， 1＝ 2＝2 kg，且開始時 1， 2離地均為 h＝2m．求：(1)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；(2)兩側(cè)細繩的張力．解: 設(shè) 1a, 2和 β 分別為 1, 2和柱體的加速度及角加速度，方向如圖 (如圖 b)．題 2-26(a)圖 題 2-26(b)圖(1) 1m, 2和柱體的運動方程如下： 22amgT??①11②?IrR?2③式中 aT??? 1221,,,而 2MI?由上式求得212 22221srad13.6 8.91001.40.??? ?????????grmRI?(2)由①式 893.622 ????gmrT?N由②式 17208911 ??R2-27 計算題 2-27 圖所示系統(tǒng)中物體的加速度．設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為 M，半徑為 r，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)1m＝50kg ， 2＝200 kg,M＝15 kg, r＝0.1 m解: 分別以 1, 滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)所示．對 1, 2運用牛頓定律，有aTg22??①1②對滑輪運用轉(zhuǎn)動定律，有 ?)(212Mrr③又， a? ④聯(lián)立以上 4 個方程，得 221 sm6.721508.9??????mga題 2-27(a)圖 題 2-27(b)圖題 2-28 圖2-28 如題 2-28 圖所示，一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為 m，長為 l，可繞過一端 O的水平軸自由轉(zhuǎn)動，桿于水平位置由靜止開始擺下．求：(1)初始時刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過 ?角時的角速度 .解: (1)由轉(zhuǎn)動定律，有22?)31(22mlg?∴ l (2)由機械能守恒定律，有 2)31(sin2??llg?∴ l?題 2-29 圖2-29 如題 2-29 圖所示，質(zhì)量為 M，長為 l的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸 O無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置上．現(xiàn)有一質(zhì)量為 m的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞．相撞后，使棒從平衡位置處擺動到最大角度 ??30°處．(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計算小球初速 0v的值；(2)相撞時小球受到多大的沖量?解: (1)設(shè)小球的初速度為 0v，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為 ?，而小球的速度變?yōu)関，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時遵從角動量守恒定律和機械能守恒定律，可列式： mvlIl???0①22211v②上兩式中231MlI?，碰撞過程極為短暫，可認為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度 o0?，按機械能守恒定律可列式： )30cos1(22???lgI?③由③式得 2121)()cs( ???????????????lgIl由①式 mlIv??0④由②式 I202?⑤所以2322001)(?mvlIv??求得 glMlIl???312(6)()20?(2)相碰時小球受到的沖量為 ??0dmvtF由①式求得 ?llIvt 310????gM6)2(負號說明所受沖量的方向與初速度方向相反．題 2-30 圖2-30 一個質(zhì)量為 M、半徑為 R并以角速度 ?轉(zhuǎn)動著的飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤)，在某一瞬時突然有一片質(zhì)量為 m的碎片從輪的邊緣上飛出，見題 2-30 圖．假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上．(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉(zhuǎn)動動能．解: (1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度 Rv?0設(shè)碎片上升高度 h時的速度為 ，則有 gh22?令 0?v，可求出上升最大高度為 201?vH?(2)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量21MRI?，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量21mRMI???，碎片脫離前，盤的角動量為 ?，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱?，但?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動量，碎片與破盤的總角動量應(yīng)守恒，即 RmvI0???式中 ?為破盤的角速度．于是 R022)1(?????)( 2M得 ???(角速度不變)圓盤余下部分的角動量為24?)21(2mRM?轉(zhuǎn)動動能為題 2-31 圖 22)1(?mRMEk??2-31 一質(zhì)量為 m、半徑為 R 的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動．另一質(zhì)量為 0的子彈以速度 0v射入輪緣(如題 2-31 圖所示方向)．(1)開始時輪是靜止的，在質(zhì)點打入后的角速度為何值?(2)用 , 和 ?表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點 )最后動能和初始動能之比．解: (1)射入的過程對 O軸的角動量守恒 ??200)(sinRmvR??∴ sin??(2) 022020sin1])(i][)[(20 vmEk ?????2-32 彈簧、定滑輪和物體的連接如題 2-32 圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為 2.0 N·m-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是 0.5kg·m2，半徑為 0.30m ，問當 6.0 kg 質(zhì)量的物體落下 0.40m 時，它的速率為多大? 假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長．解: 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，重物下落的過程中，機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有 22211khImvgh???又 R/故有 I?2)(122sm0. 5.03.63.)489.??????25題 2-32 圖 題 2-33 圖2-33 空心圓環(huán)可繞豎直軸 AC自由轉(zhuǎn)動，如題 2-33 圖所示，其轉(zhuǎn)動慣量為 0I，環(huán)半徑為R，初始角速度為 0?．質(zhì)量為 m的小球，原來靜置于 A點，由于微小的干擾，小球向下滑動．設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的，問小球滑到 B點與 C點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少 ?解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至 B點時，有?)(200RI??①該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中，機械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為 v，以 點為重力勢能零點，則有 22020 1)(11BmImgI?②聯(lián)立①、②兩式，得 20RIvB???(2)當小球滑至 C點時，∵ 0Ic ∴ c故由機械能守恒，有 21)(cmvg∴ Rc?請讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣龋曨}三3-1 慣性系 S′相對慣性系 S以速度 u運動．當它們的坐標原點 O與 ?重合時， t= ?=0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標系寫出各自觀測的波陣面的方程．解: 由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為球面波．波陣面方程為： 22)(ctzyx?????題 3-1 圖3-2 設(shè)圖 3-4 中車廂上觀測者測得前后門距離為 2l．試用洛侖茲變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達前、后門的時間差．26解: 設(shè)光訊號到達前門為事件 1，在車廂 )(S?系時空坐標為),(,(1cltx??，在車站 )(S系：)()(2121 ucllxcut ?????????光信號到達后門為事件 ，則在車廂 )S?系坐標為,,(ltx???，在車站 )(S系：)1(22clct???于是 1u??或者 lxtt 2,,012??????)()(cc????3-3 慣性系 S′相對另一慣性系 S沿 x軸作勻速直線運動，取兩坐標原點重合時刻作為計時起點．在 S 系中測得兩事件的時空坐標分別為 1=6×104m, 1t=2×10-4s，以及2x=12×104m, 2t=1×10-4s．已知在 S′系中測得該兩事件同時發(fā)生．試問：(1)S′系相對S 系的速度是多少? (2) ?系中測得的兩事件的空間間隔是多少?解: 設(shè) )(?相對 的速度為 v，(1) )(121xcvt????2?由題意 01?t則 )(122xcvt??故 8125.??xcv 1sm??(2)由洛侖茲變換 )(),(22vtxvt????代入數(shù)值， 0.412? 3-4 長度 0l=1 m 的米尺靜止于 S′系中，與 x′ 軸的夾角 '?=30°，S′系相對 S 系沿 x軸運動，在 S 系中觀測者測得米尺與 軸夾角為 45?． 試求：(1)S′系和 S 系的相對運動速度.(2)S 系中測得的米尺長度．解: (1)米尺相對 ?靜止，它在 y?,軸上的投影分別為： m86.0cos0??Lx， m5.0sin0???Ly米尺相對 沿 方向運動，設(shè)速度為 v，對 S系中的觀察者測得米尺在 x方向收縮，而y方向的長度不變，即 yxc???,1227故 21tancvLxyyx????把 ο45??及 yxL?,代入則得 86.052?cv故 1(2)在 S系中測得米尺長度為m7.45sin??yL3-5 一門寬為 a，今有一固有長度 0l( ＞ a)的水平細桿，在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運動．若站在門外的觀察者認為此桿的兩端可同時被拉進此門，則該桿相對于門的運動速率 u至少為多少?解: 門外觀測者測得桿長為運動長度，20)(1cul??，當 a?時，可認為能被拉進門，則 la?解得桿的運動速率至少為：20)(1lcu??題 3-6 圖3-6 兩個慣性系中的觀察者 O和 ?以 0.6c(c 表示真空中光速)的相對速度相互接近，如果O測得兩者的初始距離是 20m，則 測得兩者經(jīng)過多少時間相遇 ?解: 測得相遇時間為 t?cvLt6.02??測得的是固有時 t?∴ t21????? s089.8??，6cv?，8.01?，或者， O?測得長度收縮， vLtLL?????,.6.102020?s189.3.6.88????ct?283-7 觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系 S和 ?中，甲測得在同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為 4s，而乙測得這兩個事件的時間間隔為 5s．求：(1) S?相對于 的運動速度．(2) 乙測得這兩個事件發(fā)生的地點間的距離．解: 甲測得 0,s4?xt?,乙測得 s5?t，坐標差為 12x?????′(1)∴ tcvtxcvt???2)(1)(???5412???t解出 cccv3)(1)(2???80.?sm??(2) ??0,45,?????xttx??∴ m1938??? cv負號表示 012???x．3-8 一宇航員要到離地球為 5 光年的星球去旅行．如果宇航員希望把這路程縮短為 3 光年，則他所乘的火箭相對于地球的速度是多少?解: 2220 153,13???????? 則ll∴ cv493-9 論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時．證: 設(shè)在 S系 BA、 事件在 ba,處同時發(fā)生，則 BAabttx???,，在 S?系中測得)(2cvtttAB???????0,?x，∴ ?t即不同時發(fā)生．3-10 試證明：(1) 如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短．(2) 如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性關(guān)系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短．解: (1)如果在 S?系中，兩事件 BA、 在同一地點發(fā)生，則 0???x，在 S系中，tt?????，僅當 0?v時，等式成立，∴ t??最短．(2)若在 S系中同時發(fā)生，即 ??t，則在 S系中， x????，僅當 v時等式成立，∴ ?系中 x?最短．3-11 根據(jù)天文觀測和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠離我們而去．假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為 0.50s，且這顆星正沿觀察方向以29速度 0.8c 離我們而去．問這顆星的固有周期為多少?解: 以脈沖星為 S?系， 0???x，固有周期 0????t.地球為 S系，則有運動時 t????1，這里 1t?不是地球上某點觀測到的周期，而是以地球為參考系的兩異地鐘讀數(shù)之差．還要考慮因飛行遠離信號的傳遞時間， ctv1∴ ttt?????1′)(cv???6.01)8.(12?則 ???).(5)(0 cvtt????s16.0836.)1(5.??3-12 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個 ?介子以速度 v=0.998c 飛向地球．假定該 ?介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命 2×10-6s．試分別從下面兩個角度，即地球上的觀測者和 ?介子靜止系中觀測者來判斷 介子能否到達地球．解: 介子在其自身靜止系中的壽命 10260???t?是固有(本征)時間，對地球觀測者，由于時間膨脹效應(yīng)，其壽命延長了．衰變前經(jīng)歷的時間為 s.352?cvt這段時間飛行距離為 m9470?tvd?因 m60?d，故該 ?介子能到達地球．或在 ?介子靜止系中， 介子是靜止的．地球則以速度 v接近介子，在 0t?時間內(nèi)，地球接近的距離為 50?t0?經(jīng)洛侖茲收縮后的值為： m379120???cvd0d??，故 ?介子能到達地球．3-13 設(shè)物體相對 S′系沿 x?軸正向以 0.8c 運動，如果 S′系相對 S 系沿 x 軸正向的速度也是 0.8c，問物體相對 S 系的速度是多少?解: 根據(jù)速度合成定理， cu8.0?,vx.?∴ ccxx 98.0.80122????3-14 飛船 A以 0.8c 的速度相對地球向正東飛行，飛船 B以 0.6c 的速度相對地球向正西方向飛行．當兩飛船即將相遇時 A飛船在自己的天窗處相隔 2s 發(fā)射兩顆信號彈．在 B飛30船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少?解: 取 B為 S系，地球為 ?系，自西向東為 x( ?)軸正向，則 A對 S?系的速度cvx8.0??， ?系對 系的速度為 cu6.0?，則 A對 S系( B船)的速度為ccvxx 946.08.12???發(fā)射彈是從 A的同一點發(fā)出，其時間間隔為固有時 s2?t?，題 3-14 圖∴ B中測得的時間間隔為： s17.694.0122????cvttx?3-15 (1)火箭 A和 B分別以 0.8c 和 0.6c 的速度相對地球向+ x和- 方向飛行．試求由火箭 B測得 的速度． (2)若火箭 A相對地球以 0.8c 的速度向+ y方向運動，火箭 B的速度不變，求 相對 的速度．解: (1)如圖 a，取地球為 S系， 為 ?系，則 S?相對 的速度 cu6.0?，火箭 A相對S的速度 cvx8.0?，則 相對 ?( )的速度為： cvcuxx 94.)8.0(61.22???或者取 A為 S?系，則 8.0， B相對 S系的速度 cvx6.?，于是 B相對 A的速度為： cvcuxx 94.0).(8.01622 ????(2)如圖 b，取地球為 S系，火箭 為 S?系， ?系相對 S系沿 x方向運動，速度cu6.0??， A對 系的速度為, x, y.,由洛侖茲變換式 A相對 B的速度為：cvcuxx 6.01).(012????? cvcuvxyy 64.0)8.(122?∴ A相對 B的速度大小為 cyx.2????