高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第14講 導數(shù)在函數(shù)中的應用課件 理.ppt

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第14講 導數(shù)在函數(shù)中的應用 1 了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系 能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 其中多項式函數(shù)一般不超過三次 2 了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件 會用導數(shù)求函數(shù)的極大值 極小值 其中多項式函數(shù)一般不超過三次 會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值 最小值 其中多項式函數(shù)一般不超過三次 1 函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)可導 則 1 若f x 0 則f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞增 2 若f x 0 則f x 在 a b 內(nèi) 2 函數(shù)的極值 1 判斷f x0 是極值的方法 一般地 當函數(shù)f x 在點x0處連續(xù)時 單調(diào)遞減 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極大值 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那 么f x0 是極小值 f x 0 f x 0 2 求可導函數(shù)極值的步驟 求f x 求方程f x 0的根 檢查f x 在方程f x 0的根的左 右值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得 如果左右兩側(cè)符號一樣 那么這個根不是極值點 極小值 3 函數(shù)的最值 1 函數(shù)f x 在 a b 上有最值的條件 如果在區(qū)間 a b 上 函數(shù)y f x 的圖象是一條連續(xù)不斷 的曲線 那么它必有最大值和最小值 2 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則f a 為函數(shù)的最小 值 f b 為函數(shù)的最大值 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則f a 為函數(shù)的最大值 f b 為函數(shù)的最小值 3 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步驟 求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的極值 將函數(shù)y f x 的各 與端點值比較 其中最大的 一個是最大值 最小的一個是最小值 極值 1 f x x3 3x2 2在區(qū)間 1 1 上的最大值是 C A 2 B 0 C 2 D 4 2 2013年廣州二模 已知e為自然對數(shù)的底數(shù) 函數(shù)y xex的單調(diào)遞增區(qū)間是 A 1 C 1 B 1 D 1 A 3 2013年河南鄭州模擬 函數(shù)f x 的定義域為開區(qū)間 a b 導函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)的圖象如圖2 14 1 則函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)的極大值點有 圖2 14 1 A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 4 函數(shù)f x x3 3x2 1在x 處取得極小值 B 2 考點1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 1 求a的值 2 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 解得x 1 舍 或x 5 當x 0 5 時 f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 因此 函數(shù)f x 在x 5時取得極小值 且極小值為f 5 ln5 規(guī)律方法 1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時要養(yǎng)成列表的習慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 如果一個函數(shù)在給定定義域上的單調(diào)區(qū)間不止一個 這些區(qū)間之間一般不能用并集符號 連接 只能用 或 和 字隔開 2 f x 0 或f x 0 是 函數(shù)f x 在某區(qū)間上為增函數(shù) 或減函數(shù) 的充分不必要條件 f x0 0 是 函數(shù)f x 在x x0處取得極值 的必要不充分條件 互動探究 1 函數(shù)f x 在x x0處的導數(shù)存在 若命題p f x0 0 命題q x x0是f x 的極值點 則p是q的 C A 充分必要條件C 必要不充分條件 B 充分不必要條件D 既不充分也不必要條件 解析 若x x0是f x 的極值點 則f x0 0 若f x0 0 而x x0不一定是f x 的極值點 如f x x3 當x 0時 f 0 0 但x 0不是極值點 故p是q的必要不充分條件 故選C 考點2 函數(shù)的最值 1 若f x 在x 2處的切線與直線3x 2y 1 0平行 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 求f x 在區(qū)間 1 e 上的最小值 令f x 0 得x 1 f x 與f x 的情況如下表 所以f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 0 1 單調(diào)遞增區(qū)間是 1 規(guī)律方法 求函數(shù)的最值時 不可想當然地認為極值點就是最值點 要對函數(shù)y f x 的各極值與端點值進行比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 互動探究 考點3 利用導數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問題 1 若a 3 試確定函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若f x 在其圖象上任一點 x0 f x0 處的切線斜率都小于2a2 求實數(shù)a的取值范圍 由f x 3 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 1 3 單調(diào)遞減區(qū)間為 1 和 3 2 因為f x x2 2x a 由題意 得f x x2 2x a 2a2對任意x R恒成立 即 x2 2x 2a2 a對任意x R恒成立 設g x x2 2x 所以g x x2 2x x 1 2 1 所以當x 1時 g x 有最大值為1 因為對任意x R x2 2x 2a2 a恒成立 規(guī)律方法 若f x 在其圖象上任一點處的切線斜率都小于2a2 即f x x2 2x a 2a2對任意x R恒成立 分離變量得 x2 2x 2a2 a對任意x R恒成立 求 x2 2x的最大值即可 互動探究 3 函數(shù)f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 2 若f 1 e 1 求使f x e2對x 1 e 恒成立的實數(shù)a的值 注 e為自然對數(shù)的底數(shù) 2 由f 1 a 1 e 1 即a e 由 1 知 f x 在 1 e 內(nèi)單調(diào)遞增 要使f x e2對x 1 e 恒成立 只要f e e2 則a2lne e2 ae e2 即a2 ae 2e2 0 a 2e a e 0 解得a e 所以a e 思想與方法 運用分類討論思想討論函數(shù)的單調(diào)性 例題 2013年廣東東莞一模 已知函數(shù)f x x2 ax blnx x 0 實數(shù)a b為常數(shù) 1 若a 1 b 1 求函數(shù)f x 的極值 2 若a b 2 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性