2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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1.1.1正弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等即：2R.(R為ABC外接圓的半徑)知識(shí)點(diǎn)二正弦定理的變形公式(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.(2)sinA，sinB，sinC(其中R是ABC外接圓的半徑)知識(shí)點(diǎn)三解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形1正弦定理對(duì)任意的三角形都成立()2在ABC中，等式bsinCcsinB總能成立()3在ABC中，已知a，b，A，則能求出唯一的角B.()4任意給出三角形的三個(gè)元素，都能求出其余元素()題型一已知兩角及一邊解三角形例1在ABC中，已知A30，B60，a10，解三角形解根據(jù)正弦定理，得b10.又C180(3060)90.c20.反思感悟(1)正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：，每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè)(2)因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180，所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B45，C60，c1，則ABC最短邊的邊長(zhǎng)等于()A.B.C.D.答案A解析由三角形內(nèi)角和定理，得A180(BC)75，所以B是最小角，b為最短邊由正弦定理，得，即，則b，故選A.題型二已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解三角形解，sinC，ca，C(0，180)，C60或C120.當(dāng)C60時(shí)，B75，b1；當(dāng)C120時(shí)，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.引申探究若把本例中的條件“A45”改為“C45”，則角A有幾個(gè)值？解，sin A.c2a，CA.A為小于45的銳角，且正弦值為，這樣的角A只有一個(gè)反思感悟這一類型題目的解題步驟為用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；根據(jù)正弦定理求出第三條邊其中進(jìn)行時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，若a，b2，A30，則C.答案105或15解析由正弦定理，得sinB.B(0，180)，B45或135，C1804530105或C1801353015.題型三正弦定理的證明例3ABC的外接圓O的半徑為R，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，證明：2R.證明若A為直角(如圖1所示)，在RtBAC中，可直接得a2RsinA；在銳角ABC中，如圖2，連接BO并延長(zhǎng)，交外接圓于點(diǎn)A，連接AC，則圓周角AA.AB為直徑，長(zhǎng)度為2R，ACB90，sinA，sinA，a2RsinA.若A為鈍角(如圖3所示)，作直徑BA，連接AC，則AA，在RtBCA中，BCABsinA2Rsin(A)2RsinA，即a2RsinA.由得a2RsinA，即2R，同理可證，2R，2R.所以2R.反思感悟引入三角形的外接圓半徑，可以加深理解正弦定理的幾何意義，更加方便實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角互化三角形形狀的判斷典例在ABC中，已知，且sin2Asin2Bsin2C.求證：ABC為等腰直角三角形證明，又，a2b2即ab，設(shè)k(k0)，則sin A，sin B，sin C，又sin2Asin2Bsin2C，即a2b2c2，ABC為等腰直角三角形素養(yǎng)評(píng)析(1)正弦定理是以比例的形式給出來(lái)的，所以在應(yīng)用時(shí)要注意結(jié)合比例的基本性質(zhì)(2)正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化(3)判斷和證明要掌握推理的基本形式和規(guī)則，形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì)，突出體現(xiàn)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1.在ABC中，一定成立的等式是()AasinAbsinBBacosAbcosBCasinBbsinADacosBbcosA答案C解析由正弦定理，得asinBbsinA，故選C.2在ABC中，若sinAsinC，則ABC是()A直角三角形B等腰三角形C銳角三角形D鈍角三角形答案B解析由sinAsinC及正弦定理，知ac，ABC為等腰三角形3在ABC中，已知a8，B60，C75，則b等于()A4B4C4D4答案C解析易知A45，由得b4.4在ABC中，若a，b，B，則A.答案或解析由正弦定理，得sinA，又A(0，)，ab，AB，A或.5在ABC中，已知a，sinC2sinA，則c.答案2解析由正弦定理，得c2a2.1.正弦定理的表示形式：2R，或a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(其中R為ABC外接圓的半徑)2.正弦定理的應(yīng)用范圍(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余一角(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其余兩角3.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求唯一銳角(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類討論.一、選擇題1在ABC中，a5，b3，則sinAsinB的值是()A.B.C.D.答案A解析根據(jù)正弦定理，得.2在ABC中，若A105，B45，b2，則c等于()A1B2C.D.答案B解析A105，B45，C30.由正弦定理，得c2.3在ABC中，absinA，則ABC一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形答案B解析由題意可知b，則sinB1，又B(0，)，故B為直角，ABC是直角三角形4在ABC中，若，則C的值為()A30B45C60D90答案B解析由正弦定理知，cosCsinC，tanC1，又C(0，180)，C45.5在ABC中，若sinAsinB，則A與B的大小關(guān)系為()AABBAsinB，2RsinA2RsinB(R為ABC外接圓的半徑)，即ab，故AB.6在ABC中，已知A，a，b1，則c的值為()A1B2C.1D.答案B解析由正弦定理，可得，sinB，由ab，得AB，B，B.故C，由勾股定理得c2.7在ABC中，a15，b10，A60，則cosB等于()AB.CD.答案D解析由正弦定理，得，sinB.ab，AB，又A60，B為銳角cosB.8(2018北京高二檢測(cè))在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cosC等于()A.B.C.D.答案A解析因?yàn)樵贏BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，所以8sin B5sin C5sin 2B10sin Bcos B，所以cos B，又B為三角形內(nèi)角，所以sin B.所以sinCsin2B2.又cosBcos45，所以B45，C2BbcsinB，即2b，故答案為(，2)三、解答題12已知在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c10，A45，C30，求a，b和B.解，a10.B180(AC)180(4530)105.又，b20sin 75205()13在ABC中，acosbcos，試判斷ABC的形狀解方法一acosbcos，asinAbsinB.由正弦定理，可得ab，a2b2，ab，ABC為等腰三角形方法二acosbcos，asinAbsinB.由正弦定理，可得2Rsin2A2Rsin2B，又A，B(0，)，sinAsinB，AB(AB不合題意，舍去)故ABC為等腰三角形14ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA，cosC，a1，則b.答案解析在ABC中，由cosA，cosC，可得sinA，sinC，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，又a1，由正弦定理得b.15在ABC中，若b5，B，tanA2，則sinA，a.答案2解析由tanA2，得sinA2cosA，由sin2Acos2A1及0A，得sinA，b5，B，由正弦定理，得a2.