2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡單性質(zhì)（第2課時）拋物線簡單性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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第2課時　拋物線簡單性質(zhì)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步認(rèn)識拋物線的幾何特性.2.學(xué)會解決直線與拋物線相關(guān)的綜合問題． 知識點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 1．直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點(diǎn)個數(shù) 位置關(guān)系 公共點(diǎn)個數(shù) 相交 有兩個或一個公共點(diǎn) 相切 有且只有一個公共點(diǎn) 相離 無公共點(diǎn) 2.直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的個數(shù)．當(dāng)k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時，直線與拋物線有一個公共點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點(diǎn)． 1．若直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切．(　　) 2．直線與拋物線相交弦的弦長公式是|AB|＝|x1－x2|＝x1＋x2＋p.(　　) 3．過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.(　√　) 題型一　直線與拋物線的位置關(guān)系 例1　已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x，問：k為何值時，直線l與拋物線C有兩個交點(diǎn)，一個交點(diǎn)，無交點(diǎn)？ 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線公共點(diǎn)的個數(shù) 解　由方程組 消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)． (1)若直線與拋物線有兩個交點(diǎn)， 則k2≠0且Δ>0， 即k2≠0且16(1－k2)>0， 解得k∈(－1,0)∪(0,1)． 所以當(dāng)k∈(－1,0)∪(0,1)時， 直線l和拋物線C有兩個交點(diǎn)． (2)若直線與拋物線有一個交點(diǎn)， 則k2＝0或當(dāng)k2≠0時，Δ＝0， 解得k＝0或k＝1. 所以當(dāng)k＝0或k＝1時，直線l和拋物線C有一個交點(diǎn)． (3)若直線與拋物線無交點(diǎn)， 則k2≠0且Δ<0. 解得k>1或k<－1. 所以當(dāng)k>1或k<－1時， 直線l和拋物線C無交點(diǎn)． 反思感悟　直線與拋物線交點(diǎn)的個數(shù)，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù)．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍是(　　) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線公共點(diǎn)的個數(shù) 答案　C 解析　準(zhǔn)線方程為x＝－2，Q(－2,0)． 設(shè)l：y＝k(x＋2)， 由 得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. 當(dāng)k＝0時，x＝0，即交點(diǎn)為(0,0)； 當(dāng)k≠0時，由Δ≥0，得－1≤k<0或00.① 設(shè)弦的兩端點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， ∴y1＋y2＝，y1y2＝. ∵P1P2的中點(diǎn)為(4,1)， ∴＝2，∴k＝3，適合①式． ∴所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 方法二　設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 則y＝6x1，y＝6x2， ∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2， ∴＝＝3， ∴所求直線的斜率k＝3， 故所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0. 由得y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 反思感悟　中點(diǎn)弦問題解題策略兩方法 跟蹤訓(xùn)練2　已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y＝2x－4所得的弦長|AB|＝3，求此拋物線的方程． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　由拋物線弦長求解相關(guān)問題 解　設(shè)所求拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0， 由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32. 又∵x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝＝3， 即5＝45， ∴a＝4或a＝－36，滿足Δ>0. ∴所求拋物線方程為y2＝4x或y2＝－36x. 題型三　拋物線中的定點(diǎn)(定值)問題 例3　已知點(diǎn)A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB. (1)求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； (2)求證：直線AB過定點(diǎn)． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線相交時的其他問題 (1)解　設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則kOA＝，kOB＝. 因為OA⊥OB，所以kOAkOB＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝0. 因為y＝2px1，y＝2px2， 所以＋y1y2＝0. 因為y1≠0，y2≠0， 所以y1y2＝－4p2， 所以x1x2＝4p2. (2)證明　因為y＝2px1，y＝2px2， 所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 所以＝， 所以kAB＝， 故直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)， 所以y＝＋y1－， 即y＝＋. 因為y＝2px1，y1y2＝－4p2， 所以y＝＋， 所以y＝(x－2p)， 即直線AB過定點(diǎn)(2p,0)． 反思感悟　在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題，解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等，解決這類問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，過拋物線y2＝x上一點(diǎn)A(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線相交時的其他問題 證明　設(shè)kAB＝k(k≠0)． ∵直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ)， ∴kAC＝－k(k≠0)， 即直線AB的方程是y＝k(x－4)＋2. 由方程組 消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k)x＋16k2－16k＋4＝0. ∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解， ∴4xB＝， 即xB＝. 以－k代換xB中的k，得xC＝. ∴kBC＝＝ ＝＝＝－. ∴直線BC的斜率為定值. 1．過點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點(diǎn)的直線有(　　) A．4條 B．3條 C．2條 D．1條 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線公共點(diǎn)的個數(shù)問題 答案　B 解析　當(dāng)斜率不存在時，過P(0,1)的直線是y軸，與拋物線y2＝x只有一個公共點(diǎn)． 當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線為y＝kx＋1. 由 得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0， 當(dāng)k＝0時，符合題意； 當(dāng)k≠0時，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0， 得k＝. ∴與拋物線只有一個交點(diǎn)的直線共有3條． 2．若拋物線y2＝2x上有兩點(diǎn)A，B，且AB垂直于x軸，若|AB|＝2，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　由拋物線的弦長求解相關(guān)問題 答案　A 解析　線段AB所在的直線的方程為x＝1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1－＝. 3．直線y＝x＋b交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，O為拋物線頂點(diǎn)，OA⊥OB，則b的值為(　　) A．－1B．0C．1D．2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　D 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將y＝x＋b代入y＝x2， 化簡可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2. 又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0， 即－2b＋b2＝0，則b＝2或b＝0， 經(jīng)檢驗當(dāng)b＝0時，不符合題意，故b＝2. 4．過M(2,0)作斜率為1的直線l交拋物線y2＝4x于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　4 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意知l的方程為y＝x－2，與y2＝4x聯(lián)立得， x2－8x＋4＝0，則x1＋x2＝8，x1x2＝4， 所以|AB|＝|x2－x1|＝＝4. 5．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上任意一點(diǎn)，若＝－4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)． 考點(diǎn)　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　拋物線方程的應(yīng)用 解　由題意知F(1,0)，設(shè)A，則＝， ＝，由＝－4，可得y0＝2， 所以A(1，2)． 求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法：直線和拋物線的弦長問題、中點(diǎn)弦問題及垂直、對稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略，對題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 一、選擇題 1．過拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為(　　) A．2B.C.D．1 考點(diǎn)　拋物線的焦點(diǎn)弦問題 題點(diǎn)　求拋物線的焦點(diǎn)弦長 答案　B 解析　拋物線y＝2x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)y＝時，x＝， ∴過拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為. 2．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 考點(diǎn)　直線與拋物線位置關(guān)系 題點(diǎn)　求拋物線中的直線方程 答案　D 解析　設(shè)直線方程為2x－y＋m＝0， 由得x2－2x－m＝0， Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1， ∴直線方程為2x－y－1＝0. 3．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k等于(　　) A．2或－1 B．－1 C．2 D．3 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　弦中點(diǎn)問題 答案　C 解析　聯(lián)立消去y 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，Δ＝[－(4k＋8)]2－16k2>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝2， 即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4， ∴k＝2或－1， 經(jīng)判別式檢驗知k＝2符合題意． 4．已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p>0)，則(　　) A．直線與拋物線有一個公共點(diǎn) B．直線與拋物線有兩個公共點(diǎn) C．直線與拋物線有一個或兩個公共點(diǎn) D．直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn) 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線公共點(diǎn)個數(shù)問題 答案　C 解析　∵直線y＝kx－k＝k(x－1)， ∴直線過點(diǎn)(1,0)， 又點(diǎn)(1,0)在拋物線y2＝2px的內(nèi)部， ∴當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有一個公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)． 5．經(jīng)過點(diǎn)P(－2,1)且斜率為k的直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點(diǎn)，則k的取值范圍為(　　) A．{0，－1} B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　D 解析　經(jīng)過點(diǎn)P(－2,1)且斜率為k的直線l的方程可設(shè)為y＝k(x＋2)＋1，代入拋物線方程y2＝4x， 整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，(*) 直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)等價于方程(*)只有一個根． 當(dāng)k＝0時，y＝1符合題意； 當(dāng)k≠0時，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0， 整理得2k2＋k－1＝0，解得k＝或k＝－1. 綜上可得，k＝或k＝－1或k＝0時，直線l與拋物線只有一個公共點(diǎn)， 故k∈. 6．過點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為(　　) A．2B．2C．2D．2 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　弦長問題 答案　B 解析　由直線方程為y＝－2(x－1)， 聯(lián)立方程 得y2＋4y－8＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝－4，y1y2＝－8， ∴|AB|＝＝2. 7．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案　B 解析　拋物線的焦點(diǎn)為F，所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得＝p＝2(y1，y2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1. 8．已知直線l：y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M，N，若|AM|＝2|BN|，則k的值是(　　) A.B.C．2D. 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　綜合應(yīng)用 答案　D 解析　設(shè)拋物線C：y2＝8x的準(zhǔn)線為m：x＝－2. 直線y＝k(x＋2)(k>0)恒過定點(diǎn)P(－2,0)， 如圖， 過A，B分別作AM⊥m于M，BN⊥m于N. 由|AM|＝2|BN|， 得點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連接OB， 則|OB|＝|AF|， ∴|OB|＝|BF|，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)． 把B(1,2)代入直線l：y＝k(x＋2)(k>0)， 解得k＝，故選D. 二、填空題 9．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點(diǎn)，則k＝________. 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　綜合應(yīng)用 答案　0或1 解析　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0， 當(dāng)k＝0時，直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)； 當(dāng)k≠0時，由Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，得k＝1， ∴k＝0或1. 10．拋物線焦點(diǎn)在y軸上，截得直線y＝x＋1的弦長為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　弦長問題 答案　x2＝－20y或x2＝4y 解析　設(shè)拋物線方程為x2＝ay(a≠0)， 由得x2－x－a＝0. 設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－a， |AB|＝ ＝＝5， 得a＝－20或4，經(jīng)檢驗，a＝－20或4都符合題意． ∴拋物線方程為x2＝－20y或x2＝4y. 11.如圖，直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為______． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線相交時的其他問題 答案　48 解析　由消去y，得x2－10x＋9＝0， 設(shè)B，A兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 解得或 ∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8， ∴梯形APQB的面積為48. 三、解答題 12．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點(diǎn)． (1)求證：OA⊥OB； (2)當(dāng)△OAB的面積等于時，求k的值． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線的綜合應(yīng)用 (1)證明　如圖所示， 由 消去x得，ky2＋y－k＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 y1y2＝－1，y1＋y2＝－. 因為A，B在拋物線y2＝－x上， 所以y＝－x1，y＝－x2， 所以yy＝x1x2. 因為kOAkOB＝ ＝＝＝－1， 所以O(shè)A⊥OB. (2)解　設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N，顯然k≠0， 令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)． 因為S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON||y1－y2|， 所以S△OAB＝1 ＝. 因為S△OAB＝， 所以＝， 解得k＝. 13．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)M(2，y0)到焦點(diǎn)F的距離等于3. (1)求拋物線C的方程； (2)若過點(diǎn)D(3,0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最小值． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線相交時的其他問題 解　(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴M(2，y0)到焦點(diǎn)的距離為2＋＝3， ∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)AB的方程為x＝my＋3，由 得y2－4my－12＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－12， ∴|y1－y2|＝＝， ∴S△ABF＝|FD||y1|＋|FD||y2|＝|y1|＋|y2| ＝|y1－y2|＝≥4， ∴當(dāng)m＝0時，S△ABF取得最小值4. 14.如圖，過拋物線x2＝4y焦點(diǎn)的直線依次交拋物線和圓x2＋(y－1)2＝1于點(diǎn)A，B，C，D，則|AB||CD|的值是(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 考點(diǎn)　拋物線的定義 題點(diǎn)　由拋物線定義求距離 答案　D 解析　方法一　特殊化(只要考查直線y＝1時的情形)． 方法二　拋物線焦點(diǎn)為F(0,1)， 由題意知，直線的斜率存在， 設(shè)直線為y＝kx＋1， 與x2＝4y聯(lián)立得y2－(4k2＋2)y＋1＝0， 由于|AB|＝|AF|－1＝y(tǒng)A，|CD|＝|DF|－1＝y(tǒng)D， 所以|AB||CD|＝y(tǒng)AyD＝1. 15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點(diǎn)． (1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值； (2)如果＝－4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)． 考點(diǎn)　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與拋物線相交時的其他問題 解　(1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)， 設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線方程y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 所以＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4b＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b. 因為＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b， 又＝－4，∴b2－4b＝－4， 解得b＝2，故直線l過定點(diǎn)(2,0)．