2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末考試試題 理(普通班含解析).doc

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2019-2020學年高二數(shù)學上學期期末考試試題 理(普通班，含解析) 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 命題：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為 的否定是 所以命題：“”的否定是,選C 2. 已知空間向量，，則等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 ,選A 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】且. 所以“”是“”的必要不充分條件. 故選B. 4. 已知變量滿足約束條件則的最小值為（ ） A. 1 B. 2 C. -3 D. -4 【答案】D 【解析】根據題意畫出可行域，是一個封閉的三角形區(qū)域，目標函數(shù)， 當目標函數(shù)過點 時有最小值，代入得到-4. 故答案為：D。 5. 在長方體中，，，，是中點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,選C 6. 函數(shù)的導數(shù)為，則（ ） A. B. C. -1 D. 0 【答案】A 【解析】由題 ， .故選A. 7. 在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前12項和等于（ ） A. 36 B. 54 C. 63 D. 73 【答案】B 【解析】 ,選B 8. 設橢圓的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與直線相切，則該橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題以為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為c, 所以 ，即 ，解得.故選C. 點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 9. 已知，，，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,選B 10. 已知過雙曲線右焦點，斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點，點為左焦點，且，則此雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，∵過雙曲線右焦點的直線，∴，代入雙曲線，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故選C. 11. 函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在上恒成立,所以 令 所以當時, ,即,選C 12. 已知長方體，，，為線段上一點，且，則與平面所成的角的正弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A .................. 設平面一個法向量為 ，則由 因為 ，所以與平面所成的角的正弦值為，選A 點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”. 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為__________． 【答案】 【解析】由題一個焦點（3，0）到一條漸近線 的距離 . 14. 若拋物線與拋物線異于原點的交點到拋物線的焦點的距離為3，則拋物線的方程為__________． 【答案】 【解析】根據題意畫出圖像，由拋物線的定義，曲線上的點到焦點的距離和到準線的距離相等，設A， 代入曲線，得到。故方程為 故答案為：。 點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質．解題的關鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關的小題，很多時可以應用結論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關，實現(xiàn)點點距和點線距的轉化。 15. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】因為等比數(shù)列的前項和為 ，所以 因為，所以 令 所以當時， 取最大值 ， 點睛：求解數(shù)列中的最大項或最小項的一般方法 先研究數(shù)列的單調性，可以用或也可以轉化為函數(shù)最值問題或利用數(shù)形結合求解.. 16. 如圖，在長方體中，，，點在棱上.若二面角的大小為，則__________． 【答案】 【解析】過點作于，連接，如圖所示 則為直線與平面所成的角 ∵直線與平面所成的角為 ∴ ∴ ∴ ∵≌ ∴ ∴，故答案為 三、解答題 （本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17. 命題：“方程有兩個正根”，命題：“方程無實根”，這兩個命題有且只有一個成立，試求實數(shù)的取值范圍. 【答案】或 【解析】試題分析：先根據二次方程實根分布得命題為真時實數(shù)的取值范圍，再根據判別式小于零得命題為真時實數(shù)的取值范圍，最后根據兩個命題有且只有一個成立，分兩種情況討論，分別求解，再求并集 試題解析：命題為真時：解得， 命題為真時：，解得， 當真假時：故有， 當假真時：故有， 實數(shù)的取值范圍為：或. 18. 的三個內角所對的對邊分別為，且. （1）求； （2）若，，求的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由及正弦定理，得， 又中，，可得. （2）由結合（1）中的，及可得，所以，，由余弦定理可求得. 試題解析：（1）∵， ∴由正弦定理，得， 又中，，∴. （2）時，，又，∴， 又，∴，∴，， ∴，∴. 19. 如圖，直三棱柱中，，，，點是中點，點在上，且. （1）求與平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）建立空間坐標系，求得面的法向量和直線的方向向量，利用向量夾角的求法可得到正弦值；（2）建立空間坐標系，求得兩個面的法向量，利用向量夾角的求法可得到余弦值. 解析： 由直三棱柱中，知兩兩互相垂直， 以為軸建立空間直角坐標系， ∵，，∴，，，，，， 中點. (1)，，， 設平面的一個法向量，則，，， 取，則， ， ∴直線與平面所成角的正弦值為. (2)，設平面的一個法向量為， 則， 取，則，， 結合圖形知，二面角的余弦值為. 點睛：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關系，平面和平面的夾角。求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關系求出二面角，二是建系求兩個面的法向量。 20. 已知是拋物線上兩點，且與兩點橫坐標之和為3. （1）求直線的斜率； （2）若直線，直線與拋物線相切于點，且，求方程. 【答案】(1) 直線的斜率為 (2) 【解析】試題分析：（1）根據已知條件，設直線AB的解析式為y=kx+t，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，利用A與B的橫坐標之和為3，結合一元二次方程的根與系數(shù)的關系求出k的值； （2）設出過點M的切線方程，由切線與曲線只有一個交點，確定點M的坐標；再利用AM⊥BM可得kAMkBM=-1，將相應的值代入，再結合根與系數(shù)的關系進行計算，求出b即可得到答案. 試題解析：（1）設方程為，則由，得， 時，設，，則， 又，∴，即直線的斜率為. （2）∵，∴可設方程為，∴，得， ∵是切線，∴，∴，∴， ∴，，∴， ∵，∴， 又，，，， 又，，∴，，∴或， 又，∴方程為. 21. 如圖，橢圓的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為，若，與軸垂直，且. （1）求橢圓方程； （2）過點且不垂直于坐標軸的直線與橢圓交于兩點，已知點，當時，求滿足的直線的斜率的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由兩條直線平行可得，由點在曲線上可得其縱坐標為，由兩者相等可得，結合，解出方程組即可；（2）設直線的方程為：，，，與橢圓方程聯(lián)立利用根與系數(shù)的關系得到和，線段的垂直平分線方程為，求出與軸的交，由交點橫坐標列出不等式，解出即可得出結果. 試題解析：(1)設，由軸，知，，∴， 又由得，∴，∴， 又，， ∴，，∴橢圓方程為. (2)設，，直線的方程為：， 聯(lián)立，得，， 設線段的垂直平分線方程為：. 令，得， 由題意知，為線段的垂直平分線與軸的交點，所以，且，所以. 點睛：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題；利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，根據題意列出兩個關于的方程組結合即可，直線與橢圓相交時正確運用一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解題最常用的方法. 22. 已知函數(shù). （1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域. （2）對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再求導數(shù)，得從而確定，再根據單調性得值域（2）先整理不等式得，轉化為函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，再轉化為對應函數(shù)導數(shù)恒非負，分離變量得最小值，最后利用導數(shù)求函數(shù)單調性，得最值，即得實數(shù)的取值范圍. 試題解析：（1）當時，， ， 令，有， 當時，， 當時， 得，解得：， 故當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增， 所以當時，，可得， 函數(shù)在區(qū)間上單調遞減， ， ， 故函數(shù)在區(qū)間上的值域為. （2）由，有， 故可化為， 整理為：， 即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)， ， ，故當時，， 即， ①當時，； ②當時，整理為：， 令，有 ， 當，，，有， 當時，由，有 ，可得， 由上知時，函數(shù)單調遞減， 故， 故有：，可得. 點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.