2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(普通班含解析).doc

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2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(普通班，含解析) 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 命題：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因?yàn)?的否定是 所以命題：“”的否定是,選C 2. 已知空間向量，，則等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 ,選A 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】且. 所以“”是“”的必要不充分條件. 故選B. 4. 已知變量滿足約束條件則的最小值為（ ） A. 1 B. 2 C. -3 D. -4 【答案】D 【解析】根據(jù)題意畫出可行域，是一個(gè)封閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)， 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn) 時(shí)有最小值，代入得到-4. 故答案為：D。 5. 在長方體中，，，，是中點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,選C 6. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則（ ） A. B. C. -1 D. 0 【答案】A 【解析】由題 ， .故選A. 7. 在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前12項(xiàng)和等于（ ） A. 36 B. 54 C. 63 D. 73 【答案】B 【解析】 ,選B 8. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與直線相切，則該橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題以為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為c, 所以 ，即 ，解得.故選C. 點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 9. 已知，，，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,選B 10. 已知過雙曲線右焦點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，∵過雙曲線右焦點(diǎn)的直線，∴，代入雙曲線，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故選C. 11. 函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在上恒成立,所以 令 所以當(dāng)時(shí), ,即,選C 12. 已知長方體，，，為線段上一點(diǎn)，且，則與平面所成的角的正弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A .................. 設(shè)平面一個(gè)法向量為 ，則由 因?yàn)?，所以與平面所成的角的正弦值為，選A 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為__________． 【答案】 【解析】由題一個(gè)焦點(diǎn)（3，0）到一條漸近線 的距離 . 14. 若拋物線與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為3，則拋物線的方程為__________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意畫出圖像，由拋物線的定義，曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，設(shè)A， 代入曲線，得到。故方程為 故答案為：。 點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化。 15. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為 ，所以 因?yàn)?，所? 令 所以當(dāng)時(shí)， 取最大值 ， 點(diǎn)睛：求解數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的一般方法 先研究數(shù)列的單調(diào)性，可以用或也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或利用數(shù)形結(jié)合求解.. 16. 如圖，在長方體中，，，點(diǎn)在棱上.若二面角的大小為，則__________． 【答案】 【解析】過點(diǎn)作于，連接，如圖所示 則為直線與平面所成的角 ∵直線與平面所成的角為 ∴ ∴ ∴ ∵≌ ∴ ∴，故答案為 三、解答題 （本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17. 命題：“方程有兩個(gè)正根”，命題：“方程無實(shí)根”，這兩個(gè)命題有且只有一個(gè)成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】或 【解析】試題分析：先根據(jù)二次方程實(shí)根分布得命題為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，再根據(jù)判別式小于零得命題為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)兩個(gè)命題有且只有一個(gè)成立，分兩種情況討論，分別求解，再求并集 試題解析：命題為真時(shí)：解得， 命題為真時(shí)：，解得， 當(dāng)真假時(shí)：故有， 當(dāng)假真時(shí)：故有， 實(shí)數(shù)的取值范圍為：或. 18. 的三個(gè)內(nèi)角所對的對邊分別為，且. （1）求； （2）若，，求的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由及正弦定理，得， 又中，，可得. （2）由結(jié)合（1）中的，及可得，所以，，由余弦定理可求得. 試題解析：（1）∵， ∴由正弦定理，得， 又中，，∴. （2）時(shí)，，又，∴， 又，∴，∴，， ∴，∴. 19. 如圖，直三棱柱中，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且. （1）求與平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）建立空間坐標(biāo)系，求得面的法向量和直線的方向向量，利用向量夾角的求法可得到正弦值；（2）建立空間坐標(biāo)系，求得兩個(gè)面的法向量，利用向量夾角的求法可得到余弦值. 解析： 由直三棱柱中，知兩兩互相垂直， 以為軸建立空間直角坐標(biāo)系， ∵，，∴，，，，，， 中點(diǎn). (1)，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，， 取，則， ， ∴直線與平面所成角的正弦值為. (2)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則， 取，則，， 結(jié)合圖形知，二面角的余弦值為. 點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，平面和平面的夾角。求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，二是建系求兩個(gè)面的法向量。 20. 已知是拋物線上兩點(diǎn)，且與兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為3. （1）求直線的斜率； （2）若直線，直線與拋物線相切于點(diǎn)，且，求方程. 【答案】(1) 直線的斜率為 (2) 【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，利用A與B的橫坐標(biāo)之和為3，結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值； （2）設(shè)出過點(diǎn)M的切線方程，由切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，確定點(diǎn)M的坐標(biāo)；再利用AM⊥BM可得kAMkBM=-1，將相應(yīng)的值代入，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，求出b即可得到答案. 試題解析：（1）設(shè)方程為，則由，得， 時(shí)，設(shè)，，則， 又，∴，即直線的斜率為. （2）∵，∴可設(shè)方程為，∴，得， ∵是切線，∴，∴，∴， ∴，，∴， ∵，∴， 又，，，， 又，，∴，，∴或， 又，∴方程為. 21. 如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，與軸垂直，且. （1）求橢圓方程； （2）過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求滿足的直線的斜率的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）由兩條直線平行可得，由點(diǎn)在曲線上可得其縱坐標(biāo)為，由兩者相等可得，結(jié)合，解出方程組即可；（2）設(shè)直線的方程為：，，，與橢圓方程聯(lián)立利用根與系數(shù)的關(guān)系得到和，線段的垂直平分線方程為，求出與軸的交，由交點(diǎn)橫坐標(biāo)列出不等式，解出即可得出結(jié)果. 試題解析：(1)設(shè)，由軸，知，，∴， 又由得，∴，∴， 又，， ∴，，∴橢圓方程為. (2)設(shè)，，直線的方程為：， 聯(lián)立，得，， 設(shè)線段的垂直平分線方程為：. 令，得， 由題意知，為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，所以，且，所以. 點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題；利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，根據(jù)題意列出兩個(gè)關(guān)于的方程組結(jié)合即可，直線與橢圓相交時(shí)正確運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題最常用的方法. 22. 已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域. （2）對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，得從而確定，再根據(jù)單調(diào)性得值域（2）先整理不等式得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒非負(fù)，分離變量得最小值，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，得最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，， ， 令，有， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 得，解得：， 故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，，可得， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， ， ， 故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)? （2）由，有， 故可化為， 整理為：， 即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)， ， ，故當(dāng)時(shí)，， 即， ①當(dāng)時(shí)，； ②當(dāng)時(shí)，整理為：， 令，有 ， 當(dāng)，，，有， 當(dāng)時(shí)，由，有 ，可得， 由上知時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， 故， 故有：，可得. 點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.