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單元檢測二 不等式
(時間：120分鐘 滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2018寧波九校聯(lián)考)已知a>b，則下列不等式成立的是( )
A.< B．2－a<2－b
C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)c≥bc
答案 B
解析 A中，當a＝2，b＝－3時，<不成立；B中，由a>b，得－a<－b，所以2－a<2－b，故B正確；C中，當a＝1，b＝－1時，a2>b2不成立；D中，當c<0時，ac≥bc不成立，故選B.
2．(2018杭州質(zhì)檢)若關(guān)于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，則實數(shù)m等于( )
A．－1B．－2C．1D．2
答案 C
解析 當m>0時，由mx－2>0得x>；
當m<0時，由mx－2>0得x<；
當m＝0時，不等式顯然不成立，
因為不等式的解集為{x|x>2}，
所以m>0且＝2，解得m＝1，故選C.
3．(2019諸暨模擬)已知|x－a|
0表示的區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的( )
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
答案 B
解析 點(0,0)滿足x－2y＋6>0，且點(0,0)在直線x－2y＋6＝0的右下方，所以不等式x－2y＋6>0表示的平面區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的右下方，故選B.
5．(2018湖州、衢州、麗水三地市質(zhì)檢)已知實數(shù)x，y滿足則2y－x的最大值是( )
A．－2B．－1C．1D．2
答案 C
解析 在平面直角坐標系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(包含邊界)，由圖易得當目標函數(shù)z＝2y－x經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點A(1,1)時，z＝2y－x取得最大值，所以2y－x的最大值為21－1＝1，故選C.
6．已知集合M＝{(x，y)|x－y≤0，x＋y≥0，y≤a}，其中a>0，若平面點集N＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈M}所表示的平面區(qū)域的面積為2，則a的值為( )
A．1B．2C．3D．4
答案 A
解析 設(shè)x＋y＝X，x－y＝Y(jié)，所以平面點集N可化為{(X，Y)|Y≤0，X≥0，X－Y≤2a}，它所表示的平面區(qū)域如圖所示，其為一個等腰直角三角形，腰長為2a(a>0)，故其面積S＝2＝2a2a，解得a＝1.
7．已知a>1，x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝的最大值小于1，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(1,2) B．(1,1＋)
C．(1＋，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 B
解析 由已知約束條件作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，而目標函數(shù)z＝＝的幾何意義為可行域內(nèi)的點與C連線的斜率，連接AC，此時直線的斜率最大，可得A，由kAC＝＝<1，a>1，則10時，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖(3)中的陰影部分所示，過A作AB垂直于直線x＋ay＝0，垂足為B，此時的最小值為|AB|，
根據(jù)題意，|AB|＝，
由點到直線的距離公式得，|AB|＝＝，所以a＝2，
又a>0，所以a＝2.故選D.
10．已知實數(shù)x>0，y>0，x＋4y＝2，若＋(m>0)的最小值為1，則m等于( )
A．1B.C．2D．2
答案 C
解析 ∵x＋4y＝2，x＋4y＝(x＋1)＋(my＋1)－，
∴(x＋1)＋(my＋1)＝2＋>0，
∴由[(x＋1)＋(my＋1)]
＝1＋＋＋≥1＋＋2
(當且僅當m(x＋1)2＝4(my＋1)2時取等號)，
得＋≥.
根據(jù)題意，知＝1，得m＝2.
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．把答案填在題中橫線上)
11．不等式組的解集為________．
答案 {x|10等價于(|x|＋2)(|x|－1)>0等價于|x|>1，
根據(jù)絕對值不等式以及二次不等式，可知14的解集為{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式>0(c為常數(shù))．
解 (1)由題意知1，b為方程ax2－3x＋2＝0的兩根，
即∴a＝1，b＝2.
(2)不等式等價于(x－c)(x－2)>0，
當c>2時，解集為{x|x>c或x<2}；
當c<2時，解集為{x|x>2或x0.
(1)當a＝3時，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．
解 (1)當a＝3時，f(x)≥5x＋1可化為|2x－3|≥1.
由此可得x≥2或x≤1.
故不等式f(x)≥5x＋1的解集為{x|x≤1或x≥2}．
(2)由f(x)≤0得|2x－a|＋5x≤0，
此不等式化為不等式組
或
即或
因為a>0，所以不等式組的解集為.
由題設(shè)可得－＝－1，故a＝3.
20．(15分)(2019溫州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x＋|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥6的解集M；
(2)記(1)中集合M中元素最小值為m，若a，b是正實數(shù)，且a＋b＝m，求的最小值．
解 (1)f(x)≥6，即為x＋|x＋2|≥6，
∴或
解得x≥2，∴M＝{x|x≥2}．
(2)由(1)知m＝2，即a＋b＝2，且a，b是正實數(shù)，
∴＝
＝＝＋
≥＋2＝4，
當且僅當＝，即a＝b＝1時，取得最小值4.
21．(15分)已知函數(shù)f(x)＝(3x－1)a－2x＋b.
(1)若f＝，且a>0，b>0，求ab的最大值；
(2)當x∈[0,1]時，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝的取值范圍．
解 (1)因為f(x)＝(3a－2)x＋b－a，f＝，
所以a＋b－＝，即a＋b＝8.
因為a>0，b>0，
所以a＋b≥2，即4≥，所以ab≤16，
當且僅當a＝b＝4時等號成立，
所以ab的最大值為16.
(2)因為當x∈[0,1]時，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，
所以且2a＋3b≥3，即
作出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(含邊界)．
由圖可得經(jīng)過可行域內(nèi)的點(a，b)與點(－1，－1)的直線的斜率的取值范圍是，
所以z＝＝＋1的取值范圍是.
22．(15分)已知數(shù)列{xn}滿足x1＝1，xn＋1＝2＋3，求證：
(1)00，所以2＋3>0，即xk＋1>0，
由xk＋1－9＝2－6＝2(－3)<0，得xk＋1<9，
所以00.
所以xn.
從而xn＋1＝2＋3>xn＋3.
所以xn＋1－9>(xn－9)，
即9－xn＋1<(9－xn)．
所以9－xn9－8n－1(n≥2)．
當n＝1時，x1＝1＝9－80＝1，
綜上，xn≥9－8n－1.
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