廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練42 兩條直線的位置關(guān)系 文.docx

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考點規(guī)范練42兩條直線的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)鞏固1.已知直線mx+4y-2=0與2x-5y+n=0互相垂直,垂足為(1,p),則m-n+p為()A.24B.20C.0D.-4答案B解析兩直線互相垂直,k1k2=-1,-m425=-1,m=10.又垂足為(1,p),代入直線10x+4y-2=0得p=-2,將(1,-2)代入直線2x-5y+n=0得n=-12,m-n+p=20.2.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,則直線l2恒過定點()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)答案B解析直線l1:y=k(x-4)恒過定點(4,0),其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2).因為直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱,所以直線l2恒過定點(0,2).3.若動點A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A.32B.22C.33D.42答案A解析依題意知,AB的中點M的集合為與直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距離相等的直線,則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離.設(shè)點M所在直線的方程為l:x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式得|m+7|2=|m+5|2|m+7|=|m+5|m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點到直線的距離公式,得中點M到原點的距離的最小值為|-6|2=32.4.已知平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3,-1),C(2,-3)兩點,D點在直線3x-y+1=0上移動,則B點的軌跡方程為()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=0答案A解析設(shè)AC的中點為O,則O52,-2.設(shè)B(x,y)關(guān)于點O的對稱點為(x0,y0),即D(x0,y0),則x0=5-x,y0=-4-y,由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.5.如圖所示,已知兩點A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點,則光線所經(jīng)過的路程是()A.210B.6C.33D.25答案A解析易得AB所在的直線方程為x+y=4,由于點P關(guān)于直線AB對稱的點為A1(4,2),點P關(guān)于y軸對稱的點為A2(-2,0),則光線所經(jīng)過的路程即A1(4,2)與A2(-2,0)兩點間的距離.于是|A1A2|=(4+2)2+(2-0)2=210.6.若直線l經(jīng)過直線y=2x+1和y=3x-1的交點,且平行于直線2x+y-3=0,則直線l的方程為.答案2x+y-9=0解析直線y=2x+1與y=3x-1的交點為(2,5).設(shè)直線l方程為2x+y+m=0,將(2,5)代入得m=-9.故l方程為2x+y-9=0.7.已知點A(1,3)關(guān)于直線y=kx+b對稱的點是B(-2,1),則直線y=kx+b在x軸上的截距是.答案56解析由題意得線段AB的中點-12,2在直線y=kx+b上,故3-11+2k=-1,2=k-12+b,解得k=-32,b=54,所以直線方程為y=-32x+54.令y=0,即-32x+54=0,解得x=56,故直線y=kx+b在x軸上的截距為56.8.已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為P(2,3),求過兩點Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直線方程.解方法一:P(2,3)是已知兩條直線的交點,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.由題意可知,a1a2,b1-b2a1-a2=-23.故所求直線方程為y-b1=-23(x-a1),即2x+3y-(2a1+3b1)=0,2x+3y+1=0.過Q1,Q2兩點的直線方程為2x+3y+1=0.方法二:點P是已知兩條直線的交點,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.可見Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都滿足方程2x+3y+1=0.過Q1,Q2兩點的直線方程為2x+3y+1=0.9.已知兩條直線l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.當(dāng)m分別為何值時,l1與l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?解(1)當(dāng)m=-5時,顯然l1與l2相交但不垂直;當(dāng)m-5時,兩條直線l1和l2的斜率分別為k1=-3+m4,k2=-25+m,它們在y軸上的截距分別為b1=5-3m4,b2=85+m.由k1k2,得-3+m4-25+m,即m-7,且m-1.則當(dāng)m-7,且m-1時,l1與l2相交.(2)由k1=k2,b1b2,得-3+m4=-25+m,5-3m485+m,解得m=-7.則當(dāng)m=-7時,l1與l2平行.(3)由k1k2=-1,得-3+m4-25+m=-1,解得m=-133.則當(dāng)m=-133時,l1與l2垂直.10.已知光線從點A(-4,-2)射出,到直線y=x上的B點后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的C點,又被y軸反射,這時反射光線恰好過點D(-1,6),求BC所在的直線方程.解作出草圖如圖所示.設(shè)A關(guān)于直線y=x的對稱點為A,D關(guān)于y軸的對稱點為D,則易得A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射角可得AD所在直線經(jīng)過點B與點C.故BC所在的直線方程為y-6-4-6=x-1-2-1,即10x-3y+8=0.二、能力提升11.三條直線l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0構(gòu)成一個三角形,則k的取值范圍是()A.kRB.kR,且k1,k0C.kR,且k5,k-10D.kR,且k5,k1答案C解析若有兩條直線平行,或三條直線交于同一點,則不能構(gòu)成三角形.由l1l3,得k=5;由l2l3,得k=-5;由x-y=0與x+y-2=0,得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,則k=-10.若l1,l2,l3能構(gòu)成一個三角形,則k5,且k-10,故選C.12.點P到點A(1,0)和到直線x=-1的距離相等,且P到直線y=x的距離等于22,這樣的點P共有()A.1個B.2個C.3個D.4個答案C解析設(shè)P(x,y),由題意知(x-1)2+y2=|x+1|且22=|x-y|2,所以y2=4x,|x-y|=1,即y2=4x,x-y=1或y2=4x,x-y=-1,解得有兩根,有一根.13.已知M=(x,y)y-3x-2=3,N=(x,y)|ax+2y+a=0,且MN=,則a=()A.-6或-2B.-6C.2或-6D.-2答案A解析集合M表示去掉一點A(2,3)的直線3x-y-3=0,集合N表示恒過定點B(-1,0)的直線ax+2y+a=0,因為MN=,所以兩直線要么平行,要么直線ax+2y+a=0與直線3x-y-3=0相交于點A(2,3).因此-a2=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.14.已知點A(3,1),在直線y=x和y=0上各找一點M和N,使AMN的周長最短,則最短周長為.答案25解析由點A(3,1)及直線y=x,可求得點A關(guān)于y=x的對稱點為點B(1,3),同理可求得點A關(guān)于y=0的對稱點為點C(3,-1),如圖所示.則|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|BC|,當(dāng)且僅當(dāng)B,M,N,C四點共線時,AMN的周長最短,為|BC|=25.15.點P(2,1)到直線l:mx-y-3=0(mR)的最大距離是.答案25解析直線l經(jīng)過定點Q(0,-3),如圖所示.由圖知,當(dāng)PQl時,點P(2,1)到直線l的距離取得最大值,|PQ|=(2-0)2+(1+3)2=25,所以點P(2,1)到直線l的最大距離為25.16.已知入射光線經(jīng)過點M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線經(jīng)過點N(2,6),則反射光線所在直線的方程為.答案6x-y-6=0解析設(shè)點M(-3,4)關(guān)于直線l:x-y+3=0的對稱點為M(a,b),則反射光線所在直線過點M,所以b-4a-(-3)1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6),所以所求直線的方程為y-06-0=x-12-1,即6x-y-6=0.17.已知三條直線l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1與l2之間的距離是7510.(1)求a的值;(2)能否找到一點P,使P同時滿足下列三個條件:點P在第一象限;點P到l1的距離是點P到l2的距離的12;點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是25.若能,求點P的坐標(biāo);若不能,說明理由.解(1)因為直線l2:2x-y-12=0,所以兩條平行線l1與l2間的距離為d=a-1222+(-1)2=7510,所以a+125=7510,即a+12=72,又a0,解得a=3.(2)假設(shè)存在點P,設(shè)點P(x0,y0).若點P滿足條件,則點P在與l1,l2平行的直線l:2x-y+c=0上,且|c-3|5=12c+125,即c=132或c=116,所以2x0-y0+132=0或 2x0-y0+116=0;若點P滿足條件,由點到直線的距離公式,有|2x0-y0+3|5=25|x0+y0-1|2,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;因為點P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.聯(lián)立2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=12(舍去);聯(lián)立2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0,解得x0=19,y0=3718.所以存在點P19,3718同時滿足三個條件.三、高考預(yù)測18.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的兩個實根,且0c18,則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是()A.24,14B.2,22C.2,12D.22,12答案D解析依題意得|a-b|=(a+b)2-4ab=1-4c,當(dāng)0c18時,22|a-b|=1-4c1.因為兩條直線間的距離等于|a-b|2,所以兩條直線間的距離的最大值與最小值分別是22,2212=12.