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課時規(guī)范練4 簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞
基礎鞏固組
1.命題“存在實數x0,使x0>1”的否定是( )
A.對任意實數x,都有x>1
B.不存在實數x0,使x0≤1
C.對任意實數x,都有x≤1
D.存在實數x0,使x0≤1
2.下列特稱命題中真命題的個數為( )
①存在實數x0,使x02+2=0;
②有些角的正弦值大于1;
③有些函數既是奇函數又是偶函數.
A.0 B.1
C.2 D.3
3.若定義域為R的函數f(x)不是偶函數,則下列命題一定為真命題的是( )
A.?x∈R,f(-x)≠f(x)
B.?x∈R,f(-x)=-f(x)
C.?x0∈R,f(-x0)≠f(x0)
D.?x0∈R,f(-x0)=-f(x0)
4.命題“?n∈N*,?x0∈R,使得n2
x2;q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要條件,則下列命題為真命題的是( )
A.p∧q B.(??p)∧q
C.p∧(??q) D.(??p)∧(??q)
7.若命題“?x0∈R,使得x02+mx0+2m-3<0”為假命題,則實數m的取值范圍是( )
A.[2,6] B.[-6,-2]
C.(2,6) D.(-6,-2)
8.(2017河北唐山統(tǒng)考)已知命題p:?x∈R,x30”的否定為假命題,則實數a的取值范圍是 .
11.已知命題p:?x∈[0,1],a≥ex;命題q:?x0∈R,使得x02+4x0+a=0.若命題“p∧q”為真命題,則實數a的取值范圍是 .
12.下列結論:
①若命題p:?x0∈R,tan x0=2,命題q:?x∈R,x2-x+12>0,則命題“p∧(??q)”是假命題;
②已知直線l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,則l1⊥l2的充要條件是ab=-3;
③“設a,b∈R,若ab≥2,則a2+b2>4”的否命題為“設a,b∈R,若ab<2,則a2+b2≤4”.
其中正確結論的序號為 . ?導學號24190855?
綜合提升組
13.(2017遼寧大連模擬)若命題p:函數y=x2-2x的單調遞增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數y=x-1x的單調遞增區(qū)間是[1,+∞),則( )
A.p∧q是真命題 B.p∨q是假命題
C.??p是真命題 D.??q是真命題
14.(2017安徽皖南八校聯(lián)考)下列命題中的真命題是 ( )
A.存在x0∈R,sin2x02+cos2x02=12
B.任意x∈(0,π),sin x>cos x
C.任意x∈(0,+∞),x2+1>x
D.存在x0∈R,x02+x0=-1
15.已知命題p:關于x的不等式ax2+ax+1>0的解集為全體實數,則實數a∈(0,4);命題q:“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分條件,則下列命題正確的是( )
A.p∧q B.p∧(??q)
C.(??p)∧q D.(??p)∧(??q)
16.將不等式組x+y≥1,x-2y≤4的解集記為D,有下面四個命題:
p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2;
p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命題是 . ?導學號24190856?
創(chuàng)新應用組
17.已知命題p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(??q)為假命題,則實數m的取值范圍是 ( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]
C.R D.? ?導學號24190857?
18.已知函數f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,對任意的x1,x2∈[1,4],有f(x1)>g(x2)恒成立,則實數m的取值范圍是 . ?導學號24190858?
答案：
1.C 特稱命題的否定為全稱命題,所以將“存在”改為“任意”,將“x>1”改為“x≤1”.故選C.
2.B 因為x2+2≥2,所以①是假命題;因為?x∈R均有|sin x|≤1,所以②是假命題;f(x)=0既是奇函數又是偶函數,③是真命題,故選B.
3.C 不是偶函數是對偶函數的否定,定義域為R的偶函數的定義:?x∈R,f(-x)=f(x),這是一個全稱命題,所以它的否定為特稱命題:?x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故選C.
4.D 先將條件中的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,存在量詞變?yōu)槿Q量詞,再否定結論.故選D.
5.A p:|x|≥1,??p:|x|<1,即??p:-1x2,它是假命題,例如取x=2時,2x與x2相等.
q:由a>1,b>1?ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=12.
∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分條件,即q是假命題.
∴真命題是(??p)∧(??q),故選D.
7.A 命題“?x0∈R,使得x02+mx0+2m-3<0”的否定為“?x∈R,都有x2+mx+2m-3≥0”,由于命題“?x0∈R,使得x02+mx0+2m-3<0”為假命題,
則其否定為真命題,所以Δ=m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6.
則實數m的取值范圍是[2,6].
8.B 由x31,∴命題p為假命題;由sin x-cos x=2sinx-π4=-2,得x-π4=3π2+2kπ(k∈Z),即x=7π4+2kπ(k∈Z),∴命題q為真命題,
∴(??p)∧q為真命題.
9.(-∞,1] 由??p是假命題,得p是真命題,即關于x的方程4x-22x+m=0有實數解.
由于m=-(4x-22x)=-(2x-1)2+1≤1,故m≤1.
10.56,+∞ 由“?x∈R,x2-5x+152a>0”的否定為假命題,可知原命題必為真命題,即不等式x2-5x+152a>0對任意實數x恒成立.設f(x)=x2-5x+152a,則其圖象恒在x軸的上方,所以Δ=25-4152a<0,解得a>56.故實數a的取值范圍為56,+∞.
11.[e,4] 由命題“p∧q”是真命題,得命題p,q都是真命題.由?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由?x0∈R,使x02+4x0+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.
12.①③ 在①中,命題p是真命題,命題q也是真命題,故“p∧(??q)”為假命題是正確的;在②中,l1⊥l2?a+3b=0,而ab=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出ab=-3,故②不正確;在③中,“設a,b∈R,若ab≥2,則a2+b2>4”的否命題為“設a,b∈R,若ab<2,則a2+b2≤4”,所以③正確.
13.D 因為函數y=x2-2x的單調遞增區(qū)間是[1,+∞),所以p是真命題;因為函數y=x-1x的單調遞增區(qū)間是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命題.所以p∧q為假命題,p∨q為真命題,??p為假命題,??q為真命題.
14.C 對于選項A,?x∈R,sin2x2+cos2x2=1,所以命題為假命題;對于選項B,存在x=π6,sin x=12,cos x=32,sin x0恒成立,所以命題為真命題;對于選項D,x2+x+1=x+122+34>0恒成立,所以不存在x0∈R,使x02+x0=-1,所以命題為假命題.故選C.
15.C 命題p:當a=0時,不等式ax2+ax+1>0化為1>0,滿足條件.
當a≠0時,由不等式ax2+ax+1>0的解集為全體實數,
得a>0,Δ=a2-4a<0,解得00,解得x>3或x<0.所以“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分條件,即q是真命題.由以上可得(??p)∧q是真命題.故選C.
16.p1,p2 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.
作直線l0:y=-12x,平移l0,當直線經過點A(2,-1)時,x+2y取最小值,此時(x+2y)min=0.故p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2為真.p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2為真.
17.B 由p∨(??q)為假命題,知p為假命題,q為真命題.
由ex-mx=0,得m=exx.
設f(x)=exx,則f(x)=exx-exx2=(x-1)exx2,
當x>1時,f(x)>0,此時函數單調遞增;
當0g(x)max,即2>2+m,解得m<0,
故實數m的取值范圍是(-∞,0).
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