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滾動(dòng)檢測(cè)四(1～7章)
(時(shí)間：120分鐘 滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知集合A＝{x|0
0，
解得－30，ω>0，－π<φ<0)的部分圖象如圖所示，為了得到g(x)＝Asinωx的圖象，只需將函數(shù)y＝f(x)的圖象( )
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
答案 B
解析 A＝2，＝，T＝π，ω＝2,2＋φ＝2kπ，k∈Z，
又－π<φ<0，解得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
g(x)＝2sin2x＝2cos，
2x－＝2x－＋＝2－，
根據(jù)平移原則，可知函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．故選B.
5．若e1，e2是夾角為60的兩個(gè)單位向量，則向量a＝e1＋e2，b＝－e1＋2e2的夾角為( )
A．30B．60C．90D．120
答案 B
解析 由已知得，e1e2＝，所以(e1＋e2)(－e1＋2e2)＝，|e1＋e2|＝，|－e1＋2e2|＝，設(shè)向量a＝e1＋e2，b＝－e1＋2e2的夾角為α，則cosα＝＝＝＝，
又α∈[0，π]，∴α＝.
6．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若＋＝2，且||＝||，則向量在向量方向上的投影為( )
A.B.C．3D．－
答案 A
解析 如圖，取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，則＋＝2＝2，
∴O和D重合，O是△ABC外接圓圓心，∵||＝||，
∴∠BAC＝90，∠BOA＝120，∠ABO＝30.
又||＝||＝1；
∴在△AOB中由余弦定理得
||2＝||2＋||2－2|O|||cos∠AOB＝1＋1－2＝3，
||＝，∵∠ABO＝30；
∴向量在向量方向上的投影為||cos∠ABO＝.
7．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝πf(π), b＝(－2)f(－2)，c＝f(1)，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．a(chǎn)>c>b
答案 A
解析 令F(x)＝xf(x)，F(xiàn)′(x)＝f(x)＋xf′(x)，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減．又f(x)是奇函數(shù)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以F(π)>F(－2)>F(1)，即πf(π)>(－2)f(－2)>f(1)，故選A.
8．已知{an}是等差數(shù)列，其公差為非零常數(shù)d，前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)，Tn有最大值，則的取值范圍是( )
A.
B．(－3，＋∞)
C.
D．(－∞，－3)∪
答案 C
解析 ∵{an}是等差數(shù)列，其公差為非零常數(shù)d，前n項(xiàng)和為Sn，∴＝n＋，
∵數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)，Tn有最大值，∴
解得－3<<－.故選C.
9．對(duì)任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足|an－cos2n|≤且|an＋sin2n|≤，則an等于( )
A.－sin2n B．sin2n－
C.－cos2n D．cos2n＋
答案 A
解析 ∵|an－cos2n|≤且|an＋sin2n|≤，
∴cos2n－≤an≤cos2n＋，
－sin2n－≤an≤－sin2n＋，
即－1＋cos2n－≤an≤－1＋cos2n＋，
∴cos2n－≤an≤cos2n－，
∴an＝cos2n－＝－sin2n.
10．已知函數(shù)f(x)＝設(shè)方程f(x)－＝t(t∈R)的四個(gè)不等實(shí)根從小到大依次為x1，x2，x3，x4，則下列判斷中一定成立的是( )
A.＝1 B．14，
結(jié)合圖象可知f(x3)－＝f(x4)－，
則結(jié)合f(x)的解析式易得log2(4－x3)＋log2(4－x4)
＝－>0，
即(4－x3)(4－x4)>1，
整理有16－4(x3＋x4)＋x3x4>1，
即4(x3＋x4)<15＋x3x4，
由于x3＋x4>2，
則8<15＋x3x4，
即(－3)(－5)>0，可得>5(舍去)，
或<3，即x3x4<9，
故40在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－x－x－x－…－x在x∈(－∞，1]上恒成立，
設(shè)g(x)＝－x－x－x－…－x，
則易得g(x)在x∈(－∞，1]上單調(diào)遞增，
所以g(x)max＝g(1)＝－，所以a>－.
16．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2－8a－bc＋7＝0，b2＋c2＋bc－6a＋6＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 [1,9]
解析 方法一 由a2－8a－bc＋7＝0，
可得bc＝a2－8a＋7，
由b2＋c2＋bc－6a＋6＝0，
可得b2＋c2＋bc＝6a－6，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋bc＋bc＝6a－6＋a2－8a＋7＝a2－2a＋1，即b＋c＝(a－1)，
因此可得b，c為方程x2(a－1)x＋a2－8a＋7＝0的兩實(shí)根，
所以Δ＝[(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0，
即a2－10a＋9≤0，解得1≤a≤9.
方法二 由a2－8a－bc＋7＝0，可得bc＝a2－8a＋7，
由b2＋c2＋bc－6a＋6＝0，可得b2＋c2＋bc＝6a－6，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋bc＋bc＝6a－6＋a2－8a＋7＝a2－2a＋1，
由(b＋c)2≥4bc，得a2－2a＋1≥4(a2－8a＋7)，
即a2－10a＋9≤0，解得1≤a≤9.
17．以O(shè)為起點(diǎn)作三個(gè)不共線的非零向量，，，使＝－2，||＝4，＋＝，則＝________.
答案 12
解析 方法一 由＋＝，
平方得＝－，即cos∠AOB＝－，
因?yàn)?，不共線，所以0<∠AOB<180，
所以∠AOB＝120.
因?yàn)椋剑?，所以C為線段AB的中點(diǎn)．
由＋＝兩邊同乘以，可得
cos∠AOC＋cos∠BOC＝1，
即cos∠AOC＋cos (120－∠AOC)＝1，
可得∠AOC＝60，所以O(shè)C為∠AOB的平分線，
所以⊥.
又||＝4，所以||＝||＝2，
所以＝(＋)＝2＝12.
方法二 由＋＝及＝－2，
結(jié)合向量加法的平行四邊形法則，得OC為∠AOB的平分線，C為AB的中點(diǎn)，所以||＝||＝4，
||＝||＝2，
所以＝(＋)＝2＝12.
三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
18．(14分)已知A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x2－5x＋6>0}．
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，求ax2＋x－b<0的解集．
解 (1)由題意知A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－10}＝{x|x<2或x>3}，
∴A∩B＝{x|－12.
∴ax2＋x－b<0的解集為{x|x<－1或x>2}．
19．(15分)函數(shù)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωxcosωx＋λ的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)且ω∈.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求f(x)在上的值域．
解 (1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωxcosωx＋λ
＝sin2ωx－cos2ωx＋λ
＝2sin＋λ，
由已知，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，
當(dāng)x＝π時(shí)，2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝＋，
又ω∈∴ω＝，∴f(x)＝2sin＋λ，∴T＝.
(2)由已知f＝2sin＋λ＝＋λ＝0，∴λ＝－.
∵x∈，∴x－∈，
∴2sin－∈[－1－，2－]，
∴f(x)在上的值域是[－1－，2－]．
20．(15分)(2019金華模擬)已知等差數(shù)列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項(xiàng)和S10＝100.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.
由已知得
解得
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*.
(2)bn＝＝，
所以Tn＝
＝＝，n∈N*.
21．(15分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2.
(1)求A的大小；
(2)若a＝，求b＋c的最大值．
解 (1)b2＋c2＝bc＋a2，即b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cosA＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵a＝，∴b2＋c2＝bc＋3，即(b＋c)2－3＝3bc，
∵bc≤2，∴(b＋c)2－3≤，
∴(b＋c)2≤12，
∴b＋c≤2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時(shí)取等號(hào))．
∴b＋c的最大值為2.
22．(15分)已知函數(shù)f(x)＝，其中a，b，c∈R.
(1)若b＝c＝1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1總成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若a>0，b＝0，c＝1，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：e0，則f′(x)＝
＝.
當(dāng)0時(shí)，f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，f(x)min0，因此a>1.
令f′(x)＝0，因此極值點(diǎn)x1，x2為方程ax2－2ax＋1＝0的兩個(gè)根，
又f(x1)＝，f(x2)＝，
注意到ax－2axi＋1＝0，i＝1,2，
f(x1)＝，f(x2)＝，x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以f(x1)＋f(x2)＝
＝
易知x1>0，x2>0，
注意到e，
因此f(x1)＋f(x2)>e，
又<<，
因此e
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