九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 與圓有關(guān)的線段試題 （新版）青島版.doc

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與圓有關(guān)的線段在圓中的線段主要有以下幾種：半徑、直徑、弦，弦心距還有切線長(zhǎng)。求圓中線段的長(zhǎng)是中考的一個(gè)重要考點(diǎn)，在選擇題、填空題、解答題、探索題都會(huì)出現(xiàn)。因此，這部分內(nèi)容在中考中占舉足輕重的地位。垂徑定理、勾股定理是解決圓中線段問(wèn)題的重要工具，也是比較常用的定理，有時(shí)候也需要以下定理：圓心角定理、圓周角定理、切線的判定（性質(zhì)）定理、切線長(zhǎng)定理、等腰三角形的性質(zhì)定理，在有些探索類型的題目中還有可能用到相交弦定理、切割定理等。（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。符號(hào)語(yǔ)言：AB是O的直徑，CD是弦，且ABCD，PC=PD，=，=。（2）圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。（3）勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。例題1 （溫州市中考）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在O上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=CB。延長(zhǎng)DA與O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連結(jié)AC、CE。（1）求證：B=D；（2）若AB=4，BCAC=2，求CE的長(zhǎng)。解析：要求CE長(zhǎng)，可通過(guò)證明CE=AB，轉(zhuǎn)化為求AB長(zhǎng)，結(jié)合E=B及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，可解決問(wèn)題。答案：解：（1）證明：AB為O的直徑，ACB=90，ACBC；DC=CB，AD=AB，B=D。（2）設(shè)BC=x，則AC=x2。在RtABC中，AC2+BC2=AB2，（x2）2+x2=4，解得（舍去），B=E，B=D，D=E，CD=CE，CD=CBCE=CB=1+。點(diǎn)撥：本題綜合考查了圓周角、垂直平分線、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解和應(yīng)用有關(guān)定理。與圓周角有關(guān)的問(wèn)題，需要靈活運(yùn)用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，直徑所對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)點(diǎn)，由于圖形中的角比較多，解題時(shí)要仔細(xì)觀察圖形特點(diǎn)。例題2 如圖，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于E，交BC 于D若BC=8，ED2，求O的半徑解析：根據(jù)垂徑定理可以知道線段EB的長(zhǎng)，設(shè)出圓的半徑，然后用半徑表示出OE，這樣就可以在Rt直角三角形OEB 中，根據(jù)勾股定理，就可以求出圓的半徑 解：因?yàn)椋琌DBC， 所以，BECE=BC=4 設(shè)O的半徑為R，則OE=OD-DE=R-2在RtOEB中，由勾股定理得OE2BE2=OB2，即(R-2)242=R2解得R5，O的半徑為5 點(diǎn)撥：在求圓的半徑時(shí)，關(guān)鍵是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，然后設(shè)半徑根據(jù)勾股定理列出方程，解得答案如何解決圓中的線段問(wèn)題圓中的線段包括：半徑、直徑、弦、切線。求這些線段長(zhǎng)是這部分的主要題型，綜合利用圓中性質(zhì)定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵所在。在解題的過(guò)程中，你能否掌握其中的技巧嗎？滿分訓(xùn)練 （湛江中考）如圖，已知AB是O的直徑，P為O外一點(diǎn)，且OPBC，PBAC。（1）求證：PA為O的切線；（2）若OB=5，OP=，求AC的長(zhǎng)。解析：（1）設(shè)法證出OAP=90即可；（2）利用垂徑定理，勾股定理及面積法可求AC的長(zhǎng)。答案：解：（1）設(shè)AC與OP相交于點(diǎn)H。AB是直徑，ACBC，BAC+B=90，OPBC，OPAC，AOB=BP=BACP+AOP=90，于是OAB=90，PA為O的切線。（2）OPAC，AC=2AH，在直角三角形PAO中，AP=由面積法可知：，所以AC=8。點(diǎn)撥：本題考查了圓的切線的證明以及有關(guān)圓的計(jì)算，掌握?qǐng)A的切線的證法以及圓中基本的計(jì)算方式是解題的關(guān)鍵。求線段的長(zhǎng)度有以下常用的方法：（1）用勾股定理，適用于已知兩邊的直角三角形中；（2）用相似三角形，適用于有相似三角形的圖形中；（3）面積法，適用于有直角三角形中有高的存在的圖形。（答題時(shí)間：30分鐘）1. 如圖，內(nèi)接于O，則O的半徑為（ ）A. B. C. D. 2. 若正方形的邊長(zhǎng)為6，則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（ ）A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ，3. 如圖，O的直徑AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足為P，且BPAP=15，則CD的長(zhǎng)為（ ）A. B. C. D. 4. 如圖，AB是O的弦，點(diǎn)C是弦AB上一點(diǎn)，且BCCA21，連結(jié)OC并延長(zhǎng)交O于D，又DC2厘米，OC3厘米，則圓心O到AB的距離為（ ）A. 厘米 B. 厘米 C. 2厘米 D. 3厘米5. 如圖O中，半徑OD弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E，連結(jié)EC，若AB=8，CD=2，則EC的長(zhǎng)度為（ ）A. B. 8 C. D. 6. 如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，AB=10，AC=6，ODBC，垂足為D，則BD的長(zhǎng)為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 67. 如圖，半圓O的直徑AB=10，弦AC=6cm，AD平分BAC，則AD的長(zhǎng)為（ ）A. cm B. cm C. cm D. 4cm 8. 如圖，ABC內(nèi)接于O，BAC=120，AB=AC，BD為O的直徑，AD=6，則BC 。9. 如圖，以ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC=FC。（1）求證：AC是O的切線；（2）若BF=8，DF=，求O的半徑r。10. 如圖，已知P是O外一點(diǎn)，PO交O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦ABOC，劣弧AB的度數(shù)為120，連結(jié)PB。（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求證：PB是O的切線。11. 如圖，已知O的半徑為1，DE是O的直徑，過(guò)D作O的切線，C是AD的中點(diǎn)，AE交O于B點(diǎn)，四邊形BCOE是平行四邊形。（1）求AD的長(zhǎng)；（2）BC是O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由。12. 如圖，ABC內(nèi)接于O，60，CD是O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP=AC。（1）求證：PA是O的切線；（2）若，求O的直徑。 1. B 解析：過(guò)點(diǎn)B作圓的直徑BD，交圓于點(diǎn)D，連接AD，根據(jù)圓周角定理，得：C=D=30，DAB=90，所以在RtADB 中，因?yàn)?，D=30，AB=2，所以，DB=4，所以，圓的半徑為2。2. B 解析：畫圖如下，由正方形的性質(zhì)，垂徑定理可得OE=AE=3，OA=。故選B。3. D 解析：連接OC，如圖，設(shè)OC的長(zhǎng)為r，AB12，BPAP=15，AP10，OP4。由垂徑定理可得OPC是直角三角形，并且CD2CP。在RtOCP中，由勾股定理CP，CD，故選D。4. B 解析：延長(zhǎng)DO交O于E，過(guò)點(diǎn)O作OFAB于F，則CE8厘米。由相交弦定理，得DCCEACCB，所以AC2 AC28，故AC2（厘米），從而BC4厘米。由垂徑定理，得AFFB（24）3（厘米）所以CF32（厘米）。在RtCOF中，OF（厘米）。5. D 解析：連接BE，O的半徑OD弦AB于點(diǎn)C，AB=8，AC=AB=4，設(shè)O的半徑為r，則OC=r-2，在RtAOC中，AC=4，OC=r-2，OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r-2）2，解得r=5，AE=2r=10，AE是O的直徑，ABE=90，在RtABE中，AE=10，AB=8，BE= =6，在RtBCE中，BE=6，BC=4，CE= 。6. C 解析：因?yàn)锳B是直徑，因此C是直角，BC=8，ODBC，根據(jù)垂徑定理，BD等于BC的一半，所以BD=4。故選C。7. A 解析：連接BC、BD、OD，則OD、BC交于E。由于AD平分BAC，所以，所以O(shè)DBC，又半圓O的直徑AB10cm，弦AC6cm，所以BC8cm，所以BE4，又OB5cm，所以O(shè)E3cm，所以ED532（cm），在RtBED中，BDcm，又ADB90，所以AD4cm。故選A。8. 6 解析：因?yàn)锽D為O的直徑，根據(jù)圓周角定理，得：C=D，DAB=90。又因?yàn)?，BAC=120，AB=AC，所以，C=CBA=D=30，DBA=60，所以，DBC=30。在Rt直角三角形ABD 中，有：cos30=，又AD=6，所以，BD=4， 連接DC，則BCD=90，在Rt直角三角形BCD 中，DBC=30，BD=4，得：cos30=，BC=4=69. 解析：（1）連接OA、OD，則OA=OD，OAD=ODA，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，ODBE，ODA+OFD=90，OAD+OFD=90，OFD=AFC，OAD+AFC=90，AC=FC，F(xiàn)AC=AFC，OAD+FAC=90，AC是O的切線。（2）BF=8，DF=，OF=8r，在直角三角形OFD中，r2+（8r）2=，解得，r=2。10. 解析：（1）連接OB，弦ABOC，劣弧AB的度數(shù)為120，COB=60，又OC=OB，OBC是正三角形，BC=OC=2。（2）證明：BC=CP，CBP=CPB，OBC是正三角形，OBC=OCB=60，CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，OBBP，點(diǎn)B在O上，PB是O的切線。11. 解析：（1）連接BD，則DBE=90四邊形BCOE是平行四邊形，BCOE，BC=OE=1。在RtABD中，C為AD的中點(diǎn)，BC=AD=1。AD=2。（2）連接OB，由（1）得BCOD，且BC=OD，四邊形BCDO是平行四邊形。又AD是O的切線，ODAD。四邊形BCDO是矩形。OBBC，BC是O的切線。12. 解析：（1）證明：連接OA，B=60，AOC=2B=120，又OA=OC，OAC=OCA=30，又AP=AC，P=ACP=30，OAP=AOC-P=90，OAPA，PA是O的切線。（2）在RtOAP中，P=30，PO=2OA=OD+PD，又OA=OD，PD=OA，PD=，2OA=2PD=2。O的直徑為2。