九年級數(shù)學上冊 專題突破講練 與圓有關(guān)的線段試題 （新版）青島版.doc

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與圓有關(guān)的線段 在圓中的線段主要有以下幾種：半徑、直徑、弦，弦心距還有切線長。求圓中線段的長是中考的一個重要考點，在選擇題、填空題、解答題、探索題都會出現(xiàn)。因此，這部分內(nèi)容在中考中占舉足輕重的地位。 垂徑定理、勾股定理是解決圓中線段問題的重要工具，也是比較常用的定理，有時候也需要以下定理：圓心角定理、圓周角定理、切線的判定（性質(zhì)）定理、切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)定理，在有些探索類型的題目中還有可能用到相交弦定理、切割定理等。 （1）垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。 符號語言：∵AB是⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD，∴PC=PD，=，=。 （2）圓心角、弧、弦之間的關(guān)系： 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。 （3）勾股定理： 在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 例題1 （溫州市中考）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB。延長DA與⊙O的另一個交點為E，連結(jié)AC、CE。 （1）求證：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC－AC=2，求CE的長。 解析：要求CE長，可通過證明CE=AB，轉(zhuǎn)化為求AB長，結(jié)合∠E=∠B及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，可解決問題。 答案：解：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90，∴AC⊥BC；∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D。 （2）設(shè)BC=x，則AC=x－2。在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x－2）2+x2=4， 解得（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE， ∵CD=CB∴CE=CB=1+。 點撥：本題綜合考查了圓周角、垂直平分線、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解和應(yīng)用有關(guān)定理。與圓周角有關(guān)的問題，需要靈活運用同弧或等弧所對的圓周角相等、同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半，直徑所對的圓周角是直角等知識點，由于圖形中的角比較多，解題時要仔細觀察圖形特點。 例題2 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC 于D．若BC=8，ED＝2，求⊙O的半徑． 解析：根據(jù)垂徑定理可以知道線段EB的長，設(shè)出圓的半徑，然后用半徑表示出OE，這樣就可以在Rt直角三角形OEB 中，根據(jù)勾股定理，就可以求出圓的半徑． 解：因為，OD⊥BC， 所以，BE＝CE=BC=4． 設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=OD-DE=R-2．在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．解得R＝5，∴⊙O的半徑為5． 點撥：在求圓的半徑時，關(guān)鍵是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，然后設(shè)半徑根據(jù)勾股定理列出方程，解得答案． 如何解決圓中的線段問題 圓中的線段包括：半徑、直徑、弦、切線。求這些線段長是這部分的主要題型，綜合利用圓中性質(zhì)定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵所在。在解題的過程中，你能否掌握其中的技巧嗎？ 滿分訓練 （湛江中考）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P＝∠BAC。 （1）求證：PA為⊙O的切線； （2）若OB=5，OP=，求AC的長。 解析：（1）設(shè)法證出∠OAP=90即可；（2）利用垂徑定理，勾股定理及面積法可求AC的長。 答案：解：（1）設(shè)AC與OP相交于點H?！逜B是直徑，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B．∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90，于是∠OAB=90，∴PA為⊙O的切線。 （2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH，在直角三角形PAO中， AP= 由面積法可知：，所以AC=8。 點撥：本題考查了圓的切線的證明以及有關(guān)圓的計算，掌握圓的切線的證法以及圓中基本的計算方式是解題的關(guān)鍵。求線段的長度有以下常用的方法： （1）用勾股定理，適用于已知兩邊的直角三角形中； （2）用相似三角形，適用于有相似三角形的圖形中； （3）面積法，適用于有直角三角形中有高的存在的圖形。 （答題時間：30分鐘） 1. 如圖，內(nèi)接于⊙O，，，則⊙O的半徑為（ ） A. B. C. D. 2. 若正方形的邊長為6，則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（ ） A. 6， B. ，3 C. 6，3 D. ， 3. 如圖，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP︰AP=1︰5，則CD的長為（ ） A. B. C. D. 4. 如圖，AB是⊙O的弦，點C是弦AB上一點，且BC︰CA＝2︰1，連結(jié)OC并延長交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，則圓心O到AB的距離為（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 2厘米 D. 3厘米 5. 如圖⊙O中，半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC，若AB=8，CD=2，則EC的長度為（ ） A. B. 8 C. D. 6. 如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足為D，則BD的長為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如圖，半圓O的直徑AB=10，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長為（ ） A. cm B. cm C. cm D. 4cm 8. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則BC＝ 。 9. 如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC=FC。 （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r。 10. 如圖，已知P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120，連結(jié)PB。 （1）求BC的長；（2）求證：PB是⊙O的切線。 11. 如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過D作⊙O的切線，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形。 （1）求AD的長； （2）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由。 12. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，60，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC。 （1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若，求⊙O的直徑。  1. B 解析：過點B作圓的直徑BD，交圓于點D，連接AD， 根據(jù)圓周角定理，得：∠C=∠D=30，∠DAB=90，所以在Rt△ADB 中，因為，∠D=30，AB=2，所以，DB=4，所以，圓的半徑為2。 2. B 解析：畫圖如下，由正方形的性質(zhì)，垂徑定理可得OE=AE=3，OA=。故選B。 3. D 解析：連接OC，如圖，設(shè)OC的長為r，∵AB＝12，BP︰AP=1︰5，∴AP＝10，∴OP＝4。由垂徑定理可得△OPC是直角三角形，并且CD＝2CP。在Rt△OCP中，由勾股定理CP＝，∴CD＝，故選D。 4. B 解析：延長DO交⊙O于E，過點O作OF⊥AB于F，則CE＝8厘米。由相交弦定理，得DCCE＝ACCB，所以AC2 AC＝28，故AC＝2（厘米），從而BC＝4厘米。 由垂徑定理，得AF＝FB＝（2＋4）＝3（厘米）．所以CF＝3－2＝（厘米）。在Rt△COF中，OF＝＝＝（厘米）。 5. D 解析：連接BE， ∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=8，∴AC=AB=4， 設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r-2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10， ∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE= =6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE= 。 6. C 解析：因為AB是直徑，因此∠C是直角，∴BC==8，∵OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理，BD等于BC的一半，所以BD=4。故選C。 7. A 解析：連接BC、BD、OD， 則OD、BC交于E。由于AD平分∠BAC，所以，所以O(shè)D⊥BC，又半圓O的直徑AB＝10cm，弦AC＝6cm，所以BC＝8cm，所以BE＝4，又OB＝5cm，所以O(shè)E＝3cm，所以ED＝5－3＝2（cm），在Rt△BED中，BD＝＝cm，又∠ADB＝90，所以AD＝＝4cm。故選A。 8. 6 解析：因為BD為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90。 又因為，∠BAC=120，AB=AC，所以，∠C=∠CBA=∠D=30，∠DBA=60，所以，∠DBC=30。在Rt直角三角形ABD 中，有：cos30=，又AD=6，所以，BD=4， 連接DC，則∠BCD=90，在Rt直角三角形BCD 中，∠DBC=30，BD=4， 得：cos30=，BC=4=6． 9. 解析：（1）連接OA、OD， 則OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D為BE的下半圓弧的中點，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD=90，∴∠OAD+∠OFD=90，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC=90，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90，∴AC是⊙O的切線。 （2）BF=8，DF=，∴OF=8－r，∴在直角三角形OFD中，r2+（8－r）2=，解得，r=2。 10. 解析：（1）連接OB， ∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120，∴∠COB=60，又∵OC=OB，∴△OBC是正三角形，∴BC=OC=2。 （2）證明：∵BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，∵△OBC是正三角形，∴∠OBC=∠OCB=60， ∴∠CBP=30，∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90，∴OB⊥BP，∵點B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線。 11. 解析：（1）連接BD， 則∠DBE=90．∵四邊形BCOE是平行四邊形， ∴BC∥OE，BC=OE=1。在Rt△ABD中，C為AD的中點，∴BC=AD=1?！郃D=2。 （2）連接OB，由（1）得BC∥OD，且BC=OD，∴四邊形BCDO是平行四邊形。 又∵AD是⊙O的切線，∴OD⊥AD。∴四邊形BCDO是矩形?！郞B⊥BC，∴BC是⊙O的切線。 12. 解析：（1）證明：連接OA， ∵∠B=60，∴∠AOC=2∠B=120，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切線。 （2）在Rt△OAP中，∵∠P=30，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA， ∵PD=，∴2OA=2PD=2。∴⊙O的直徑為2。