經濟數學-微分方程的基本概念.ppt

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,一、問題的提出,二、微分方程的定義,三、主要問題求方程的解,四、小結思考題,第一節(jié)微分方程的基本概念,引言,對自然界的深刻研究,傅里葉,微積分研究的對象是函數關系,但在實際問題中,往往很難直接得到,所研究的變量之間的函數關系,卻,比較容易建立起,這些變量與它們的導數或微分之間,的聯系,從而得到一個,方程,即微分方程.,通過求解這種方程,同樣可以找到,指定未知量之間的函數關系.,因此,微分方程是數學聯,系實際,并應用于實際的重要途徑和橋梁,是各個學科,關于未知函數的導數或微分的,是數學最富饒的源泉.,進行科學研究的強有力的工具.,如果說“數學是一門理性思維的科學,是研究、,了,解和知曉現實世界的工具”,那么微分方程就是顯示,數學的這種威力和價值的一種體現.,現實世界中的許,多實際問題,都可以抽象為微分方程問題.,例如,物體,的冷卻、,琴弦的振動、,電磁波的傳播等,都可以歸結為,微分方程問題.,這時微分方程也稱為,所研究問題的數,學模型.,微分方程是一門獨立的數學學科,有完整的理論,體系.,本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程解的理,論.,幾,解,一、引例,由題有,且滿足：,解,代入條件后知,故,開始制動到列車完全停住共需,微分方程:凡含有未知函數的導數或微分的方程，叫做微分方程.,例,實質:聯系自變量,未知函數以及未知函數的某些導數(或微分)之間的關系式.,二、基本概念,分類1:常微分方程,偏微分方程.,我們把未知函數為一元函數的微分方程,稱為,常微分方程.,類似地,未知函數為多元函數的微分方程,稱為,偏微分方程.,例如方程,是偏微分方程.,微分方程的階:微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數.,一階微分方程,高階微分方程,分類2:,常微分方程的一般形式是:,是未知函數,必須出現,而其余變量可以不出現,其余變量都沒有出現.,就得到微分方程,如果,解出最高階導數,以后我們討論的微分方程,程,在所討論的范圍內,連續(xù).,分類3:,非線性微分方程.,線性微分方程.,知函數.,全是一次冪。,否則統(tǒng)稱為非線性微分方程.,即微分方程中所含的未知函數及其各階導數,分類4:單個微分方程與微分方程組.,例3,試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程,的階數.,解,(1),是一階線性微分方程,因方程中含有的,(2),是一階非線性微分方程,因方程中含有的,的平方項.,例3,試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程,的階數.,解,(3),是二階非線性微分方程,因方程中含有的,的三次方.,(4),是二階非線性微分方程,因方程中含有非線性,微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數.,微分方程的解的分類：,三、求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有相互獨立的任意常數,且任意常數的個數與微分方程的階數相同.,滿足,(2)特解:確定了通解中任意常數以后的解.,解的圖像:微分方程的積分曲線.,通解的圖像:積分曲線族.,初始條件:用來確定任意常數的條件.,過定點的積分曲線;,一階:,二階:,過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問題:求微分方程滿足初始條件的特解的問題.,解：,所求特解為,微分方程；,微分方程的階；,微分方程的解；,通解;,初始條件；,特解；,初值問題；,積分曲線,四、小結,本節(jié)基本概念：,思考題,思考題解答,中不含任意常數,故為微分方程的特解.,練習題,練習題答案,