線性代數(shù)第五章特征值和特征向量矩陣的對角化.ppt

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1,第五章特征值和特征向量矩陣的對角化,5.1矩陣特征值，特征向量，相似矩陣5.2矩陣可對角化的條件5.3實對稱矩陣的對角化,5.1特征值與特征向量相似矩陣,1.特征值和特征向量的概念2.特征值和特征向量的計算方法3.特征值和特征向量的性質4.相似矩陣的概念和性質,一、特征值和特征向量的概念,定義設A為n階方陣,如果存在數(shù)?及非零向量X,使得AX=?X.則稱?為A的特征值,非零向量X稱為A的對應于特征值?的特征向量.,注:特征向量非零.,AX=?X,?(?I?A)X=0,其有非零解的充要條件是:|?I?A|=0(1),方程|?I?A|=0稱為A的特征方程.,|?I?A|=?n+k1?n?1+???+kn?1?+kn是?的n次多項式,稱為A的特征多項式.,設n階方陣A=(aij)的特征值為?1,?2,???,?n,則有,(1)?1+?2+???+?n=a11+a22+???+ann,(2)?1?2????n=|A|,,稱為A的特征矩陣.,,226頁定理5.2,(1)?為A的特征值??為特征方程|?I?A|=0的根,二、特征值和特征向量的計算方法,AX=?X?(?I?A)X=0,(2)在復數(shù)范圍內(nèi),n階方陣有n個特征值.,(3)若?=?i為A的一個特征值,則由方程組(?iI?A)X=0的非零解X=Pi就是A的對應于?i的特征向量.,(4)若Pi為A的對應于?i的特征向量,則kPi(k?0)也是對應于?i的特征向量.,求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟:,(1)求A的特征方程|?I?A|=0的所有解?1,?2,???,?n,即為A的全部特征值,(2)對每一個特征值?i(i=1,2,???,n),求出齊次線性方程組(?iI?A)X=0的基礎解系,便是A的對應于?i的線性無關的特征向量,而對應于?i的全部特征向量就是此基礎解系的所有非零線性組合.,例1求對角方陣?=的特征值.,解:,?的特征多項式:,|?I??|=,=(???1)(???1)???(???n),??的特征值為:?1,?2,???,?n,例2求矩陣的特征值和特征向量.,解:,|?I?A|=,=(??5)(?+1)2,?A的特征值為:?1=5,?2=?3=?1,5I?A=,?基礎解系:,?對應于?1=5的全部特征向量為:k1P1(k1?0),?1=5:,解方程組(5I?A)X=0,?I?A=,?基礎解系:,?對應于?2=?3=?1的全部特征向量為:k2P2+k3P3(k2,k3不全為0),?2=?3=?1:,解方程組(?I?A)X=0,11,定理：若?是矩陣A的特征值,X是A的對應于?的特征向量,則(1)k?是kA的特征值；(2)?m是Am的特征值(m是正整數(shù));(3)?是AT的特征值；(4)當A可逆時,??1是A?1的特征值,??1|A|是A*的特征值；(5)若f(x)是x的多項式,則f(?)是f(A)的特征值,特征向量保持不變,??m是矩陣Am的特征值,且X是Am的對應于?m的特征向量.,證：(2),再繼續(xù)施行上述步驟m?2次,就得,∵AX=?X,?A(AX)=A(?X),=?(AX),=?(?X),?A2X=?2X,AmX=?mX,(4)當A可逆時,,??0,∵AX=?X,?A?1(AX)=A?1(?X),=?A?1X,?X=?A?1X,???1X=A?1X,???1是矩陣A?1的特征值,且X是A?1的對應于??1的特征向量.,定理設矩陣A,如果?,?是A的對應于兩個不同特征值的特征向量,則?與?線性無關.,三、特征值和特征向量的性質,[證],設?,?分別是特征值?1,?2(?1??2)所對應的特征向量,,則有A?=?1?,A?=?2?,假設有數(shù)k1,k2,使得k1?+k2?=0???(1),同時左乘A,得:,k1(A?)+k2(A?)=0,?k1?1?+k2?2?=0???(2),(2)??2?(1)?k1(?1??2)?=0,∵?1??2,??0,∴k1=0,同理可得k2=0,∴?與?線性無關,定理如果?1,?2,???,?r是矩陣A的不同特征值,而?i1,?i2,???,是A的對應于特征值?i(i=1,2,???,r)的線性無關的特征向量,則向量組?11,?12,???,,?21,?22,???,,???,?r1,?r2,???,也線性無關.,推廣設?1,?2,???,?r是矩陣A的對應于不同特征值?1,?2,???,?r的特征向量,則?1,?2,???,?r線性無關.,注:,(1)對應于不同特征值的特征向量是線性無關的．,(2)對應于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是對應于這個特征值的特征向量.,(3)矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個特征值具有的特征向量不唯一;一個特征向量不能對應于不同的特征值．,17,定義設A、B都是n階方陣,如果存在可逆矩陣P,使得P?1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,或者說A與B相似,記為A~B.可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.,(2)對稱性:若A~B,則B~A,四、相似矩陣的概念和性質,相似滿足:,(1)反身性:A~A,(3)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C,18,定理若A與B相似,則(1)A與B有相同的特征多項式;(2)A與B有相同的特征方程;(3)A與B有相同的特征值.,證:,若A與B相似,即存在可逆矩陣P,使得P?1AP=B,B的特征多項式:,|?I?B|=,|?I?P?1AP|,=|P?1(?I)P?P?1AP|,=|P?1(?I?A)P|,=|P?1||?I?A||P|,=|?I?A||P?1||P|,=|?I?A||P?1P|,=|?I?A|,19,(4)相似矩陣有相同的行列式.,∵P?1AP=B,?|P?1AP|=|B|,?|P?1||A||P|=|B|,?|A||P?1||P|=|B|,?|A||P?1P|=|B|,?|A|=|B|,換言之:若有可逆矩陣P,使得P?1AP=?,則?1,?2,???,?n是A的特征值.,20,（5）相似矩陣有相同的秩,231頁性質,21,分析:,若?P,|P|?0,使得P?1AP=?,問題:對n階方陣A,如何求相似矩陣P,使得P?1AP=??,記P=(P1,P2,???,Pn),,5.2矩陣可對角化的條件,22,P?1AP=?,?AP=P?,?,?A(P1,P2,???,Pn),?,?(AP1,AP2,???,APn)=(?1P1,?2P2,???,?nPn),?,?APi=?iPi(i=1,2,???,n),?,??i為A的特征值,而Pi就是A的對應于?i的特征向量.,?,P可逆?A有n個線性無關的特征向量.,23,注:,(1)A有n個線性無關的特征向量P1,P2,???,Pn,,從而有,定理n階方陣與對角矩陣相似?A有n個線性無關的特征向量.,推論設n階方陣A有n個不同的特征值,則A必與對角矩陣相似.,則P=(P1,P2,???,Pn)可逆.,24,定理:n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A的每個特征值對應的特征向量線性無關的最大個數(shù)等于該特征值的重數(shù).,25,(2)A未必能與?相似.,如果A的特征方程有重根,此時A不一定有n個線性無關的特征向量,從而矩陣A不一定能對角化,但如果能找到n個線性無關的特征向量,還是能對角化.,26,求可逆矩陣P,使得A與對角矩陣相似的步驟:,(1)由A求出特征值?i(i=1,2,???,n),(2)求出對應于?i的特征向量Pi(i=1,2,???,n),(3)作出矩陣P=(P1,P2,???,Pn),,則AP=P?,(4)若P可逆,則P?1AP=?.,即A與?相似.,27,例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣?,∵A有三個不同的特征值,解:(1),|?I?A|=,=?(?+1)(??9),?A的特征值為:?1=0,?2=?1,?3=9,?A可對角化.,28,(2),|?I?A|=,=(??1)3,?A的特征值為:?1=?2=?3=1,解方程組(I?A)X=0,?基礎解系:,?A不能對角化.,29,|?I?A|=,=(??2)2(?+7),?A的特征值為:?1=?2=2,?3=?7,解方程組(2I?A)X=0,?基礎解系:,(3),解方程組(?7I?A)X=0,30,∵A有三個線性無關的特征向量,?A可對角化.,?基礎解系:,31,例2設,判斷A是否可以對角,A的特征值為:?1=5,?2=?3=?1,解:,化,若可以對角化,求出可逆陣P,使得P?1AP為對角陣,并求A100.,32,∵A有三個線性無關的特征向量,?A可對角化.,令,,則有P?1AP=,33,(3),34,35,5.3實對稱矩陣的對角化,1.實對稱矩陣特征值的相關性質2.求正交矩陣的方法,36,共軛矩陣,性質:,如果A=(aij)為復矩陣時,用表示aij的共軛復數(shù),記.則稱為A的共軛矩陣.,(其中?為復數(shù)),37,aij全為實數(shù),aij=aji,此時A稱為實對稱矩陣.,性質1實對稱陣的特征值全為實數(shù).,一、實對稱矩陣特征值的相關性質,對稱陣,?AT=A,38,性質2設A是實對稱矩陣,則對應于A的不同特征值的特征向量必正交.,證:,設?1,?2是實對稱矩陣A的兩個不同的特征值,?,?是相應的特征向量,∵A?=?1?,A?=?2?,?1(?,?),=(?1?,?),=(A?,?),=?TAT?,=(?,A?),=?2(?,?),?(?1??2)(?,?)=0,∵?1??2,?(?,?)=0,即?與?正交,=(A?)T?,=?TA?,=(?,?2?),39,定理設?是實對稱矩陣A的k重特征值,那么對應于?的所有特征向量中,其極大線性無關組所包含的向量個數(shù)恰為k.,推論實對稱矩陣必與對角矩陣相似.,故n階實對稱矩陣必有n個線性無關的特征向量.,40,求正交矩陣的具體步驟為:,二、求正交矩陣的方法,(1)求出n階實對稱矩陣A的所有特征值?1,?2,???,?n,(2)解齊次線性方程組(?iI?A)X=0,求出A的n個特征向量P1,P2,???,Pn,(3)將P1,P2,???,Pn正交標準化得e1,e2,???,en,(4)寫出正交矩陣T=(e1,e2,???,en),244頁總結,41,例1設,求一正交矩陣T,使T?1AT=?,解:,A的特征值為:?1=5,?2=?3=?1,42,將P2,P3正交化:,取?2=P2,將P1,?2,?3單位化,得:,43,將e1,e2,e3構成正交矩陣:,有:,