線性代數(shù)第五章特征值和特征向量矩陣的對角化.ppt

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1,第五章特征值和特征向量矩陣的對角化,5.1矩陣特征值，特征向量，相似矩陣5.2矩陣可對角化的條件5.3實(shí)對稱矩陣的對角化,5.1特征值與特征向量相似矩陣,1.特征值和特征向量的概念2.特征值和特征向量的計(jì)算方法3.特征值和特征向量的性質(zhì)4.相似矩陣的概念和性質(zhì),一、特征值和特征向量的概念,定義設(shè)A為n階方陣,如果存在數(shù)?及非零向量X,使得AX=?X.則稱?為A的特征值,非零向量X稱為A的對應(yīng)于特征值?的特征向量.,注:特征向量非零.,AX=?X,?(?I?A)X=0,其有非零解的充要條件是:|?I?A|=0(1),方程|?I?A|=0稱為A的特征方程.,|?I?A|=?n+k1?n?1+???+kn?1?+kn是?的n次多項(xiàng)式,稱為A的特征多項(xiàng)式.,設(shè)n階方陣A=(aij)的特征值為?1,?2,???,?n,則有,(1)?1+?2+???+?n=a11+a22+???+ann,(2)?1?2????n=|A|,,稱為A的特征矩陣.,,226頁定理5.2,(1)?為A的特征值??為特征方程|?I?A|=0的根,二、特征值和特征向量的計(jì)算方法,AX=?X?(?I?A)X=0,(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),n階方陣有n個(gè)特征值.,(3)若?=?i為A的一個(gè)特征值,則由方程組(?iI?A)X=0的非零解X=Pi就是A的對應(yīng)于?i的特征向量.,(4)若Pi為A的對應(yīng)于?i的特征向量,則kPi(k?0)也是對應(yīng)于?i的特征向量.,求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟:,(1)求A的特征方程|?I?A|=0的所有解?1,?2,???,?n,即為A的全部特征值,(2)對每一個(gè)特征值?i(i=1,2,???,n),求出齊次線性方程組(?iI?A)X=0的基礎(chǔ)解系,便是A的對應(yīng)于?i的線性無關(guān)的特征向量,而對應(yīng)于?i的全部特征向量就是此基礎(chǔ)解系的所有非零線性組合.,例1求對角方陣?=的特征值.,解:,?的特征多項(xiàng)式:,|?I??|=,=(???1)(???1)???(???n),??的特征值為:?1,?2,???,?n,例2求矩陣的特征值和特征向量.,解:,|?I?A|=,=(??5)(?+1)2,?A的特征值為:?1=5,?2=?3=?1,5I?A=,?基礎(chǔ)解系:,?對應(yīng)于?1=5的全部特征向量為:k1P1(k1?0),?1=5:,解方程組(5I?A)X=0,?I?A=,?基礎(chǔ)解系:,?對應(yīng)于?2=?3=?1的全部特征向量為:k2P2+k3P3(k2,k3不全為0),?2=?3=?1:,解方程組(?I?A)X=0,11,定理：若?是矩陣A的特征值,X是A的對應(yīng)于?的特征向量,則(1)k?是kA的特征值；(2)?m是Am的特征值(m是正整數(shù));(3)?是AT的特征值；(4)當(dāng)A可逆時(shí),??1是A?1的特征值,??1|A|是A*的特征值；(5)若f(x)是x的多項(xiàng)式,則f(?)是f(A)的特征值,特征向量保持不變,??m是矩陣Am的特征值,且X是Am的對應(yīng)于?m的特征向量.,證：(2),再繼續(xù)施行上述步驟m?2次,就得,∵AX=?X,?A(AX)=A(?X),=?(AX),=?(?X),?A2X=?2X,AmX=?mX,(4)當(dāng)A可逆時(shí),,??0,∵AX=?X,?A?1(AX)=A?1(?X),=?A?1X,?X=?A?1X,???1X=A?1X,???1是矩陣A?1的特征值,且X是A?1的對應(yīng)于??1的特征向量.,定理設(shè)矩陣A,如果?,?是A的對應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量,則?與?線性無關(guān).,三、特征值和特征向量的性質(zhì),[證],設(shè)?,?分別是特征值?1,?2(?1??2)所對應(yīng)的特征向量,,則有A?=?1?,A?=?2?,假設(shè)有數(shù)k1,k2,使得k1?+k2?=0???(1),同時(shí)左乘A,得:,k1(A?)+k2(A?)=0,?k1?1?+k2?2?=0???(2),(2)??2?(1)?k1(?1??2)?=0,∵?1??2,??0,∴k1=0,同理可得k2=0,∴?與?線性無關(guān),定理如果?1,?2,???,?r是矩陣A的不同特征值,而?i1,?i2,???,是A的對應(yīng)于特征值?i(i=1,2,???,r)的線性無關(guān)的特征向量,則向量組?11,?12,???,,?21,?22,???,,???,?r1,?r2,???,也線性無關(guān).,推廣設(shè)?1,?2,???,?r是矩陣A的對應(yīng)于不同特征值?1,?2,???,?r的特征向量,則?1,?2,???,?r線性無關(guān).,注:,(1)對應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．,(2)對應(yīng)于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是對應(yīng)于這個(gè)特征值的特征向量.,(3)矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一;一個(gè)特征向量不能對應(yīng)于不同的特征值．,17,定義設(shè)A、B都是n階方陣,如果存在可逆矩陣P,使得P?1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,或者說A與B相似,記為A~B.可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.,(2)對稱性:若A~B,則B~A,四、相似矩陣的概念和性質(zhì),相似滿足:,(1)反身性:A~A,(3)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C,18,定理若A與B相似,則(1)A與B有相同的特征多項(xiàng)式;(2)A與B有相同的特征方程;(3)A與B有相同的特征值.,證:,若A與B相似,即存在可逆矩陣P,使得P?1AP=B,B的特征多項(xiàng)式:,|?I?B|=,|?I?P?1AP|,=|P?1(?I)P?P?1AP|,=|P?1(?I?A)P|,=|P?1||?I?A||P|,=|?I?A||P?1||P|,=|?I?A||P?1P|,=|?I?A|,19,(4)相似矩陣有相同的行列式.,∵P?1AP=B,?|P?1AP|=|B|,?|P?1||A||P|=|B|,?|A||P?1||P|=|B|,?|A||P?1P|=|B|,?|A|=|B|,換言之:若有可逆矩陣P,使得P?1AP=?,則?1,?2,???,?n是A的特征值.,20,（5）相似矩陣有相同的秩,231頁性質(zhì),21,分析:,若?P,|P|?0,使得P?1AP=?,問題:對n階方陣A,如何求相似矩陣P,使得P?1AP=??,記P=(P1,P2,???,Pn),,5.2矩陣可對角化的條件,22,P?1AP=?,?AP=P?,?,?A(P1,P2,???,Pn),?,?(AP1,AP2,???,APn)=(?1P1,?2P2,???,?nPn),?,?APi=?iPi(i=1,2,???,n),?,??i為A的特征值,而Pi就是A的對應(yīng)于?i的特征向量.,?,P可逆?A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,23,注:,(1)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量P1,P2,???,Pn,,從而有,定理n階方陣與對角矩陣相似?A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,推論設(shè)n階方陣A有n個(gè)不同的特征值,則A必與對角矩陣相似.,則P=(P1,P2,???,Pn)可逆.,24,定理:n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A的每個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù).,25,(2)A未必能與?相似.,如果A的特征方程有重根,此時(shí)A不一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,從而矩陣A不一定能對角化,但如果能找到n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,還是能對角化.,26,求可逆矩陣P,使得A與對角矩陣相似的步驟:,(1)由A求出特征值?i(i=1,2,???,n),(2)求出對應(yīng)于?i的特征向量Pi(i=1,2,???,n),(3)作出矩陣P=(P1,P2,???,Pn),,則AP=P?,(4)若P可逆,則P?1AP=?.,即A與?相似.,27,例1判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣?,∵A有三個(gè)不同的特征值,解:(1),|?I?A|=,=?(?+1)(??9),?A的特征值為:?1=0,?2=?1,?3=9,?A可對角化.,28,(2),|?I?A|=,=(??1)3,?A的特征值為:?1=?2=?3=1,解方程組(I?A)X=0,?基礎(chǔ)解系:,?A不能對角化.,29,|?I?A|=,=(??2)2(?+7),?A的特征值為:?1=?2=2,?3=?7,解方程組(2I?A)X=0,?基礎(chǔ)解系:,(3),解方程組(?7I?A)X=0,30,∵A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,?A可對角化.,?基礎(chǔ)解系:,31,例2設(shè),判斷A是否可以對角,A的特征值為:?1=5,?2=?3=?1,解:,化,若可以對角化,求出可逆陣P,使得P?1AP為對角陣,并求A100.,32,∵A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,?A可對角化.,令,,則有P?1AP=,33,(3),34,35,5.3實(shí)對稱矩陣的對角化,1.實(shí)對稱矩陣特征值的相關(guān)性質(zhì)2.求正交矩陣的方法,36,共軛矩陣,性質(zhì):,如果A=(aij)為復(fù)矩陣時(shí),用表示aij的共軛復(fù)數(shù),記.則稱為A的共軛矩陣.,(其中?為復(fù)數(shù)),37,aij全為實(shí)數(shù),aij=aji,此時(shí)A稱為實(shí)對稱矩陣.,性質(zhì)1實(shí)對稱陣的特征值全為實(shí)數(shù).,一、實(shí)對稱矩陣特征值的相關(guān)性質(zhì),對稱陣,?AT=A,38,性質(zhì)2設(shè)A是實(shí)對稱矩陣,則對應(yīng)于A的不同特征值的特征向量必正交.,證:,設(shè)?1,?2是實(shí)對稱矩陣A的兩個(gè)不同的特征值,?,?是相應(yīng)的特征向量,∵A?=?1?,A?=?2?,?1(?,?),=(?1?,?),=(A?,?),=?TAT?,=(?,A?),=?2(?,?),?(?1??2)(?,?)=0,∵?1??2,?(?,?)=0,即?與?正交,=(A?)T?,=?TA?,=(?,?2?),39,定理設(shè)?是實(shí)對稱矩陣A的k重特征值,那么對應(yīng)于?的所有特征向量中,其極大線性無關(guān)組所包含的向量個(gè)數(shù)恰為k.,推論實(shí)對稱矩陣必與對角矩陣相似.,故n階實(shí)對稱矩陣必有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,40,求正交矩陣的具體步驟為:,二、求正交矩陣的方法,(1)求出n階實(shí)對稱矩陣A的所有特征值?1,?2,???,?n,(2)解齊次線性方程組(?iI?A)X=0,求出A的n個(gè)特征向量P1,P2,???,Pn,(3)將P1,P2,???,Pn正交標(biāo)準(zhǔn)化得e1,e2,???,en,(4)寫出正交矩陣T=(e1,e2,???,en),244頁總結(jié),41,例1設(shè),求一正交矩陣T,使T?1AT=?,解:,A的特征值為:?1=5,?2=?3=?1,42,將P2,P3正交化:,取?2=P2,將P1,?2,?3單位化,得:,43,將e1,e2,e3構(gòu)成正交矩陣:,有:,