2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (II).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理 (II) 一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分） 1. i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 的展開式的所有二項式系數(shù)之和為128，則n為　　 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則　　 A. B. C. D. 4. 若，則　　 A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 5. 曲線在點處的切線方程為　　 A. B. C. D. 6. 用反證法證明：“若，，，求證：x，y中至少有一個大于1”時，反設(shè)正確的是　　 A. 假設(shè)x，y都不大于1 B. 假設(shè)x，y都小于1 C. 假設(shè)x，y至多有一個大于1 D. 假設(shè)x，y至多有兩個大于1 7. 黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案： 則第n個圖案中的白色地面磚有　　 A. 塊 B. 塊 C. 塊 D. 塊 8. 從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為() A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 9. 已知拋物線與直線交于點P，Q，則如圖所示陰影部分的面積為　　 A. B. C. D. 10. 用5種不同的顏色給如圖標(biāo)有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，且相鄰兩部分不同顏色，則不同的涂色方法共有() A. 160種 B. 240種 C. 260種 D. 360種 11. 已知函數(shù)，若方程有一個根，則實數(shù)m的取值范圍是　　 A. B. C. D. 12. 若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是　　 A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分） 13. 已知，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為_______． 14. 的展開式中只有第6項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是________ 15. 中國古代數(shù)學(xué)名草周髀算經(jīng)曾記載有“勾股各自乘，并而開方除之”，用符號表示為b，，我們把a，b，c叫做勾股數(shù)下列給出幾組勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此類推，可猜測第5組股數(shù)的三個數(shù)依次是______． 16. 已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集是______． 三、解答題（本大題共6小題，共70.0分） 17. （10分）已知復(fù)數(shù)z滿足是虛數(shù)單位 求復(fù)數(shù)z的虛部； 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值； 若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，求復(fù)數(shù)的模． 18. （12分）五個人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)： （1）甲必須在排頭； （2）甲、乙相鄰； （3）甲不在排頭，并且乙不在排尾； （4）其中甲、乙兩人自左向右從高到矮排列且互不相鄰． 19. （12分）已知數(shù)列，，，，，，記數(shù)列的前n項和． Ⅰ計算，，，； Ⅱ猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 20. （12分）已知展開式前三項的二項式系數(shù)和為22． 求n的值； 求展開式中的常數(shù)項； 求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 21. （12分）已知函數(shù)的極值點為1和2． 求實數(shù)a，b的值． 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值． 22. （12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)． 求證：； 若不等式在上恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．  【答案】 1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. A 10. C 11. A 12. B 13. 14. 180 15. 11，60，61 16. 17. 解：由， 得， 復(fù)數(shù)z的虛部為：； ， 復(fù)數(shù)是純虛數(shù)， ， 解得． 實數(shù)a的值為：； 由， 得． 則， ． 復(fù)數(shù)的模為：． 18. 解：特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”不動，再排其它4個位置，所以共有：種， 把甲、乙看成一個人來排有種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為種； 甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：種； 先將其余3個全排列種，再將甲、乙插入4個空位種，所以，一共有種不同排法． 19. 解：； ； ； ； 猜想． 證明：當(dāng)時，結(jié)論顯然成立； 假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即， 則當(dāng)時，， 當(dāng)時，結(jié)論也成立， 綜上可知，對任意，． 20. 解：由題意，展開式前三項的二項式系數(shù)和為22． 二項式定理展開：前三項的二項式系數(shù)為：， 解得：或舍去． 即n的值為6． 由通項公式， 令， 可得：． 展開式中的常數(shù)項為； 是偶數(shù)，展開式共有7項則第四項最大 展開式中二項式系數(shù)最大的項為． 21. 解： 的極值點為1和2， 的兩根為1和2， ，解得，． 由得，， 當(dāng)x變化時，與的變化情況如下表： ， ． 22. 證明：由題意知，要證，只需證， 求導(dǎo)得，當(dāng)時，， 當(dāng)時，， 在是增函數(shù)，在時是減函數(shù)， 即在時取最小值， ，即， ． 不等式在上恒成立，即在上恒成立， 亦即在上恒成立，令，， 以下求在上的最小值， ，當(dāng)時，， 當(dāng)時，， 當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增， 在處取得最小值為， 正數(shù)a的取值范圍是． 【解析】 1. 【分析】 本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件先進行化簡是解決本題的關(guān)鍵． 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的基本運算進行化簡求解即可． 解：， 對應(yīng)點的坐標(biāo)為位于第三象限， 故選C． 2. 【分析】 本題考查了二項式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題令，可得，解得n． 【解答】 解：令，可得，解得． 故選C． 3. 【分析】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則和導(dǎo)數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題． 先求導(dǎo)，再代值計算即可． 【解答】 解：函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為， ， 故選A． 4. 解：， ， 化簡得； 解得． 故選：A． 利用排列與組合數(shù)公式，進行化簡計算即可． 本題考查了排列與組合的計算與化簡問題，是基礎(chǔ)題目． 5. 【分析】 求導(dǎo)函數(shù)，確定曲線在點處的切線斜率，從而可求切線方程本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，屬于基礎(chǔ)題． 【解答】 解：求導(dǎo)函數(shù)可得， 當(dāng)時，， 曲線在點處的切線方程為 故選C． 6. 解：，y中至少有一個大于1， 其否定為x，y均不大于1， 故選：A． 假設(shè)原命題不成立，也就是x，y均不大于1成立． 本題考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題． 7. 解：第1個圖案中有白色地面磚6塊；第2個圖案中有白色地面磚10塊；第3個圖案中有白色地面磚14塊； 設(shè)第n個圖案中有白色地面磚n塊，用數(shù)列表示，則，，，可知， 數(shù)列是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列， ． 故選：B． 通過已知的幾個圖案找出規(guī)律，可轉(zhuǎn)化為求一個等差數(shù)列的通項公式問題即可． 由已知的幾個圖案找出規(guī)律轉(zhuǎn)化為求一個等差數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵． 8. 【分析】 本題考查排列、組合的實際應(yīng)用，注意優(yōu)先考慮特殊元素，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)題意，分2種情況討論選出參加競賽的4人，、選出的4人沒有甲，、選出的4人有甲，分別求出每一種情況下分選法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案． 【解答】 解：根據(jù)題意，從5名學(xué)生中選出4名分別參加競賽， 分2種情況討論： 、選出的4人沒有甲，即選出其他4人即可，有種情況， 、選出的4人有甲，由于甲不能參加生物競賽，則甲有3種選法， 在剩余4人中任選3人，參加剩下的三科競賽，有種選法， 則此時共有種選法， 則有種不同的參賽方案． 故選D． 9. 解：聯(lián)立方程組得， 解得或， 拋物線與直線交于點P，Q，則所示陰影部分的面積， 故選：A． 根據(jù)方程組得解求出積分上下限，再根據(jù)定積分的應(yīng)用得到則所示陰影部分的面積，求定積分即可． 本題考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 10. 解：對于A區(qū)域，有5種顏色可選，即有5種涂法， 分類討論其他3個區(qū)域：若B、D區(qū)域涂不同的顏色，則有種涂法，C區(qū)域有3種涂法，此時其他3個區(qū)域有種涂法； 若B、D區(qū)域涂相同的顏色，則有4種涂法，C區(qū)域有4種涂法，此時其他3個區(qū)域有有種涂法； 則共有種； 故選：C． 根據(jù)題意，先分析A區(qū)域，有5種顏色可選，即有5種涂法方案，再分若B、D區(qū)域涂不同的顏色，若B、D區(qū)域涂相同的顏色，兩種情況討論其他3個區(qū)域的涂色方案，由分類計數(shù)原理可得其他個區(qū)域的涂色方案的數(shù)目；再由分步計數(shù)原理計算可得答案． 本題考查計數(shù)原理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 11. 【分析】 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，求的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值和圖象是解決本題的關(guān)鍵． 由得，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可． 【解答】 解：若方程有一個根， 則得有一個解， 即函數(shù)與的圖象有一個交點， ，， 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由得，即或，此時函數(shù)為增函數(shù)， 由得，即，此時函數(shù)為減函數(shù)， 則當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，， 當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，， 作出函數(shù)的圖象如圖： 由圖象知要使與的圖象有一個交點， 則或， 即實數(shù)m的取值范圍是， 故選：A． 12. 【分析】 本題考查的是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題． 由求導(dǎo)公式和法則求出，由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分類討論，分別列出不等式進行分離常數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)后，利用整體思想和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得a的取值范圍． ? 【解答】 解：由題意得，， 因為在上是單調(diào)函數(shù)， 所以或在上恒成立， 當(dāng)時，則在上恒成立， 即，設(shè)， 因為，所以， 當(dāng)時，取到最大值是：0， 所以， 當(dāng)時，則在上恒成立， 即，設(shè)， 因為，所以， 當(dāng)時，取到最大值是： ， 所以， 綜上可得，或， 所以數(shù)a的取值范圍是， 故選B． 13. 【分析】 運用復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)，化簡，再由復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，解方程即可得到所求值， 本題考查復(fù)數(shù)的乘除運算，注意運用共軛復(fù)數(shù)，同時考查復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題． 【解答】 解：，i為虛數(shù)單位， 由為實數(shù)， 可得， 解得． 故答案為． 14. 【分析】 本題考查了二項式定理的應(yīng)用和二項展開式的特定項與特定項的系數(shù)，利用二項展開式的二項式系數(shù)性質(zhì)得，再利用二項展開式的特定項的系數(shù)計算得結(jié)論． 【解答】 解：展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，． 則展開式的通項為， 令，得，所以展開式中的常數(shù)項為． 故答案為180． 15. 【分析】 本題考查歸納推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)先找出勾股數(shù)的規(guī)律：以上各組數(shù)均滿足；最小的數(shù)是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和，即可得出結(jié)論． 【解答】 解：先找出勾股數(shù)的規(guī)律：以上各組數(shù)均滿足；最小的數(shù)是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和， 如，，，，由以上特點我們可第組勾股數(shù)：， 故答案為11，60，61． 16. 【分析】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運算和不等式求解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后結(jié)合f (x)/>，可知函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可求得不等式的解集，屬中檔題． 【解答】 解：令， 則， 因為f (x)/>， 所以， 所以函數(shù)為上的增函數(shù)， 因為函數(shù)不等式， 所以， 所以． 故答案為． 17. 由，得，然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)z得答案； 把復(fù)數(shù)z代入化簡，再由已知條件列出方程組，求解可得答案； 由復(fù)數(shù)z求出，然后代入復(fù)數(shù)化簡，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得答案． 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題． 18. 特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”不動，再排其它4個位置， 利用捆綁法，把甲乙二人看作一個復(fù)合元素，再和另外3的全排列． 利用間接法，先任意排，再排除甲在排頭，乙在排尾的情況， 先排剩余的3人，形成4個空，再插入甲乙即可． 本題考查了排隊問題中的幾種常用的方法，審清題意，選擇合理的方法是關(guān)鍵，屬于中檔題． 19. 本題考查了歸納推理得出數(shù)列前n項和公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題． 分別計算出、、、，歸納出； 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時的基本步驟：檢驗成立，假設(shè)時成立，由成立推導(dǎo)成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗的遞推，利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可． 20. 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，通項公式的計算，屬于基礎(chǔ)題． 利用公式展開得前三項，系數(shù)和為22，即可求出n． 利用通項公式求解展開式中的常數(shù)項即可． 利用通項公式求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 21. 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題由導(dǎo)數(shù)的運算法則可得：， 由的極值點為1和2，可知的兩根為1和2，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出； 由得，當(dāng)x變化時，與的變化情況列出表格． 22. 要證，只需證，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明． 不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求在上的最小值，由此能求出正數(shù)a的取值范圍． 本題考查不等式的證明，考查正數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．