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概率論講義,1.確定性現象.,在一定條件下可能發(fā)生這種結果也可能發(fā)生那種結果的，因而無法事先斷言出現那種結果的現象稱為隨機現象。,第一章隨機事件及其概率,3.概率規(guī)律和統(tǒng)計規(guī)律性。,2.隨機現象:,1.1隨機事件,,隨機試驗:可在相同的條件下重復進行;(2)重復試驗有多個可能結果,且能事先明確所有可能的結果;(3)一次試驗只出現一個結果，且試驗前不能確定出現哪個結果。,,樣本空間隨機試驗中，每一個可能結果稱為該試驗的一個樣本點,記為?.全體樣本點組成的集合稱為該試驗的樣本空間，記為?。,E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.,?1={H,T}?1=H,?2=T,E4:電話交換臺一分鐘內接到的呼喚次數.,??4={0，1，2，?}?1=0,?2=1,?3=2?,E3:擲一顆骰子,觀察點數.則,?3={1,2,3,4,5,6}?1=1?2=2??6=6,E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現的情況.,?2={HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT},E5:從一批電子元件中任取一只測試其壽命.,??5={t|t≥0},1.離散樣本空間.,2.連續(xù)樣本空間.,如E1中,“出現正面”;E3中，“出現偶數點”;E5中{1000
0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般,設A1,A2,…,An是n個事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:,P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).,例３透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.,練習：設盒中有a(a>2)個黑球，b個白球，連續(xù)從盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。,解：以Ai表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),,(三)全概率公式和貝葉斯公式:,例1.某電子設備廠所用的晶體管由三家元件制造廠提供,數據如下:元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05從中任取一只晶體管,它是次品的概率是多少？,全概率公式:,例1(續(xù)).Ａ:產品為次品,Bi:產品由工廠i生產,元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05,運用全概率公式可得,例2某產品整箱出售每箱20個，各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客購買時選取一箱從中任取4只檢查，若無次品則買下該箱產品，若有次品則退回，求顧客買下該箱產品的概率。,解：以Bj表示“選取的一箱產品中有j個次品”(j=0,1,2),則Bj構成樣本空間的一個劃分.A表示“顧客買下該箱產品”,練習:甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球,從甲箱中取兩只球放入乙箱中,再從乙箱中取1球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.,解設Bi={從甲箱中取出i只白球}i=0,1,2.則B0,B1,B2構成樣本空間的一個劃分。有,由全概率公式,貝葉斯公式:,例3(續(xù)1)任取一只晶體管,若它是次品,則它由1號工廠生產的概率分別是多少?,10.020.1520.010.8030.030.05,注:1.P(Bi)稱為先驗概率。事件B1,B2,…,Bn被看作是引起事件A發(fā)生的n個原因。,2.P(Bi|A)通常稱為后驗概率。事件A表示結果，P(Bi|A)表示A的發(fā)生是由第i個原因引起的概率。,求結果：全概公式求原因：貝葉斯公式,例４在數字通訊中，發(fā)送信號０和１的概率分別為0.7和0.3;發(fā)送0收到1的概率為0.2;發(fā)送1收到1的概率為0.9。求收到信號為1時發(fā)送信號為1的概率。,解：A—接收信號為1,練習：機器良好時,生產的產品的合格率為90%,而當機器有故障時,其合格率為30%,每天開機時機器良好的概率為75%。已知某日第一件產品是合格品,問機器良好的概率是多少?,解:A表“產品合格”,B為“機器良好”,,=(0.9?0.75)/(0.9?0.75+0.3?0.25)=0.9.,1.5獨立性,若P(B|A)=P(B),由乘法公式有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,一般地,P(B|A)≠P(B).,例1設袋中有a只紅球和b只白球，今從袋中取球兩次,每次各取一球,記:A,B分別表示“第一、二次取得紅球”。,2.有放回時:,1.不放回時:,定義1:設A,B是兩事件,如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨立的事件.,注：必然事件?和不可能事件?與任何事件A都獨立,定理：如果事件A,B相互獨立，且P(B)>0,則P(A|B)=P(A),例2甲、乙兩射手向同一目標獨立射擊,甲擊中目標的概率為0.9，乙擊中目標的概率為0.8，求在一次射擊中目標被擊中的概率。,解：A—甲擊中目標，B—乙擊中目標，,定義2:設A,B,C是三個事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨立的事件.,定義3：對n個事件A1,A2,…,An,如果對所有可能的組合1≤is)=P(X>t),(三)正態(tài)分布:,性質:,如何計算?,轉化為標準正態(tài)分布進行計算。,(2)標準正態(tài)分布:,,(3)轉換為標準正態(tài)分布,引理對于標準正態(tài)分布有,練習設X~N(0.5,9),求P(|X|>2),例2公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭機會在0.01以下設計的，設男子身高X?N(170,62)(厘米），問車門高度應為多少？,解：設車門高度為h,按題意有,P(X>h)0)的概率密度。,二、X為連續(xù)型---分布函數法,于是求導可得,2.已知一年中某種人群死亡率為0.0005,該人群有10000人參加人壽保險,每人保費5元.若未來一年中死亡,則得到賠償5000.求:(1)未來一年中保險公司至少獲利10000元的概率。(2)虧本的概率。,練習：1.一個盒子中放有N個編號1~N的標簽N個,從中又放回地抽取n個，求取出的最大號碼X的分布率。,作業(yè)：9，10，12，16,27，29，34，37,41，43，48,第三章多維隨機變量及其分布,n維隨機變量定義:若X1(?)X2(?),…,Xn(?)是定義在樣本空間上?的n個隨機變量,則稱,構成一個n維隨機變量,簡記為X=(X1,X2,…,Xn),1.二維隨機變量(聯合)分布函數:,聯合分布函數.,3.1二維隨機變量,(1)F(x,y)是變量x或y的單調不減函數，即,聯合分布函數的性質：,(3)F(x,y)關于x,y都是右連續(xù)的，即,2.二維隨機變量的分布,二維離散型隨機變量的分布律,例1一袋子中有5個球，其中2個球上標有數字“1”，3個球上標有數字“0”。在有放回和無放回情況下各取兩個球，X,Y分別表示第一、二次取得的數字，求(X,Y)的聯合分布律。,解:(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1)有放回取球，對應概律為,P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/5?3/5=9/25,(X,Y)的分布律為,,例2.設隨機變量X在1,2,3,4四個整數中等可能地取值,隨機變量Y則在1~X中等可能地取一整數,試求(X,Y)的分布律.,二維連續(xù)型隨機變量的聯合概率密度,,二維均勻分布及二維正態(tài)分布,1.二維均勻分布,區(qū)域G的面積為A,若(X,Y)具有概率密度,則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.,2.二維正態(tài)分布,(X,Y)具有概率密度,2.邊緣分布,一、邊緣分布函數：,二、邊緣分布律：,二維離散型隨機變量(X,Y)的分量X,Y的分布律P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,…)分別稱為(X,Y)關于X,Y的邊緣分布律。,設(X,Y)的聯合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)則關于X的邊緣分布律為,例1(續(xù))求關于X和Y的邊緣分布律。,無放回取球,有放回取球,兩種取球方式下邊緣分布均為,pk,pk,三、邊緣概率密度:,所以，關于X的邊緣密度為,例1設(X,Y)在G上服從均勻分布，求其邊緣密度,解：因G的面積為1/2，所以,,練習,3.條件分布,一、二維離散型變量的情況:,例1以X,Y分別表示某醫(yī)院一天中出生的嬰兒總數和男嬰數。(X,Y)的聯合分布律為,求:(1)邊緣分布律(2)條件分布律,例2一射擊手進行射擊,擊中目標的概率為p(0
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