2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次月考試題 文（含解析）湘教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次月考試題 文（含解析）湘教版 【試卷綜評】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學(xué)生，有利于學(xué)生自我評價(jià)，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁。時量120分鐘。滿分150分。 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 【題文】1．已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a＝( ) A．1 B．－1 C. D．－ 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算. L4 【答案解析】A 解析：因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，即，故選A. 【思路點(diǎn)撥】先把原復(fù)數(shù)化簡，再令實(shí)部等于0即可解得a的值. 【題文】2．極坐標(biāo)方程所表示的曲線是( ) A．一條直線 B．一個圓 C．一條拋物線 D．一條雙曲線 【知識點(diǎn)】極坐標(biāo)方程.N3 【答案解析】C 解析：把兩邊同時乘以可得：，又因?yàn)?，代入可?表示一條拋物線,故選C. 【思路點(diǎn)撥】把原式變形，再把代入即可化簡. 【題文】3．設(shè)集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，則“x∈A且x?B”成立的充要條件是( ) A．－1－1 D．－1－1}，B＝{x|x≥1}，所以x∈A且x?B可得－14},則對于函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c應(yīng)有( ) A．f(5)4}，可知：， ，解得：，代入，即， 所以，表示開口方向向下，對稱軸為1的拋物線，則函數(shù)在遞減，所以，而由對稱性可得：，所以，故選B. 【思路點(diǎn)撥】先由不等式的解集判斷出a的符號以及與b，c的關(guān)系，再由單調(diào)性得到的關(guān)系為，而由對稱性可得：即可得解. 【題文】7.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則得到的這個新三角形的形狀為( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．由增加的長度決定 【知識點(diǎn)】余弦定理.C8 【答案解析】A 解析：設(shè)增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三邊長為a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x為最大邊，其對應(yīng)角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正，則為銳角，那么它為銳角三角形．故選A. 【思路點(diǎn)撥】設(shè)增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三邊長為a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x為最大邊，其對應(yīng)角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正即可判斷. 【題文】8．若<<0，則下列不等式中不正確的是( ) A．a(chǎn)bb2 D.＋>2 【知識點(diǎn)】比較大小.E1 【答案解析】C 解析：令代入檢驗(yàn)可排除A,B,D；故選C. 【思路點(diǎn)撥】利用排除法與賦值法相結(jié)合可得結(jié)果. 【題文】9．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，觀察下列運(yùn)算：( ) a1a2＝log23log34＝＝2； a1a2a3a4a5a6＝log23log34……log78 ＝……＝3；……. 若a1a2a3……ak(k∈N*)為整數(shù)，則稱k為“企盼數(shù)”， 試確定當(dāng)a1a2a3……ak＝2 014時，“企盼數(shù)”k為 A．22 014＋2 B．22 014 C．22 014－2 D．22 014－4 【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算.B7 【答案解析】C 解析： a1a2a3……ak＝＝2 014?lg(k＋2)＝lg 22 014?k＝22 014－2. 【思路點(diǎn)撥】由新定義計(jì)算a1a2a3……ak后再解方程即可. 【題文】10．過點(diǎn)(－2，0)的直線l與拋物線y＝相交于兩點(diǎn)，且在這兩個交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直，則直線l的斜率k等于( ) A．－ B．－ C. D. 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；拋物線的性質(zhì).B11 H7 【答案解析】C 解析：對拋物線y＝，y′＝x，l的方程是y＝k(x＋2)代入y＝得：x2－2kx－4k＝0，設(shè)兩個交點(diǎn)是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，而在這兩個交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直即x1x2＝－1.∴k＝且滿足Δ>0. 【思路點(diǎn)撥】設(shè)出直線方程再與拋物線方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式求出，然后結(jié)合在這兩個交點(diǎn)處拋物線的切線互相垂直即可得到結(jié)果. 二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分．請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上． 11．在200個產(chǎn)品中，一等品40個，二等品60個，三等品100個，用分層抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則從二等品中應(yīng)抽取___個． 【知識點(diǎn)】分層抽樣.I1 【答案解析】12 解析：用分層抽樣的方法抽取的比例為，所以從二等品中應(yīng)抽取 ，故答案為12. 【思路點(diǎn)撥】分層抽樣的特點(diǎn)是按比例進(jìn)行抽取，先計(jì)算出抽取的比例，在計(jì)算從二等品中應(yīng)抽取的個數(shù)即可. 【題文】12．閱讀右邊的框圖填空：若a＝0.80.3，b＝0.90.3，c＝log50.9，則輸出的數(shù)是___． 【知識點(diǎn)】程序框圖；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).B6 B7 L1 【答案解析】b(或0.90.3)解析：因?yàn)橛芍笖?shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：且，根據(jù)框圖的流程指向可得輸出的結(jié)果為b，故答案為b(或0.90.3). 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出a，b，c的大小關(guān)系，再由框圖的流程指向可得輸出的結(jié)果. 【題文】13．若直線y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切，則k的值是____． 【知識點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.H4 【答案解析】 解析：因?yàn)橹本€y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切，所以圓心到直線的距離，解得，故答案為. 【思路點(diǎn)撥】直線y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出方程解之即可. 【題文】14．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋1)＋x2，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為____． 【知識點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.B12 【答案解析】解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x(ex＋1)＋x2，所以其導(dǎo)函數(shù)為：，又因?yàn)榍笃鋯握{(diào)遞增區(qū)間，所以，即，解得：，故答案為. 【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)，再利用解不等式即可. 【題文】15．當(dāng)n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù)．如N(3)＝3，N(10)＝5，….記S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)． 則(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____. 【知識點(diǎn)】函數(shù)值的求解.B1 【答案解析】22； 解析：由題設(shè)知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1. 又S(0)＝N(1)＝1. (1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)] 　＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)] ?。?2＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22. (2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)] ＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]， ∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥1)， ∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41＋40＋1＝. 【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分別尋求每一項(xiàng)的值，然后可求; （2）先根據(jù)題意求出當(dāng)n=1時，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16），根據(jù)值出現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)一般規(guī)律，然后可求. 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 16．(本題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1(ω>0)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)求當(dāng)x∈(0，]時f(x)的值域． 【知識點(diǎn)】二倍角公式；三角函數(shù)的最值.C4 C6 【答案解析】(1) ω＝2. (2) 解析：(1)f(x)＝sin ωxcos ωx＋＋1＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ＝sin＋. ∵ω>0，∴T＝＝π，∴ω＝2.　(6分) (2)由(1)得：f(x)＝sin＋., ∵00，b>0)，定點(diǎn)A(c是雙曲線的半焦距)，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B.過雙曲線的右焦點(diǎn)F(c，0)作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足2＝＋(O為原點(diǎn))，且A、B、D三點(diǎn)共線． (1)求雙曲線的離心率； (2)若a＝2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線的左、右支于M、N兩點(diǎn)， 且△OMN的面積S△OMN＝2，求l的方程． 【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；雙曲線的簡單性質(zhì)．H6 H8 【答案解析】(1) (2) y＝x－1. 解析：(1)∵B(0，－b)，A，易求得P. ∵2＝＋，即D為線段FP的中點(diǎn)，∴D.　(3分) 又A、B、D共線．而＝，＝， ∴(－b)＝，得a＝2b，　(5分) ∴e＝＝＝＝.　(6分) (2)∵a＝2，而e＝，∴b2＝1， 故雙曲線的方程為－y2＝1.①　(7分) ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－1)，設(shè)l的方程為y＝kx－1，② ②代入①得(1－4k2)x2＋8kx－8＝0， 由題意得：，得：k2<.　(9分) 設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 則x1＋x2＝. 而S△OMN＝|OB|(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|＝ ＝＝＝2，　(11分) 整理得24k4－11k2＋1＝0，解得：k2＝或k2＝(舍去)． ∴所求l的方程為y＝x－1.　(13分) 【思路點(diǎn)撥】(1) 欲求雙曲線的離心率，只需找到含a，c的齊次式，由已知，易求P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)2＝＋ (O為原點(diǎn))，可判斷D點(diǎn)為FP的中點(diǎn)，再根據(jù) 已知可找到a，b的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為含a，c的等式，即可求出離心率e的值． （2）當(dāng)a=2時，根據(jù)（1）中所求離心率，可求出b的值，進(jìn)而求出雙曲線方程，根據(jù)直線MN過B點(diǎn)，設(shè)出直線MN的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出x1+x2，x1x2，△OMN被y軸分成兩個三角形，分別求出面積，再相加，即為△OMN的面積，讓其等于題目中所給的值，可得到關(guān)于直線l的斜率k的方程，解出k即可． 【題文】21．(本題滿分13分) 設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，記Dn內(nèi)整點(diǎn)的個數(shù)為an(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn))． (1)n＝2時，先在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D2，再求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，試證明：對任意n∈N* 恒有＋＋…＋<成立． 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；不等式的證明.D2 E7 【答案解析】(1)25 (2) 10n＋5. (3)見解析 解析： (1)D2如圖中陰影部分所示， ∵在48的矩形區(qū)域內(nèi)有59個整點(diǎn)，對角線上有5個整點(diǎn)， ∴a2＝＝25.　(3分) (另解：a2＝1＋3＋5＋7＋9＝25) (2)直線y＝nx與x＝4交于點(diǎn)P(4，4n)， 據(jù)題意有an＝＝10n＋5.　(6分) (另解：an＝1＋(n＋1)＋(2n＋1)＋(3n＋1)＋(4n＋1)＝10n＋5) (3)Sn＝5n(n＋2)．　(8分) ∵＝＝<， ∴＋＋…＋<＋＋…＋　(11分) ＝ ＝<.　(13分) 【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)已知條件畫出圖形即可；(2) 借助于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可；(3)先利用裂項(xiàng)相消法，再結(jié)合放縮法即可.